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- 2021-06-15 发布
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专题五 数列
误区一 等比数列求解中忽视的取值范围
一、易错提醒
等比数列求和问题是高考的重点,求解等比数列求和问题“”该不该考虑?,许多同 在解题不关心或不清楚,致使答案错误,到底那个题该考虑?那个题不考虑?认真审题,弄清题意是关键.
二、典例精析
(一) 的问题
【例1】已知数列,,,,,,. 求. =
【分析】在等比数列中,若公比,则;若,则,因此在解含参数的等比数列求和问题时,一定要注意其公比是什么?能否取到1.
③当时也满足上式,所以 ]
【点评】①求解本题容易出现下面三种错误 ①忽视的情况;②忽略的情况;③用错位相减时不注意用对应项相减;④用错位相减时漏掉
.②等比数列前n项和公式成立的条件为q≠1,而当q=1时,应按常数列求和;在含字母参数的等比数列求和时,应分q=1与q≠1两种情况进行讨论.
【小试牛刀】设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )
A.31 B.32 C.63 D.64
【解析】方法一 在等比数列{an}中,S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列,故(S4-S2)2=S2(S6-S4),则(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63. =
方法三 因为数列{an}为等比数列,若q=1,
则有Sn=na1,显然不符合题意,故q≠1.
设其前n项和为Sn= qn- .
由题意可得
两式相除得1+q2=5,解得q2=4.
代入解得 =1.故Sn=qn-1.
所以S6=q6-1=(q2)3-1=43-1=63.
方法四 设等比数列的公比为q,
则S2=a1+a2=3,S4=a1+a2+a3+a4=(1+q2)(a1+a2)=(1+q2)×3=15,[ | | ]
解得q2=4.
故S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(1+q2+q4)(a1+a2)
=(1+4+42)×3=63.
【点评】解题(1)中,方法一利用等比数列的性质Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(Sm≠S2m)也成等比数列求解;
方法二利用等比数列的基本运算求解;
方法三利用等比数列前n项和公式的结构特征设出前n项和的表达式;
方法四是利用整体代换的方法;
(二) 的问题
【例2】已知数列是首项为1的等比数列,是的前项和,且,则数列的前5项和为 .
【分析】题目已知数列是首项为1的等比数列,,很明显数列中不满足,所以本题中.
【解析】显然,所以整理得,∴,
所以是首项为1,公比为的等比数列, 前5项和.
【点评】本题主要考查等比数列前项和公式及等比数列的性质,在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法的应用.
【小试牛刀】已知等比数列的各项均为正数,公比为,前项和为,若,有,则的取值范围是 . =
【分析】对分类讨论.
(三) 的问题
由等比数列定义可得,等比数列的公比不为0,且等比数列任意一项都不为0.
【例3】已知等比数列,若存在实数 ,使得恒成立,则 的取值范围是 .
【分析】把 表示为q的函数,转化为函数求值域.
【解析】由可得,即,因为,所以.
【点评】本题易忽略,得到错误答案.
【小试牛刀】已知数列{an}和{bn}满足 a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n∈N*.
(1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;
(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
【解析】(1)证明 假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列 ,则有a=a1·a3,即=λ⇔λ2-4λ+9=λ2-4λ⇔9=0,矛盾.所以数列{an}不是等比数列.
(2)因为bn=(-1)n (an-3n+21),
bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1
=(-1)n+1=(-1)n+1(an-3n+21)=-bn.
又b1=-(λ+18),所以
当λ=-18,b1=0,易得bn=0(n∈N*),此时数列{bn}不是等比数列;
当λ≠-18,b1≠0,由上可知bn≠0,
∴=-(n∈N*),此时数列{bn}是等比数列.
三、迁移运用
1.【云南省师范大 附属中 2018届高三第七次月考】正项数列是等比数列,公比为q,且,则实数q为
A. 或1 B. 1 C. 2 D. 或
【答案】B
【解析】由题意,,解得.故选B.
2.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )
A.-24 B.0 C.12 D.24
【答案】A
【解析】∵x,3x+3,6x+6是等比数列的前三项,∴(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-1或-3.当x=-1时,数列前三项为-1,0,0,不构成等比数列;当x=-3时,数列前三项为-3,-6,-12,其公比q=2,该数列第四项为-12×2=-24.故选A.
3.若是等比数列,则数列( )
A. 一定是等比数列
B. 一定不是等差数列
C. 一定不是比差数列
D. 可能是等差数列
【答案】D
【解析】若,则,此时不是比差数列,是等差数列,故选D.
4.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考】已知数列的前项和,则““是“数列是等比数列”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
5.实数项等比数列{an}的前n项的和为Sn,若=,则公比q等于________.
【答案】-
【解析】首先q≠1,因为若q=1,则=2,当q≠1时,====,q5=-,q=-.
6.求和
【解析】依题意,,
①当时,;②当或时,;
③当且时,可看作是首项为,公比为的等比数列的前项和.
∴,
故.
7.设是公比为q的等比数列.
(1)推导的前n项和公式;
(2)设q≠1, 证明数列{an+1}不是等比数列.
【解析】(1) 设的前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
当q≠1时,Sn=a1+a1q+…+a1qn-1, ①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得,Sn=a1-a1qn.
∴Sn=,∴Sn=
(2) 证明 (反证法),假设数列{an+1}是等比数列,则对任意的 ∈N+,2=,
a+2a +1+1=a a +2+a +a +2+1,
aq2 +2a1q +1=a1q -1a1q +1+a1q -1+a1q +1+1,
∵a1≠0,∴2q =q -1+q +1.
∵q≠0,∴q2-2q+1=0.
∴q=1,与已知矛盾.
∴数列{an+1}不是等比数列.
8. 已知数列满足.
(Ⅰ)若,求的取值范围; =
(Ⅱ)若是公比为等比数列,,求的取值范围;
(Ⅲ)若成等差数列,且,求正整数的最大值,以及取最大值时相应数列的公差.
【解析】(Ⅰ)由条件得且,解得.
所以的取值范围是[3,6].
(Ⅱ)由,且,得,所以
又,所以
当时, ,由得成立
当时,即
(Ⅲ)设的公差为,由,且
得,
即
当时,;[ _ _ _X_X_ ]
当时,由,得,
所以.
所以
所以的最大值为1999,时,的公差为.