2018届二轮复习函数的单调性与最值学案（全国通用） 15页

‎1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式；‎ ‎2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围；‎ ‎3.与导数交汇命题，以解答题形式考查．‎ ‎ ‎ ‎1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当[来源:学_科_网][来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数 图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 ‎2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．‎ ‎【特别提醒】‎ ‎1．函数的单调性是局部性质 函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．‎ ‎2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；‎ 如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．‎ ‎3．单调区间的表示 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．‎ 高频考点一　确定函数的单调性(区间)‎ 例1、(1)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)‎ ‎(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．‎ ‎【答案】D ‎(2)【解析】法一　设－10，x1－1<0，x2－1<0，‎ 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，‎ 函数f(x)在(－1，1)上递减；‎ 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减；‎ 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.‎ ‎【方法规律】(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)．‎ ‎(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．‎ ‎(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．‎ ‎【变式探究】 判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．‎ ‎【解析】f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．‎ 证明如下：‎ 法二　f′(x)＝1－，令f′(x)>0，则1－>0，‎ 解得x>或x<－(舍)．‎ 令f′(x)<0，则1－<0，解得－0，∴00恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】－3　1‎ ‎(2)【解析】①当a＝时，f(x)＝x＋＋2，设1≤x1＜x2，‎ 则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，‎ ‎∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，2x1x2＞2，‎ ‎∴0＜＜，1－＞0，‎ ‎∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x1)＜f(x2)．‎ ‎∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.‎ ‎②当x∈[1，＋∞)时，>0恒成立．‎ 则x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)上恒成立．‎ 即a>－(x2＋2x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．‎ 令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)，‎ ‎∴g(x)在[1，＋∞)上是减函数，g(x)max＝g(1)＝－3.‎ 又a≤1，‎ ‎∴当－30在x∈[1，＋∞)上恒成立．‎ 故实数a的取值范围是(－3，1]．‎ ‎【方法规律】(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②均值不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．‎ ‎(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．‎ ‎【变式探究】 如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．－1‎ ‎【答案】C 高频考点三　函数单调性的应用 例3、 (2016·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足 f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵f(x)在R上是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，‎ 则f(2|a－1|)>f(－)＝f()，‎ 因此2|a－1|<＝2，又y＝2x是增函数，‎ ‎∴|a－1|<，解得0成立，那么a的取值范围是________．‎ ‎(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．‎ ‎【答案】(1)　(2) ‎ ‎ ‎(2)∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．‎ ‎∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，‎ 又f＝0，知f＝－f＝0.‎ 故原不等式f(logx)>0可化为 f(logx)>f或f(logx)>f，‎ ‎∴logx>或－1；‎ ‎（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；‎ ‎（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）．（2）或．（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，得，解得．‎ ‎（2）有且仅有一解，‎ 等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解．‎ 当时，，符合题意；‎ 当时，，．‎ 综上，或．‎ ‎（3）当时，，，‎ 所以在上单调递减．‎ 函数在区间上的最大值与最小值分别为，．‎ 即，对任意成立．‎ 因为，所以函数在区间上单调递增，‎ 所以时，有最小值，由，得．‎ 故的取值范围为．‎ ‎1.【2015高考四川，文15】已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：‎ ‎①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0； ‎ ‎②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；‎ ‎③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；‎ ‎④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.‎ 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).‎ ‎【答案】①④‎ 对于④，由f '(x)＝－g'(x)，即2xln2＝－2x－a 令h(x)＝2xln2＋2x，则h'(x)＝2x(ln2)2＋2＞0恒成立，‎ 即h(x)是单调递增函数，‎ 当x→＋∞时，h(x)→＋∞‎ 当x→－∞时，h(x)→－∞‎ 因此对任意的a，存在y＝a与函数h(x)有交点.④正确 ‎2.【2015高考陕西，文10】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎3.【2015高考浙江，文12】已知函数，则 ，的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以.当时，；当时，，当时取到等号.因为，所以函数的最小值为.‎ ‎4.【2015高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.‎ ‎ 已知函数，其中为实数. ‎ ‎（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）函数在上单调递增.‎ ‎【解析】（1）当时，，显然是奇函数；‎ 当时，，，且，‎ 所以此时是非奇非偶函数.‎ 所以，即，‎ 故函数在上单调递增.‎ ‎1．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(　　)‎ A．－2 B．2 C．－6 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－6.‎ ‎2．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x ‎【答案】D ‎【解析】∵y＝与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)上不具备单调性．∴A，B，C不满足题意．只有y＝2－x＝在(－1，1)上是减函数．‎ ‎3．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当a0，x>0)．‎ ‎(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．‎ ‎(1)证明　设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，‎ ‎∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，‎ ‎∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎(2)【解析】∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，‎ ‎∴f＝，f(2)＝2，易知a＝.‎ ‎10．已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)．‎ ‎(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．‎ ‎【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－ ‎＝(x1－x2).‎ ‎∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.‎ ‎∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．‎ ‎(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；‎ 当a＜0时，f(x)＝2x＋，‎ 当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；‎ 当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.‎ ‎11．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．‎ ‎【答案】1‎ ‎12．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；‎ ‎(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．‎ ‎【解析】(1)由x＋－2＞0，得＞0，‎ 当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，‎ 当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，‎ 当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}．‎ ‎(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，‎ ‎∴g′(x)＝1－＝>0.‎ 因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．‎ 则f(x)min＝f(2)＝ln.‎