甘肃省白银市靖远县第四中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 17页

靖远四中2019-2020学年12月考试高一数学 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集U＝R，集合M＝{x∈R|y}，N＝{y∈R|y}．则N∩∁UM＝（　　）‎ A. ∅ B. {x|0≤x＜1} C. {x|0≤x≤1} D. {x|﹣1≤x＜1}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，根据全集U＝R求出M的补集，找出N与M补集的交集即可．‎ ‎【详解】由M中y，得到x﹣1≥0，即x≥1，‎ ‎∴M＝{x|x≥1}，‎ ‎∵全集U＝R，‎ ‎∴∁UM＝{x|x＜1}，‎ 由N中y0，‎ ‎∴N＝{y|y≥0}，‎ 则N∩（∁UM）＝{x|0≤x＜1}．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．‎ ‎2.函数的单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数“同增异减”的性质求解即可 ‎【详解】由，外层函数为增函数，故内层函数应在符合定义域的基础上求单减区间，优先满足，即或，当时，单调递减；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查复合函数增减区间的求法，熟记“同增异减”是解题的关键，属于基础题 ‎3.函数的零点所在的一个区间是 ( )‎ A. (0，1) B. (1，2) C. (一1，0) D. (一2，一1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的单调性，根据函数零点的判断条件即可得到结论．‎ ‎【详解】函数g（x）单调递增，‎ ‎∵g（﹣1）＝2﹣1﹣5＜0，g（0）＝1＞0，‎ ‎∴g（﹣1）g（0）＜0，‎ 即函数g（x）在（﹣1，0）内存在唯一的零点，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点区间的判断，根据函数零点存在的条件是解决本题的关键．‎ ‎4.已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，若，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，求得函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，函数满足，所以函数是以4‎ 为周期的周期函数，‎ 则，‎ 又由函数上在上的奇函数，且，‎ 所以，即，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性和周期性，合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎5.定义在R上的函数在(6, ＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋6)为偶函数，则（ ）‎ A. f(4)＞f(5) B. f(4)＞f(7) C. f(5)＞f(7) D. f(5)＞f(8)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：∵的图象可以看成是由的图象向右平移个单位得到，而为偶函数，其图象关于轴对称，∴的图象关于直线对称，又函数在上是减函数，所以，故选Ｄ．‎ 考点：奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象变化．‎ ‎6.已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)‎ A. 1条或2条 B. 2条或3条 C. 1条或3条 D. 1条或2条或3条 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分类讨论：‎ 当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线；‎ 当β∥γ时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线；‎ 当β∩γ=b，α∩β=a，α∩γ=c时，有3条交线.‎ 本题选择D选项.‎ ‎7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为 .‎ 本题选择D选项.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.如图，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ） ‎ A. 1+ B. 2+ C. 1+ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先还原几何体，再根据直角梯形面积公式得结果.‎ ‎【详解】几何体为一个直角梯形，上底长为1，下底长为1+，高为2，因此面积为选B.‎ ‎【点睛】本题考查直观图，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎9.已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设底面半径为，侧面展开图半径为；‎ 底面周长等于侧面半圆周长，即 选A ‎10.已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为全等的直角三角形，则此棱锥的体积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知，三棱锥除正三角形的三条边，另外三条边互相垂直且相等，再计算即可得出答案。‎ ‎【详解】由题意知三棱锥为如图所示 因为 ‎ 所以体积 ‎ 故选C ‎【点睛】本题考查三棱锥的体积，属于基础题。‎ ‎11.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4， EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　　)‎ ‎ ‎ A. 60° B. 45° C. 30° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BC中点为G，连接FG，EG．推导出∠EFG是EF与CD所成的角，由此能求出结果．‎ ‎【详解】取BC中点为G，连接FG，EG．‎ 所以有AB∥EG，‎ 因为EF⊥BA，所以EF⊥EG，‎ 因为CD＝2AB＝4，所以可知EG＝1，FG＝2，‎ 所以△EFG是一个斜边为2，一条直边为1的直角三角形．‎ EF与CD所成的角也是EF与FG所成的角．‎ 也是斜边为2与直角边为1的夹角，‎ 即EF与CD所成的角为30°．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．‎ ‎12.给出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题：‎ ‎①若与为异面直线，，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则．‎ 其中正确的个数为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由或相交，判断①；由或异面判断②，由线面平行的性质定理判断③.‎ ‎【详解】①若与为异面直线，，则或相交，故①错误；‎ ‎②中，若，则或异面，故②错误；‎ ‎③中，根据线面平行的性质定理，同理，所以，故③正确，‎ 即正确命题的个数为1，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系判断，属于中档题 . 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假.‎ 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13.若，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将指数式化为对数式，再取倒数相加即得．‎ ‎【详解】∵‎2a＝5b＝10，‎ ‎∴a＝log2 10，b＝log5 10，‎ ‎∴lg2，lg 5‎ ‎∴lg2+lg5＝lg（2×5）＝1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算性质．属基础题．‎ ‎14.函数在定义域(—1，1)上是减函数，且，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】（0，）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的定义域和单调性，可得 ，由此求得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】∵函数f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（a﹣1）＞f（1﹣‎3a），‎ ‎∴，求得0＜a，‎ 故答案为：（0，）．‎ 点睛】本题主要考查函数的定义域和单调性，注意定义域，属于基础题．‎ ‎15.是一个平面，是两条直线，是一个点．若m⊄α，，且，，则位置关系不可能是_________.‎ ‎【答案】平行 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得n在平面上，m与平面相交，A是和平面相交的点，从而m和n 异面或相交，一定不平行．‎ ‎【详解】∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，‎ m⊄α，n⊂α，‎ ‎∴n在平面上，m与平面相交 ‎∵A∈m．A∈‎ ‎∴A是和平面相交的点 ‎∴m和n 异面或相交，一定不平行．‎ 故答案为：平行．‎ ‎【点睛】本题考查两条直线的位置关系的判断，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是基础题．‎ ‎16.已知正四棱锥的顶点均在球上，且该正四棱锥的各个棱长均为，则球的表面积为_________.‎ ‎【答案】8π ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，正四棱锥P﹣ABCD的顶点均在球O上，点P在底面ABCD的投影点为O′，则AO′AC，PA＝2，得球心即为O′即可求解 ‎【详解】设点P在底面ABCD的投影点为O′，则AO′AC，PA＝2，PO′⊥平面ABCD，故PO′，故底面ABCD应在球的大圆上，半径AO′，O′即为球心，则球的半径R，‎ 故球O的表面积S＝4πR2＝8π，‎ 故答案为：8π ‎【点睛】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ 三、简答题（共70分）‎ ‎17.己知集合，‎ ‎（1）若为非空集合，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）若，那么，求解；‎ ‎（2）若，分，或是两种情况讨论．当时，即，当时，即或，求解．‎ 试题解析：解：（1）作出数轴可知若则有 ‎，解得：‎ 可得实数的取值范围为 ‎（2）则有如下三种情况：‎ ‎1），即，解得：；‎ ‎2），时，则有解得：无解；‎ ‎3），时，则有解得：．‎ 综上可得时实数的取值范围为 考点：集合的关系运算 ‎【易错点睛】本题主要考查了两个集合的关系，属于基础题型，第一问容易出错在有等号函数没等号上面，这就要求我们做题时要细心，第二问当时，易忽略的情况，以及时，或是一种或的关系，而不是且的关系，做题时切记或是求并集，且求交集．‎ ‎18.设，且.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接由求得的值； （2）由对数的真数大于0求得的定义域，判定在上的增减性，求出在上的最值，即得值域．‎ ‎【详解】解：(1)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎(2)由得，‎ ‎∴函数的定义域为，‎ ‎， ‎ ‎∴当时，是增函数；当时，是减函数，‎ ‎∴函数在上的最大值是．‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的零点；‎ ‎（2）若有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用零点的定义，解方程得函数的零点；（2）若有零点，则方程有解，从而把表示为关于的函数，通过求函数的值域得的范围．‎ 试题解析：（1）时，，令，‎ 即，‎ 解得或（舍）‎ 所以，所以函数的零点为．‎ ‎（2）若有零点，则方程有解．‎ 于是，‎ 因为，所以，即，‎ 考点：1、零点的定义；2、分式型函数求值域．‎ ‎【方法点睛】（1）求函数的零点的实质就是求方程的时对应的自变量的值，需要注意的是零点是一个数值，而不是一个点，是函数与轴交点的横坐标；（2）若有零点，则方程有解，从而分离出参数，然后求出函数在给定区间上的值域，只要取这个值域内的数就可以了．‎ ‎20.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面PAD；‎ ‎（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取PD的中点H,易证得AMNH为平行四边形，从而证得MN∥AH，即证得结论；‎ ‎（2）由平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA，利用中位线定理可确定位置.‎ ‎【详解】(1)如图,取PD的中点H, ‎ 连接AH、NH.由N是PC的中点,H是PD的中点,知NH∥DC,NH=DC.‎ 由M是AB的中点,知AM∥DC,AM=DC ‎. ‎ ‎∴NH∥AM,NH=AM,所以AMNH为平行四边形.‎ ‎∴MN∥AH.‎ 由MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,‎ 知MN∥平面PAD.‎ ‎(2)若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,‎ ‎∵M是AB中点,∴Q是PB的中点.‎ 即当Q为PB的中点时,平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行及面面平行的证明，属于基础题.‎ ‎21.如图，在直三棱柱中，，．‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）若为的中点，求与平面所成的角．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）与平面所成的角为 ‎【解析】‎ 试题分析：（I）根据平面，证出，结合1得到平面，从而证出1．然后在正方形中证出，可得出平面；‎ ‎（II）设与相交于点，则点是线段的中点．连接，由题意知是正三角形．可证与的交点为重心，连接．‎ 由（I）知平面，于是是与平面所成的角．在直角中．计算 正弦值即可．‎ 试题解析：（I）由题意知四边形是正方形，故．‎ 由平面，得．‎ 又，所以平面，故．‎ 从而得平面．‎ ‎（II）设与相交于点，则点是线段中点．‎ 连接，由题意知是正三角形．‎ 由，是的中线知：与的交点为重心，连接．‎ 由（I）知平面，故是在平面上的射影，于是是与平面所成的角．‎ 在直角中，，，‎ 所以．‎ 故，即与平面所成的角为．‎ 考点：直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角 ‎22. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.‎ 求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：1)证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等； (2)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.‎ 试题解析：(1)∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD ‎∴CD⊥PA.‎ 又矩形ABCD中，CD⊥AD，‎ ‎∵AD∩PA＝A，平面PAD，平面PAD ‎∴CD⊥平面PAD，‎ 平面PAD∴CD⊥PD.‎ ‎(2)取PD的中点G，连结AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴四边形AEFG是平行四边形，‎ ‎∴AG∥EF.‎ ‎∵PA＝AD，G是PD的中点，‎ ‎∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，‎ ‎∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.‎ ‎∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.‎ ‎∵PD∩CD＝D，平面PCD，CD平面PCD ‎∴EF⊥平面PCD.‎ 考点：线线、线面与面面关系相互转化、线面垂直 ‎ ‎