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- 2021-06-15 发布
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2.3.2
双曲线的几何性质
(
二
)
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关于
x
轴、
y
轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
y
x
O
A
2
B
2
A
1
B
1
.
.
F
1
F
2
y
B
2
A
1
A
2
B
1
x
O
.
.
F
2
F
1
A
1
(
-
a
,
0
),
A
2
(
a
,
0
)
B
1
(
0
,
-b
),
B
2
(
0
,
b
)
F
1
(-c,0) F
2
(c,0)
F
1
(-c,0)
F
2
(c,0)
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
A
1
(
-
a
,
0
),
A
2
(
a
,
0
)
渐进线
无
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
A
1
(
-
a
,
0
),
A
2
(
a
,
0
)
A
1
(
0
,
-
a
),
A
2
(
0
,
a
)
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
渐进线
.
.
y
B
2
A
1
A
2
B
1
x
O
F
2
F
1
x
B
1
y
O
.
F
2
F
1
B
2
A
1
A
2
.
F
1
(-c,0)
F
2
(c,0)
F
2
(0,c)
F
1
(0,-c)
1
、“共渐近线”的双曲线
λ>0
表示焦点在
x
轴上的双曲线;
λ<0
表示焦点在
y
轴上的双曲线。
2
、“共焦点”的双曲线
(
1
)与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表
示为
(
2
)与双曲线 有共同焦点的双曲线方
程表示为
复习练习:
C
B
例
1
、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的
最小半径为
12m,
上口半径为
13m,
下口半径
为
25m,
高
55m.
选择适当的坐标系,求出此
双曲线的方程
(
精确到
1m).
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
13
12
25
例题讲解
---
实际应用题
同步导学
45
页
解:如图,建立直角坐标系
xOy,
使小圆的直径
AA‘
在
x
轴上,圆心与原点重合。这时,上下口的直径
CC’,BB’
都平行于
x
轴,且
︱CC’ ︱=13×2, ︱BB’ ︱
=
25×2
C
x
y
O
A’
A
C’
B
B’
13
12
25
用计算器解方程,得
b≈25
C
x
y
O
A’
A
C’
B
B’
13
12
25
例题讲解
----
直线与双曲线问题:
例
2
:如图所示,过双曲线 的右焦点
F
2
,倾斜角为
30
°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|
F
1
F
2
x
y
O
A
B
法一
:
设直线
AB
的方程为
与双曲线方程联立得
A
、
B
的坐标为
由两点间的距离公式得
|AB|=
例
2
:如图所示,过双曲线 的右焦点
F
2
,倾斜角为
30
°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|
F
1
F
2
x
y
O
A
B
法二
:
设直线
AB
的方程为
与双曲线方程联立消
y
得
5x
2
+6x-27=0
由两点间的距离公式得
设
A
、
B
的坐标为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
),
则
你能求出△
AF
1
B
的周长吗
?
例题讲解
---
焦点三角形
例
3
、由双曲线 上的一点
P
与左、右
两焦点 构成 ,求 的内切圆与
边 的切点坐标。
说明:
双曲线上一点
P
与双曲线的两个焦点 构成的三角形称之为
焦点三角形
,其中 和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题,要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。
点
P
与定点
F(5
,
0)
的距离和它到定直线
的距离之比为
5:4,
求点
P
的轨迹方程。
【例
4
】
点
P
与定点
F(0
,
7)
的距离和它到定直线
的距离之比为
7:4,
求点
P
的轨迹方程。
例题讲解
---
第二定义及焦半径
平面内与一个
定点
的距离和到
定直线
的距离的比
是
常数
e= (e>1)
的动点的轨迹是双曲线。
焦点
F
1
(c,0)
对应的
准线方程为
焦点
F
2
(-c,0)
对应的
准线方程为
应用
1
:
双曲线 右支上有一点
P
,它到右焦点的
距离为
8
,求:
(1)
点
P
到右准线的距离;
(2)
点
P
到双曲线左准线的距离。
在双曲线 上求一点
M
,使
M
到左焦点
的距离是它到右焦点距离的两倍。
应用
2
:
应用
3
:参考同步导学
46
页例
3
已知点
A(3,2),
F(2,0),
在双曲线 上求一点
P
,使得
|PA|+1/2|PF|
最小
,
并求最小距离。
已知双曲线
的两个焦点分别
为
F
1
(-c,0),F
2
(c,0),P(x
0
,y
0
)
是双曲线上任一点,
证明:
|PF
1
|=|ex
0
+a
|
,|PF
2
|=
|
ex
0
-
a
|
应用
4
: