2018-2019学年福建省晋江市季延中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 12页

福建省晋江市季延中学2018-2019学年高二下学期期中考试理科数学试卷 考试时间：120分钟 满分150分 命题者 陈红玉 一、单选题(每题5分)‎ ‎1．已知随机变量X的分布列为，则为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．等于（ ）‎ ‎ A．990 B．‎165 C．120 D．55‎ ‎3．下列说法错误的是（ ）‎ A．在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定 B．若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关 C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，‎ ‎4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设，则的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎6．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入袋中的概率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为，，两人考试时相互独立互不影响，记x表示两人中通过雅思考试的人数，则x的方差为（ ）‎ A．0.41 B．‎0.42 C．0.45 D．0.46‎ ‎8．随机变量x服从正态分布，，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲、乙胜的概率都为,则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为(　　)‎ A．6∶1 B．7∶‎1 C．3∶1 D．4∶1‎ ‎10．已知是上的两个随机数，则满足的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．黄冈市有很多处风景名胜，仅‎4A级景区就有10处，某单位为了鼓励职工好好工作，准备组织5名优秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且这三个风景区中每个风景区至少安排1人，则这5名职工共有（ ）种安排方法 A．90 B．‎60 C．210 D．150‎ ‎12．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价元 ‎9‎ ‎9.2‎ ‎9.4‎ ‎9.6‎ ‎9.8‎ ‎10‎ 销量件 ‎100‎ ‎94‎ ‎93‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎78‎ 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（ ）‎ ‎（附：对于一组数据，其回归直线 的斜率的最小二乘估计值为.参考数值：，）‎ A．9.4元 B．9.5元 C．9.6元 D．9.7元 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．的展开式中，的系数为_____________‎ ‎14．（e为自然对数的底数）＝__________．‎ ‎15．一个盒子装有3个红球和2个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．重复50次这样的实验．记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为，则的方差是___________．‎ ‎16．将1，2，3，a,b,c排成一排，则字母a不在两端，且三个数字中有且只有两个数字相邻的概率是_____.‎ 三、 解答题(共70分)‎ ‎17．（本题10分）在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. ‎ ‎（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.‎ ‎ ‎ ‎18．（本题12分）‎2016年1月1日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行格化管理，该市妇联在格1与格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息，体重分布数据的茎叶图如图所示（中位：斤）.体重不超过19.6斤的为合格.‎ ‎（1）从格1与格2分别随机抽取2个婴儿，求格1至少一个婴儿体重合格且格2至少一个婴儿体重合格的概率；‎ ‎（2）妇联从格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检，若至少2个婴儿合格，则抽检通过，若至少3个合格，则抽检为良好.求格1在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率；‎ ‎（3）若从格1与格2内12个婴儿中随机抽取2个，用X表示格2内婴儿的个数，求X的分布列与数学期望.‎ ‎19．（本题12分）春节来临，有农民工兄弟、、、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若、、、获得火车票的概率分别是，其中，又成等比数列，且、两人恰好有一人获得火车票的概率是.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设表示、、、能够回家过年的人数，求的分布列和期望.‎ ‎20. （本题12分）如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面， 为中点．‎ ‎(1) 求证：平面 ；‎ ‎(2)求二面角的余弦值．‎ ‎21．（本题12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.‎ 方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.‎ 方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.‎ ‎（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；‎ ‎（2）若某顾客获得抽奖机会.‎ ‎①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；‎ ‎②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？‎ ‎22．（本题12分）设函数 ，‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求证：．‎ 高二理科数学期中考卷参考答案 一、CBBDA DADBB DB 二、填空题30 12 ‎ 三、解答题 ‎17.【答案】（1）； （2），，，； (3).‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：，则第4项的系数为，‎ 倒数第4项的系数为， 则有即，.‎ ‎（2）由（1）可得，当时所有的有理项为 即，，，.‎ ‎（3）设展开式中第项的系数最大，则 ‎ ，‎ ‎，故系数最大项为.‎ ‎18.【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析.‎ ‎（1）由茎叶图知，网格1内体重合格的婴儿数为4，网格2内体重合格的婴儿数为2，则所求概率.‎ ‎（2）设事件表示“2个合格，2个不合格”；事件表示“3个合格，1个不合格”； 事件表示“4个全合格”；事件表示“抽检通过”；事件表示“抽检良好”.‎ ‎∴，‎ ‎，则所求概率.‎ ‎（3）由题意知，的所有可能取值为0,1,2.‎ ‎∴，，，‎ ‎∴的分布列为 ∴.‎ ‎19.（1）、两人恰好有一人获得火车票的概率是 ‎ 联立方程 ，，解得 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎………9分 ‎ ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎. ‎ ‎18 (1)证明：因为，， 所以， ‎ 又平面平面，且平面平面，所以⊥平面，‎ 又平面，所以⊥， 2分 因为为中点，且为等边三角形，所以⊥， 3分 又，所以平面 . ……,………..4分 ‎(2)解法一：取中点为，连接，因为为等边三角形，所以⊥，‎ 由平面⊥平面，因为平面，所以⊥平面， 5分 所以⊥，由，，‎ x y z O 可知，所以．‎ 以中点O为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 6分 所以 则，‎ 因为为中点，所以，由 (1) 知，平面的一个法向量为. 7分设平面的法向量为，由得 ‎，取，则， 9分 由. 11分 因为二面角为钝角，所以，二面角的余弦值为. 12分 解法二： 取中点为，连接，因为为等边三角形，所以⊥，‎ 由平面⊥平面，所以⊥平面， 5分 所以⊥，由，，‎ x y z O 可知，所以．以中点O为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 6分 所以 ‎，所以 ‎，由(1)知，可以为平面PBC的法向量，‎ 因为为的中点，所以，‎ 由(1)知，平面PBC的一个法向量为， 7分 设平面PCD的法向量为，‎ 由得，取，则， 9分 所以 11分 因为二面角为钝角，所以，二面角余弦值为………12分 第18题图 H O 解法三：过点作的垂线，交于点，连结.由解法一或二知⊥平面，平面，所以.由条件知，‎ 又，所以⊥平面，‎ 又平面，所以，‎ 又，所以，‎ 所以，‎ 由二面角的定义知，二面角的平面角为……..7分 在中，，，‎ 由，所以.同理可得， 9分 又.在中，= 10分 所以，二面角的余弦值为. 12分 ‎21.【答案】(1) (2)①②第一种抽奖方案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为 设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则 所以两位顾客均获得180元返金劵的概率 ‎（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.‎ 设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.‎ 则；；；‎ ‎.‎ 所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为 ‎（元）‎ 若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故 所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的 数学期望为（元）.‎ ‎②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案 ‎22【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）， ‎ 设，‎ ‎①当时，，；‎ ‎②当时，由得或，‎ 记 ‎ 则，∵‎ ‎∴当时，，，当时，，， ‎ ‎∴当时，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增． ‎ ‎（2）不妨设，由已知得，，‎ 即，，‎ 两式相减得，∴， ‎ 要证，‎ 即要证，‎ 只需证，‎ 只需证，即要证，‎ 设，则，只需证， ‎ 设，只需证，‎ ‎，‎ 在上单调递增，‎ ‎，得证．‎ ‎【点睛】‎ 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎