湖南省岳阳市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题 26页

‎2020届高三月考试题（三）‎ 数学（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。‎ ‎2.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。‎ ‎3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ ‎4.本试题卷共4页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。‎ ‎5.时量120分钟，满分150分。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，若集合有4个子集，则实数（）‎ A. 0、1或3 B. 1或3 C. 1或 D. 0或3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合有4个子集，则或，进而可得答案．‎ ‎【详解】由题集合有4个子集，所以A与B的交集有两个元素，则或，‎ 当时，可得或，当时，集合，，不满足集合的互异性，故或．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合中元素的关系，属于简单题．‎ ‎2.已知复数，则下列说法正确的是（）‎ A. 复数z的实部为3 B. 复数z的共轭复数为：‎ C. 复数z部虚部为： D. 复数z的模为5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数化为形式，则实部为，虚部为，共轭复数为，模为．‎ ‎【详解】，则实部为，虚部为，共轭复数为：，模为．选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本运算，属于简单题．‎ ‎3.若向量，，则与的夹角等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用坐标表示出和，根据向量夹角公式直接求解即可得到结果.‎ ‎【详解】由题意得：，‎ 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用向量数量积和模长求解向量夹角的问题，关键是能够熟练掌握向量数量积和模长的坐标运算.‎ ‎4.下列命题中，真命题是（）‎ A. 的充要条件是 B. ，是的充分条件 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项分析即可．‎ ‎【详解】A中， 的充要条件是．A错 B中， ，可以得到，当时，不一定可以得到．故正确 C中，．C错 D中，，，．D错，所以选B.‎ ‎【点睛】本题考查充要条件以及全称命题与特称命题的真假，属于简单题．‎ ‎5.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是(　　)‎ A. －1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎，选D.‎ 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎6.已知等比数列的前项和，则数列的前11项和等于（ ）‎ A. 1023 B. 55 C. 45 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为等比数列{}的前n项和，‎ 所以当时，，‎ 也适合上式,即=，‎ 所以==n−1，‎ 故所求值为，‎ 故选B.‎ ‎7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值为（）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知椭圆是焦点在轴上的椭圆，利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当垂直于x轴时最小，把的最小值代入，由的最大值等于5可求b的值．‎ ‎【详解】由可知，焦点在x轴上，∴，‎ ‎∵过的直线交椭圆于A，B两点，∴‎ ‎∴．‎ 当垂直x轴时最小，值最大，‎ 此时，∴，解得，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是得出，属于一般题．‎ ‎8.已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.‎ ‎【详解】函数，‎ 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；‎ 再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数 的值域为.‎ 若，则且，均为函数的最大值，‎ 由，解得；‎ 其中、是三角函数最高点的横坐标，‎ 的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：‎ ‎①；‎ ‎②函数是偶函数；‎ ‎③任意一个非零有理数，对任意恒成立；‎ ‎④存在三个点，使得为等边三角形.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：如为有理数，则；如为无理数，，故①正确；如为有理数，则为有理数，则，如无有理数，则为无理数，则，故②正确；如为有理数，则为有理数，则，如无有理数，则为无理数，则 ‎，故③正确；令，则，此时三角形为等边三角形，所以④正确；故选A.‎ 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值.‎ ‎10.已知函数是定义在R上的奇函数，且满足．若当时，，则的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断的周期为，判断的范围，利用周期性和奇偶性得出答案．‎ ‎【详解】由可得，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以函数的最小正周期为．‎ 又因为，即，‎ 所以，即，‎ 则，‎ 又因为函数是奇函数，所以．选A ‎【点睛】本题主要考查函数的周期性和奇偶性，属于一般题．‎ ‎11.已知角，，且满足，则（）（用表示）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得，整理得，结合题意与诱导公式 可得，，，进而得出答案．‎ ‎【详解】由已知得，‎ 所以，即．‎ 结合诱导公式得．‎ 因为，，所以，．‎ 由诱导公式可得，易知．‎ 因为在上单调递减，所以，即．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的公式的应用以及求角的范围问题，属于一般题．‎ ‎12.函数满足， ，若存在，使得成立，则的取值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意设，则，所以（为常数）．∵‎ ‎，∴，∴，‎ ‎∴．令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增．‎ ‎∴，从而当时，，∴在区间上单调递增．‎ 设，则，故在上单调递增，在上单调递减，所以．‎ ‎∴不等式等价于，‎ ‎ ∴，解得，故的取值范围为．选A．‎ 点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数，并进一步求得函数的解析式，从而得到函数在区间上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）‎ ‎13.已知等比数列的各项都为正数，且，，成等差数列，则的值是________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出，再由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，且，‎ 因为，，成等差数列，所以，则，化简得，解得，‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查等差中项的性质以及等比数列的通项公式，属于一般题．‎ ‎14.已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线渐近线方程为：____________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将双曲线方程化为标准形式，由题可得，即，则，进而得出渐近线方程．‎ ‎【详解】依题意椭圆与双曲线的焦点相同，即与的焦点相同，可得：，即，‎ ‎∴，可得，∴双曲线的渐近线方程为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线与椭圆的标准方程以及求双曲线的渐近线方程，属于一般题．‎ ‎15.年北京庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为______米. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 设旗杆的高度为米，如图，可知，‎ ‎，所以，‎ 根据正弦定理可知，即，‎ 所以，‎ 所以米.‎ 点睛：‎ ‎1．解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(准确地画出图形)——求解——检验作答．‎ ‎2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．‎ ‎3．解三角形应用题的两种情形 ‎(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．‎ ‎16.已知函数的图像与函数的图像有三个交点A、B、C，且，记三个交点的横坐标之和为，纵坐标之和为，则________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知两个函数均是单调函数且都关于点对称，又由A、B、C三点的关系得：点A、C关于点B对称，而点B就是两个函数的公共对称中心，所以，，进而得出积分．‎ ‎【详解】分析可知：两个函数均是单调函数且都关于点对称，又由得，即点A、C关于点B对称，而点B就是两个函数的公共对称中心，所以，‎ ‎，，图形为圆心是，半径是的圆的上半部分与圆心为，半径是的圆的下半部分，可得，所求的积分为圆心是，半径是的圆的上半部分与直线，轴所围面积，如图所示 其中，，所以，，‎ 所以扇形的面积，三角形的面积为，‎ 故所求的积分值为．‎ ‎【点睛】本题考查定积分，解题的关键是得出两个函数均是单调函数且都关于点对称，属于一般题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎（一）必考题：60分.‎ ‎17.已知向量，，记函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）在中，三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若且、、成等差数列，，求的面积S的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得，所以不等式可化为：，进而得出答案．‎ ‎（2））由（1）知：，解得，由正、余弦定理及得：，从而得出，再求出的面积S的值．‎ ‎【详解】（1）由，得：‎ ‎．‎ ‎∴不等式可化为：，∴，．‎ 即：，∴不等式的解集为：‎ ‎（2）由（1）知：，∴，‎ 又∵，∴，∴，∴‎ 因为、、成等差数列，所以 再由正、余弦定理及得：，‎ ‎∴，∴‎ 所以是正三角形，故.‎ ‎【点睛】本题以向量为背景考查三角函数的基本公式以及解三角不等式，考查正、余弦定理和三角形的面积计算，属于一般题．‎ ‎18.如图所示，已知正方形所在平面垂直于矩形所在的平面，与的交点为O，M、P分别为、的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面平面．‎ ‎（2）求三棱锥的高．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题证得平面，再由数量关系得出，，进而证得平面 ，最后根据面面垂直判定定理证明平面平面．（2）利用等体积转化即可求出答案．‎ ‎【详解】（1）在正方形中，∴O是的中点，‎ 又P是的中点，‎ 而正方形所在平面垂直于矩形所在平面，‎ ‎∴平面 由已知，得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，又 所以平面 ，因为平面 故平面平面 ‎（2）设三棱锥的高为h，‎ 由（1）可得，，∴‎ 又在中∴，，，∴‎ ‎∴，故 ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用等体积转化法求锥体的高，属于一般题．‎ ‎19.时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻。复兴中学一年一度的校运会正在密锣紧鼓地筹备中，同学们也在热切地期盼着，都想为校运会出一份力。小智同学则通过对学校有关部门的走访，随机地统计了过去许多年中的五个年份的校运会“参与”人数及相关数据，并进行分析，希望能为运动会组织者科学地安排提供参考。‎ 附：①过去许多年来学校的学生数基本上稳定在3500人左右；②“参与”人数是指运动员和志愿者，其余同学均为“啦啦队员”，不计入其中；③用数字1、2、3、4、5表示小智同学统计的五个年份的年份数，今年的年份数是6；‎ 统计表（一）‎ 年份数x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎“参与”人数（y千人）‎ ‎1.9‎ ‎2.3‎ ‎2.0‎ ‎2.5‎ ‎2.8‎ 统计表（二）‎ 高一（3）（4）班参加羽毛球比赛的情况：‎ 男生 女生 小计 参加（人数）‎ ‎26‎ b ‎50‎ 不参加（人数）‎ c ‎20‎ 小计 ‎44‎ ‎100‎ ‎（1）请你与小智同学一起根据统计表（一）所给的数据，求出“参与”人数y关于年份数x的线性回归方程，并预估今年的校运会的“参与”人数；‎ ‎（2）学校命名“参与”人数占总人数的百分之八十及以上的年份为“体育活跃年”．如果该校每届校运会的“参与”人数是互不影响的，且假定小智同学对今年校运会的“参与”人数的预估是正确的，并以这6个年份中的“体育活跃年”所占的比例作为任意一年是“体育活跃年”的概率。现从过去许多年中随机抽取9年来研究，记这9年中“体活跃年”的个数为随机变量，试求随机变量的分布列、期望和方差；‎ ‎（3）根据统计表（二），请问：你能否有超过60%的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关？‎ 参考公式和数据一：，，，‎ 参考公式二：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）线性回归方程为：，预计今年的“参与”人数为：（千人）（2）分布列见解析，，．（3）没有60%的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得，，，‎ ‎，进而写出线性回归方程并预计今年的“参与”人数．‎ ‎（2）在9次独立重复试验中，事件发生的次数为次，故随机变量服从二项分布，从而得出，．‎ ‎（3）补充表格，计算出，进而得出结论．‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎∴，∴，‎ 所以，线性回归方程为：‎ 所以，预计今年的“参与”人数为：（千人）‎ ‎（2）分析可知：在9次独立重复试验中，事件发生的次数为次，故随机变量服从二项分布，所以，．‎ ‎（3）补充表格 男生 女生 小计 参加（人数）‎ ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 不参加（人数）‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 小计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ 由列联表可得：‎ ‎．‎ 所以没有60%的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点有线性回归方程，二项分布求期望与方差，独立性检验，比较综合，属于一般题．‎ ‎20.已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线与直线的斜率分别记为，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）设，的面积分别为，，判断是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）为定值4，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设，由题得，又因为，所以有，因为，所以，进而得出结论．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为：，联立得：得，再由韦达定理和可得，即或，进而表示出与，再判断是否为定值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设，∵，‎ 则，‎ 又，则，代入上式，得 由已知：，则，‎ 从而，即．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为：，‎ 联立得：，‎ 由，‎ 由韦达定理：，，‎ 由（1），则，‎ 则，‎ 即：，‎ 所以：，‎ 得：或，‎ 当时，直线，不合题意，‎ 当时，直线，过定点，‎ 又，，‎ 则，为定值．‎ ‎【点睛】圆锥曲线是近几年高考的热点与难点，本题考查由斜率关系证明直线垂直，韦达定理，设而不求法，属于偏难题目．‎ ‎21.设函数，．‎ ‎（Ⅰ）若，证明函数有唯一的极小值点；‎ ‎（Ⅱ）设且，记函数的最大值为M，求使得的a的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）正整数a最小值为3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设，得出的单调性，再依据零点存在性定理得出结论．‎ ‎（Ⅱ）由题得，设，则，‎ 则在上为单调递减函数，从而得出在上为单调递减函数，且 ‎，则，所以，存在唯一的，使得，进而可得在处取得最大值，，所以，从而得出答案．‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵，‎ 设，则，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 且，‎ 当时，，‎ 当时，取，则，‎ 依据零点存在性定理，知存在唯一的，使得，‎ 且时，，递减，‎ 且时，，递增，‎ 故为函数唯一的极小值点．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ 设，则，‎ 则在上为单调递减函数，‎ 取，则，‎ 取，则，‎ 所以，存在唯一的，使得，即，‎ 且当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 故函数在处取得最大值，‎ 此时，由得，‎ ‎，‎ 由两边取对数，得 则，‎ 由已知，，‎ 故正整数a的最小值为3．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点有零点存在定理，以及利用导函数研究函数的单调性和最值，属于偏难题目．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．己知直线的直角坐标方程为，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）设t为参数，若，求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知：直线与曲线C交于A，B两点，设，且，，依次成等比数列，求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）直线的参数方程是（t为参数）,曲线C的直角坐标方程：（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用代入消元法得直线的参数方程． 根据得曲线C的直角坐标方程．‎ ‎（2）将直线的参数方程代入抛物线方程，再由直线参数的几何意义以及韦达定理列方程解得答案．‎ ‎【详解】（1）将代入，得，‎ ‎∴直线的参数方程是（t为参数）‎ 由得，两边同时乘以得，由得曲线C的直角坐标方程：．‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，得：，‎ 设A、B对应的参数分别是，∴，，‎ 由题意知：，∴，∴‎ 得：，∴，又∵，∴（经检验：符合题意．）‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程，普通方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程中参数的几何意义，属于一般题．‎ ‎23.已知函数，其中 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）先求出，再求出.解不等式即得解.‎ ‎【详解】（1）当时，.‎ 当时，由；‎ 当时，由不成立；‎ 综上所述，当时，不等式的解集为.‎ ‎（2）记 ‎ 则.‎ ‎∴.‎ 依题意得，∴.‎ 所以实数的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎ ‎ ‎