专题03 函数模型备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区） 5页

专题03 函数模型 专题点拨 ‎ 随着新高考改革，函数模型的应用题越来越多，新的课程标准中6大学科素养中，其中2个是数学建模和创新能力，这在函数中体现的很明显。其中数学建模主要是指函数模型的解决，主要有一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型、指对数函数模型等。另外就是构造函数的能力。‎ 真题赏析 1． ‎(207·上海) 定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为_______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，∴的解为.‎ 2． ‎（2018·上海）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则_______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 由题可得，则由为奇函数可得.‎ ‎3． （2018·上海）已知常数，函数的图像经过点，，若，则_________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 由题可得，即，解得，则.‎ 例题剖析 ‎【例1】已知函数．‎ ‎(1)求函数的值域；()‎ ‎(2)设的最大值为，求的表达式；‎ ‎(3)在条件(2)下，试求满足不等式的实数的取值范围．‎ ‎【例2】已知函数（）‎ ‎(1) 判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎(2) 设，问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由； ‎ ‎(3)设，函数，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)，若是偶函数，则，即， 所以对任意实数成立，所以；‎ 若是奇函数，则，即，所以对任意实数成立，所以.‎ 综上，当时，是偶函数；当时，是奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.‎ ‎(2)当时，若函数的图像是轴对称图形，且对称轴是直线，‎ 则函数是偶函数，即对任意实数，， ‎ 故，化简得， ‎ 因为上式对任意成立，所以，．‎ 所以，函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线． ‎ ‎(3)由得，，即，此方程有且只有一个实数解．令，则，问题转化为：方程有且只有一个正数根． ‎ ‎①当时，，不合题意． ②当时，(i) 若△，则或，若，则，符合题意；若，则，不合题意． (ii) 若△，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得． ‎ 综上，实数的取值范围是． ‎ ‎【变式训练2】‎ ‎ 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.‎ ‎(1) 若且，证明：函数必有局部对称点；‎ ‎(2) 若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；‎ ‎(3) 若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1) 由得， ‎ 代入得，，得到关于的方程（），其中，由于且，所以恒成立，‎ 所以函数（）必有局部对称点.‎ ‎(2) 方程在区间上有解，于是， 设 ‎（），， 其中， 所以 ‎(3)，由于，‎ 所以，‎ 于是……（*）在上有解 令（），则， ‎ 所以方程（*）变为在区间内有解，需满足条件：‎ ‎， 即，化简得.‎ ‎【例3】（2019·宝山区一模）某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度(单位：度)与时间(单位：小时，)近似地满足函数关系，其中，为大棚内一天中保温时段的通风量.‎ ‎（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到）；‎ ‎（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.‎ ‎【解析】（1），，，‎ 当时，是减函数， ‎ 当时，是增函数，‎ 所以，，‎ 因而，大棚一天中保温时段的最低温度是.‎ ‎（2）由题意，所以，‎ 令， ‎ 只需求的最大值，‎ 当时，递增，，‎ 当时，，即，，‎ 故，，‎ 所以，大棚一天中保温时段通风量的最小值为256个单位. ‎