2018-2019学年江苏省苏州市张家港高级中学高一下学期期中考试数学试卷 6页

2018-2019 学年江苏省苏州市张家港高级中学高一下学期期 中考试数学试卷 (时间 120 分钟，满分 160 分) 一、选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 1.在△ABC 中，已知 a＝1，b＝2，C＝60°，则 c 等于(　　) A. 3 B．3 C. 5 D．5 1．【答案】A 2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均可能 2. 【答案】D 3．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ). A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 3. 【答案】D． 4．若 x、y 满足 x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则 x2＋y2 的最小值是(　　) A． 5－5 B．5－ 5 C．30－10 5 D．无法确定 4. 【答案】C 二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 5.直线 l：x－ 3y＋1＝0 的倾斜角为________．【答案】　30° 6.已知△ABC 的面积为 3且 b＝2，c＝2，则锐角 A＝______.【答案】　 π 3 7．给出下列命题： (1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； (4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 其中真命题的序号为__________． 【答案】　(1)(2) 8．过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2＋y2－4y＝0 所截得的弦长为________． 【答案】　2 3 9．若直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 垂直，且它在 x 轴上的截距为－2，则直线 l 的方程为 ________． 【答案】　x－3y＋2＝0 ( )2 3− −， y ( ) ( )2 23 2 1x y+ + − = 5 3 − 3 5 − 3 2 − 2 3 − 5 4 − 4 5 − 4 3 − 3 4 − 10.在 中，角 所对应的边分别为 .已知 ，则 . 【答案】2 11．若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4 上相异两点 P，Q 关于直线 kx－y－2＝0 对称，则实数 k 的 值为__________． 【答案】　4 12．若直线 l1：ax＋3y＋1＝0 与 l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0 平行，则 l1 与 l2 的距离为________． 【答案】　 5 2 12 13．现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个， 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则 新的底面半径为______． 【答案】　 7 14.（2016 全国丙理 16）已知直线 与圆 交于 ， 两点，过 ， 分别做 的垂线与 轴交于 ， 两点，若 ，则 __________________. 14. 【答案】4 三、解答题 15. (本小题满分 14 分) 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 . （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的周长. 15.解 （1）因为 的面积 且 ，所以 ， 即 . 由正弦定理得 ，由 ，得 .……7 （2）由（1）得 ，又 ，因为 ， 所以 . : 3 3 0l mx y m+ + − = 2 2 12x y+ = A B A B l x C 2 3AB = CD = A B C a b c ABC△ 2 3sin a A sin sinB C 6cos cos 1B C = 3a = ABC△ ABC△ 2 3sin aS A = 1 sin2S bc A= 2 1 sin3sin 2 a bc AA = 2 23 sin2a bc A= 2 23sin sin sin sin2A B C A= sin 0A ≠ 2sin sin 3B C = 2sin sin 3B C = 1cos cos 6B C = πA B C+ + = ( ) ( ) 1cos cos π cos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C= − − = − + = − = ABC△ CBA ,, cba ,, bBcCb 2coscos =+ = b a D ABC△ 又因为 ，所以 ， ， . 由余弦定理得 ① 由正弦定理得 ， ，所以 ② 由①，②，得 ，所以 ，即 周长为 .……14 16．(本小题满分 14 分)如图 8 所示， ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO⊥底面 ABCD，底面边长为 a，E 是 PC 的中点． (1)求证：PA∥平面 BDE； (2)求证：平面 PAC⊥平面 BDE； (3)若二面角 EBDC 为 30°，求四棱锥 PABCD 的体积． 16【解】　 (1)证明：连结 OE，如图所示． ∵O，E 分别为 AC，PC 的中点， ∴OE∥PA. ∵OE⊂平面 BDE，PA⊄平面 BDE，∴PA∥平面 BDE. ……4 (2)证明：∵PO⊥平面 ABCD，∴PO⊥BD. 在正方形 ABCD 中，BD⊥AC. 又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面 PAC. 又∵BD⊂平面 BDE，∴平面 PAC⊥平面 BDE. ……8 (3)取 OC 中点 F，连结 EF.∵E 为 PC 中点， ∴EF 为△POC 的中位线，∴EF∥PO. 又∵PO⊥平面 ABCD，∴EF⊥平面 ABCD， ∴EF⊥BD， ∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面 EFO， ∴OE⊥BD， ∴∠EOF 为二面角 EBDC 的平面角， ∴∠EOF＝30°. 在 Rt△OEF 中，OF＝ 1 2OC＝ 1 4AC＝ 2 4 a， ∴EF＝OF·tan 30°＝ 6 12 a，∴OP＝2EF＝ 6 6 a. ∴VPABCD＝1 3 ×a2× 6 6 a＝ 6 18 a3. ……14 ( )0 πA∈ ， 60A =  3sin 2A = 1cos 2A = 2 2 2 9a b c bc= + − = sinsin ab BA = ⋅ sinsin ac CA = ⋅ 2 2 sin sin 8sin abc B CA = ⋅ = 33b c+ = 3 33a b c+ + = + ABC△ 3 33+ 17．(本小题满分 14 分)求经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程． 【解】　(1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为 y＝kx， 将(－5,2)代入 y＝kx 中，得 k＝－2 5， 此时直线方程为 y＝－2 5x，即 2x＋5y＝0. ……6 (2)当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为 x 2a＋y a＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得 a＝－1 2 ，此时直线方程为 x＋2y＋1＝0. ……12 综上所述，所求直线方程为 x＋2y＋1＝0 或 2x＋5y＝0. ……14 18．(本小题满分 16 分)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3)海里的两个 观测点，现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号， 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行 速度为 30 海里/时，该救援船到达 D 点需要多长时间？ 18．解　由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45 °＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理， 得 DB sin∠DAB＝ AB sin∠ADB， ∴DB＝ AB·sin∠DAB sin∠ADB ＝ 53＋ 3·sin 45° sin 105° ＝ 53＋ 3·sin 45° sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝ 5 3 3＋1 3＋1 2 ＝10 3(海里)． ……6 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20 3(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理， 得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10 3×20 3× 1 2＝900， ∴CD＝30(海里)，……12 ∴需要的时间 t＝30 30 ＝1(小时)．……14 答：救援船到达 D 点需要 1 小时．……16 19．(本小题满分 16 分)已知过点 A(0,1)，且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 相交于 M，N 两点． (1)求实数 k 的取值范围； (2)若 O 为坐标原点，且 O·O＝12，求 k 的值． 【解】　(1)∵直线 l 过点 A(0,1)且斜率为 k ∴直线 l 的方程为 y＝kx＋1. 由|2k－3＋1| k2＋1 <1， 得4－ 7 3