高中数学选修2-2课时练习第二章 4_2 10页

‎4．2　导数的乘法与除法法则 ‎[学习目标]‎ ‎1．理解导数的乘法与除法法则．‎ ‎2．将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题．‎ ‎[知识链接]‎ ‎[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？试举例说明．‎ 答　不一定正确．当f(x)＝2，g(x)＝x2时，‎ ‎[f(x)·g(x)]′＝(2·x2)′＝4x≠2′·(x2)′＝f′(x)·g′(x)，而当f(x)＝2，g(x)＝2时，‎ ‎[f(x)·g(x)]′＝(2·2)′＝4′＝0＝2′×2′＝f′(x)·g′(x)．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．两个函数积的导数 ‎(1)符号语言：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(2)文字语言：两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．‎ 由上面的式子可以得到[cf(x)]′＝cf′(x)．‎ ‎2．两个函数商的导数 ‎(1)符号语言：′＝(g(x)≠0)．‎ ‎(2)文字语言：两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　利用乘法和除法法则求导数 例1　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝ ‎(2)y＝＋；‎ ‎(3)y＝；‎ ‎(4)y＝1－sin2.‎ ‎＝3x2－＋－.‎ ‎∴y′＝3x2＋－－.‎ ‎(2)∵y＝＋ ‎＝＝－2，‎ ‎∴y′＝′＝＝.‎ ‎(3)y′＝′＝′＋′‎ ‎＝＋ ‎＝ ‎＝.‎ ‎(4)∵y＝1－sin2 ‎＝ ‎＝(3＋cos x)＝＋cos x，‎ ‎∴y′＝′＝－sin x.‎ 规律方法　求较复杂的式子进行化简变形对求导十分必要，否则将增大计算量甚至导致错误．如题中(1)、(2)、(4)变形后求导很方便．‎ 跟踪演练1　求下列函数的导数；‎ ‎(1)y＝x·tan x；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝xsin x－.‎ 解　(1)y′＝(x·tan x)′＝′‎ ‎＝ ‎＝＝ ‎(2)y′＝ ‎＝.‎ ‎(3)y′＝(xsin x)′－′＝sin x＋xcos x－.‎ 要点二　导数运算法则的简单应用 例2　已知函数y＝，x∈(－π，π)，当y′＝2时，求x的值．‎ 解　y′＝()′＝ ‎＝＝＝2，‎ 所以cos x＝－.‎ 又x∈(－π，π)，所以x＝或x＝－.‎ 规律方法　‎ 应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确记忆公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．‎ 跟踪演练2　曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．‎ 答案　y＝3x＋1‎ 解析　∵f′(x)＝(xex＋2x＋1)′＝ex＋xex＋2，‎ ‎∴f′(0)＝3.∴函数f(x)在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝3x，即y＝3x＋1.‎ 要点三　导数的应用 例3　求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．‎ 解　设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x－2‎ 故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)①‎ ‎∵(x0，y0)在曲线上，‎ ‎∴y0＝x－2x0②‎ 又∵(1，－1)在切线上，‎ ‎∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x－2x0)‎ ‎＝(3x－2)(1－x0)．‎ 解得x0＝1或x0＝－.‎ 故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．‎ 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.‎ 规律方法　(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．‎ 跟踪演练3　已知某运动物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．‎ 解　∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，‎ ‎∴s′(t)＝－＋2·＋4t，‎ ‎∴s′(3)＝－＋＋12＝，‎ 即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s..‎ ‎1．设y＝－2exsin x，则y′等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)‎ 答案　D 解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．‎ ‎2．函数y＝的导数是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　y′＝′＝ ‎＝.‎ ‎3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1‎ C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2‎ 答案　A 解析　∵y′＝＝，‎ ‎∴k＝y′|x＝－1＝＝2，‎ ‎∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.‎ ‎4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.‎ 答案　ln 2－1‎ 解析　设切点为(x0，y0)，‎ ‎∵ y′＝，∴＝，‎ ‎∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，‎ ‎∴b＝ln 2－1.‎ 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)‎ A．2 B. C．－ D．－2‎ 答案　D 解析　∵y＝＝1＋，∴y′＝－.‎ ‎∴y′|x＝3＝－.∴－a＝2，即a＝－2.‎ ‎2．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　)‎ A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)‎ C．(2,8) D. 答案　B 解析　y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，‎ 则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．‎ ‎3．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)‎ A．[0，) B．[，)‎ C．(，] D．[，π)‎ 答案　D 解析　y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．‎ ‎4．已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要实现不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(4，＋∞) B．(－∞，4)‎ C．(10，＋∞) D．(－∞，10)‎ 答案　D 解析　在曲线C：y＝2x2上取一点D(x0,2x)(x＞0)，‎ ‎∵y＝2x2，∴y′＝4x，y′|x＝x0＝4x0.‎ 令＝4x0，得x0＝1，此时D(1,2)，kAD＝＝4，‎ ‎∴直线AD的方程为y＝4x－2.‎ 要实现不被曲线C挡住，则实数a＜4×3－2＝10，即实数a的取值范围是(－∞，10)．‎ ‎5．曲线f(x)＝在点(1,1)处的切线方程为________．‎ 答案　x＋y－2＝0‎ 解析　f′(x)＝＝，‎ ‎∴f′(1)＝－1，∴切线方程为x＋y－2＝0.‎ ‎6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.‎ 答案　1‎ 解析　由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋‎3f′(0)，‎ 令x＝0，则f′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋‎3f′(0)＝1.‎ ‎7．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；‎ ‎(2)y＝x－sin cos .‎ 解　(1)法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.‎ 法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，‎ ‎∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.‎ ‎(2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，‎ ‎∴y′＝x′－′＝1－cos x.‎ 二、能力提升 ‎8．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　y′＝ ‎＝，故＝，‎ ‎∴曲线在点M处的切线的斜率为.‎ ‎9．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝(　　)‎ A．a B．±a C．－a D．a2‎ 答案　B 解析　y′＝′＝＝，‎ 由x－a2＝0得x0＝±a.‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．‎ 答案　(－2,15)‎ 解析　设P(x0，y0)(x0<0)，由题意知，‎ y′|x＝x0＝3x－10＝2，∴x＝4.‎ ‎∴x0＝－2，∴y0＝15.‎ ‎∴P点的坐标为(－2,15)．‎ ‎11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．‎ 解　点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.‎ 当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；‎ 当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，‎ 则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，‎ 即27x－y－54＝0.‎ 综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.‎ ‎12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．‎ 解　设切点为(x0，y0)，‎ 则由导数的几何意义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，‎ ‎∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，‎ 又切点(x0，y0)在切线上，‎ ‎∴y0＝3(x－1)x0＋16，‎ 即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，‎ 解得x0＝－2，‎ ‎∴切线方程为9x－y＋16＝0.‎ 三、探究与创新 ‎13．已知曲线f(x)＝x2－1(a＞0)在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．‎ 解　f′(x)＝x，则f′(1)＝，又f(1)＝－1，‎ 所以切点为，切线l的方程为y－＋1＝‎ (x－1)．令x＝0，得y＝－－1；‎ 令y＝0，得x＝(a＋1)．‎ 所以切线l与两坐标轴围成的三角形面积 S＝·＝≥×4＝1，当且仅当＝a(a＞0)，即a＝1时等号成立，‎ 因此所求面积的最小值为1.‎