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  • 2021-06-15 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版(文)6-1数列的概念与简单表示法学案

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‎ 6.1 数列的概念与简单表示法 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).‎ ‎2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.‎ 以考查Sn与an的关系为主,简单的递推关系也是考查的热点.本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查,难度属于低档.‎ ‎1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.‎ ‎2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an+1>an 其中n∈N*‎ 递减数列 an+10),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3时等号成立.‎ 因为an=,所以≤,由于n∈N*,不难发现当n=9或n=10时,an=最大.‎ 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎①用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.‎ ‎②用作商比较法,根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.‎ ‎③结合相应函数的图象直观判断.‎ ‎(2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.‎ ‎(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.‎ 跟踪训练 (1)数列{an}满足an+1=a1=,则数列的第2018项为.‎ 答案 解析 由已知可得,a2=2×-1=,‎ a3=2×=,‎ a4=2×=,‎ a5=2×-1=,‎ ‎∴{an}为周期数列且T=4,‎ ‎∴a2018=a504×4+2=a2=.‎ ‎(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{an}的首项为2,且数列{an}满足an+1=,数列{an}的前n项的和为Sn,则S2016等于( )‎ A.504 B.588‎ C.-588 D.-504‎ 答案 C 解析 ∵a1=2,an+1=,∴a2=,a3=-,a4=-3,a5=2,…,∴数列{an}的周期为4,且a1+a2+a3+a4=-,∵2016÷4=504,∴S2016=504×=-588,故选C.‎ 解决数列问题的函数思想 典例(1)数列{an}的通项公式是an=(n+1)·n,则此数列的最大项是第项.‎ ‎(2)若an=n2+kn+4且对于n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是.‎ 思想方法指导(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数;(2)数列的最值可以根据单调性进行分析.‎ 解析 (1)∵an+1-an=(n+2)n+1-(n+1)n ‎=n×,‎ 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;‎ 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;‎ 当n>9时,an+1-an<0,即an+1an知该数列是一个递增数列,‎ 又∵通项公式an=n2+kn+4,‎ ‎∴(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,‎ 即k>-1-2n,又n∈N*,∴k>-3.‎ 答案 (1)9或10 (2)(-3,+∞)‎ ‎ ‎ ‎1.(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( )‎ A.an=(-1)n-1+1‎ B.an= C.an=2sin D.an=cos(n-1)π+1‎ 答案 C 解析 对n=1,2,3,4进行验证,知an=2sin不合题意,故选C.‎ ‎2.现有这么一列数:2,,,,( ),,,…,按照规律,( )中的数应为( )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 分母为2n,n∈N,分子为连续的质数,所以( )中的数应为,故选B.‎ ‎3.(2017·黄冈质检)已知在正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2a=a+a(n≥2),则a6等于( )‎ A.16 B.4‎ C.2 D.45‎ 答案 B 解析 由题意得a-a=a-a=…=a-a=3,故{a}是以3为公差的等差数列,即a=3n-2.所以a=3×6-2=16.又an>0,所以a6=4.故选B.‎ ‎4.若数列{an}满足a1=2,a2=3,an=(n≥3且n∈N*),则a2018等于( )‎ A.3 B.2‎ C. D. 答案 A 解析 由已知a3==,a4==,‎ a5==,a6==,‎ a7==2,a8==3,‎ ‎∴数列{an}具有周期性,且T=6,‎ ‎∴a2018=a336×6+2=a2=3.‎ ‎5.(2017·辽宁沈阳东北育才学校模拟)已知数列{an}满足a1,,,…,是首项为1,公比为2的等比数列,则a101等于( )‎ A.2100 B.24950‎ C.25050 D.25151‎ 答案 C 解析 ∵数列{an}满足a1,,,…,是首项为1,公比为2的等比数列,‎ ‎∴=2n-1,‎ ‎∴an=a1×××…×=1×21×22×…×2n-1=,‎ ‎∴a101=25050.故选C.‎ ‎6.(2017·河北保定模拟)已知函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )‎ A.(1,3) B.(1,2]‎ C.(2,3) D. 答案 C 解析 因为{an}是递增数列,‎ 所以解得 即23n+1-,n∈N*,a2=3,则a2018等于( )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 由an+1-an-1<3n+,可得an+2-an<3n+1+,又an+2-an>3n+1-,且{an}为整数列,‎ 所以an+2-an=3n+1,‎ a2018=(a2018-a2016)+(a2016-a2014)+…+(a4-a2)+a2‎ ‎=32017+32015+…+33+3‎ ‎==.‎ ‎14.若数列中的最大项是第k项,则k=.‎ 答案 4‎ 解析 设数列为{an},则 an+1-an=(n+1)(n+5)·n+1-n(n+4)·n ‎=n=(10-n2).‎ 所以当n≤3时,an+1>an;‎ 当n≥4时,an+1a5>a6>…,‎ 故a4最大,所以k=4.‎ ‎15.(2017·湖北武汉调研)已知数列{an}满足a1=1,a2=,若an(an-1+2an+1)=3an-1·an+1(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项an等于( )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 anan-1+2anan+1=3an-1an+1,‎ +=,‎ -=2,‎ 则=2,数列是首项为2,公比为2的等比数列,‎ -=2×2n-1=2n,‎ 利用累加法,‎ +++…+ ‎=1+2+22+…+2n-1,‎ ==2n-1,则an=.故选B.‎ ‎16.(2017·太原五中模拟)设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a-na+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式an=.‎ 答案 (n∈N*)‎ 解析 因为数列{an}是首项为1的正项数列,‎ 所以an·an+1≠0,所以-+1=0.‎ 令=t(t>0),则(n+1)t2+t-n=0,‎ 分解因式,得[(n+1)t-n](t+1)=0,‎ 所以t=或t=-1(舍去),即=.‎ 方法一 (累乘法)‎ 因为····…· ‎=····…·,‎ 所以an=(n∈N*).‎ 方法二 (迭代法)‎ 因为an+1=an,‎ 所以an=an-1=··an-2‎ ‎=···an-3‎ ‎=…=···…·a1,‎ 所以an=(n∈N*).‎ 方法三 (特殊数列法)‎ 因为=,所以=1.‎ 所以数列{nan}是以a1为首项,1为公比的等比数列.‎ 所以nan=1×1n-1=1.‎ 所以an=(n∈N*).‎

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