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- 2021-06-15 发布
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高考第一轮复习——三角函数的求值、化简、证明
一、学习目标：
1. 理解任意角的三角函数定义，及三角函数线定义。理解同角三角函数的基本关系（平方关系、倒数关系、商的关系）
2. 掌握弧度制与角度制的转换及弧度制下的扇形面积、弧长公式。
3. 掌握三角函数的诱导公式、和差角、倍半角、和差化积、积化和差等公式（半角公式及和差化积、积化和差公式不要求记忆）及其简单的三角恒等变换（求值、化简、证明）
二、重点、难点：
重点：三角函数的求值、化简、证明。
难点：诱导公式、和差角、倍半角公式的应用。
知识要点解析：
（一）任意角与弧度制
1. 角的概念推广：正角、负角、零角。（按角的始边的旋转方向分）
（1）象限角：角的终边在第几象限，该角就是第几象限角。
角所在的象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角所在的象限
第一、三象限
第二、四象限
（2）轴线角：角的终边在坐标轴上的角叫轴线角
角的终边在x轴上的角的集合：
角的终边在y轴上的角的集合：
角的终边在坐标轴上的角的集合：
（3）终边相同的角的集合：所有与角有相同终边的角的集合表示为：
2. 弧度制：
（1）角度制与弧度制的转换：角度化弧度：
弧度化角度：
（2）弧长与扇形面积公式：，（为扇形圆心角，r为扇形半径）
（二）任意角的三角函数定义、诱导公式
（1）任意角三角函数定义：设α是任意角，角的终边与单位圆交于P（u，v）
则：
注：（i）若点P（x，y）是角的终边上一点，则
（ii）角在第一、二象限时，，角在第一、四象限
时，
角在第一、三象限时，
（2）诱导公式：掌握，，的诱导公式。
（3）同角三角函数基本关系：
平方关系：，，
倒数关系：，
商的关系：
（三）三角恒等变换
（1）和角、差角公式：
，
注：（i）公式的逆用，
（ii）变角：等
（2）倍角与半角公式
倍角：
半角：
（降幂扩角公式）
和差化积与积化和差公式：
注：（i）半角公式、和差与积互化公式虽然不需要记忆，但要理解公式的 及推导过程。特别是对公式的应用要理解并掌握。
（ii）注意倍角与半角的相对性。如的半角等。
知识点一：三角函数的求值。
例1：基础题：
解答下列各小题
1. 若角θ的终边与角的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角有_______。
2. 已知：，则－。
3. 已知______。
4. 设。
【思路分析】
1. 由，取 的整数值，由所求角的范围确定角θ。
2. 利用将三角函数式变形，并用tanθ表示。
3. 变角：，，
先求再求tan，注意确定角的范围。
4. 由已知判断角所属的象限，求的值。再求的值。
【解题过程】
1. 由已知得：，令 ＝0，1，2得：
，。
2. －，分子与分母
同除以得：原式＝＝1
3.
故
4. 由得：
在第三象限，由
【解题后的思考】高考考查的三角函数的求值问题都是基础性的试题，大部分以选择、填空题出现，因此把握基础知识是关键，同时要掌握一些相应的运算处理的方法，如“1”的代换，公式的逆用，角的变形等。
例2：中等题：
1. 已知
（1）求的值。
（2）若的值。
2.
3. 已知
（1）当
（2）当的值。
【思路分析】
1. （1）根据两个向量垂直得出，结合平方关系列方程组求解。
（2）把等式左边展开，利用（1）建立关于的方程，然后求解。
2. 切化弦。利用正弦（或余弦）的和、差角公式，注意。
3.（1）把代入已知等式展开。
（2）由已知等式用角的三角函数表示，求出当取到最大值时，对应的的值，利用正切的和角公式求的值。
【解题过程】
1. （1）由已知得：）
又＝1――――（2）由（1）（2）解得：
（2）由
把的值代入得：
又，故
2.
故原式＝
3.（1）把代入已知等式得：
（2）由已知等式得：，
两边同除以
等号成立：（舍去）
此时，故
【解题后的思考】在三角函数求值中，除了掌握基本的公式以外还要掌握常见的三角函数的变形（如：切化弦等方法）、变角、变式等基本的方法。
例3：应用创新
已知
（1）
（2），求的值。
【思路分析】
（1）利用向量积的坐标运算求出的值。再求的值。
（2）利用向量的坐标运算得出方程组，平方相加消去的值后再求的值。
【解题过程】
（1）
由（2）得：
（2）由得：
又
【解题后思考】对于三角函数的求值的综合创新问题常与解三角形、平面向量等知识结合在一起，但题目为中等难度，易得分，因此把握平面向量及三角函数的基础知识是很重要的。
知识点二：三角函数的化简、证明。
例4：基础题：
化简下列各式
1.
2.
3.
【思路分析】
1. 利用余弦的倍角公式由里到外逐级化简，但要注意角的取值范围。
2. 切化弦、利用余弦的倍角公式化简。
3. 把换成tan60°，代入利用正切的和角公式化简。
【解题过程】
1. ，
2.
3. 原式＝
【解题后的思考】三角函数的化简要抓住函数式的特征。观察角度之间的关系，便于使用合理的公式，如：等，这类问题在高考试题中以选择、填空题为主，有时会出现在大题的某一问中等。
例5：中等题
1. 化简：
2. 证明：
3. 已知，求证：
【思路分析】
1. 通分利用正弦的倍角公式和正弦的和角公式化简。
2. 观察左右两边式子的差异，由左边证到右边可用切化弦及降幂扩角公式证明。由右边证到左边可利用余弦的倍角公式。
3. 观察已知条件和证明的结论可知：由已知等式展开后消去x即可得证。
【解题过程】
1. 原式＝
2. 证明一：
左边＝
＝
＝
证明二：
右边＝
＝
3. 由已知得：
【解题后的思考】证明三角恒等式要观察等式两边的角度、式子的差异，通过“化异为同”即化异角为同角、化异名为同名达到证明的目的。这类问题在高考试题中不会出现大题，但有可能是大题中的某一问。因此我们只要掌握一些常规的方法和基本的公式就可以解决。
例6：创新与应用
已知问是否存在满足：的y， 的值，使得不随x的取值变化而变化，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
【思路分析】假设存在y， 的值满足条件。即存在y， 的值使是定值。故把F（x）的三角函数式化简使F（x）为定值时，建立关于y， 的三角等式，确定y， 的值。
【解题过程】
由已知得：
故存在满足条件。
【解题后的思考】理解题意是解决此类问题的关键，在理解的基础上，进行三角函数的恒等变换，问题的实质是利用三角函数的基本公式求对应的角度。像这样探索性的问题，在新课标的高考试题中出现的频率会越来越高。考查同学们对信息的处理、数学语言的理解、计算推理论证等能力。
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