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  • 2021-06-15 发布

数学(理)卷·2017届江西省五市八校高三下学期第二次联考(2017

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江西省五市八校2017届高三第二次联考数学(理科)试卷 命题人:九江三中 乐平中学 ‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.‎ 考生注意:‎ ‎1.答题前,考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.‎ ‎2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,‎ 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域书写作答,在试题卷上作答,答案无效.‎ ‎3.考试结束,监考员将答题卡收回.‎ 第Ⅰ卷(选择题60分)‎ 一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.复数( ) A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知等比数列的各项都为正数, 且成等差数列, 则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.如图, 格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是 某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,‎ 且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是( )‎ ‎ ‎ ‎5.在区间内随机取出两个数,则这两个数的平方和在区间内的概率为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 开始 结束 是奇数 否 否 输出 是 是 ‎6.如右图所示的程序框图输出的结果是( )‎ ‎ A.6 B.‎ ‎ C.5 D.‎ ‎7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为,三角形的面积可由公式求得,其中为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足,则此三角形面积的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 设表示不超过的最大整数,如,已知函数,若方程有且仅有个实根,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.某学校高三年级有2个文科班,3个理科班,现每个班指定1人对各班的卫生进行检查,若每班只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是( )‎ A.24 B.32 C.48 D. 84‎ ‎10.倾斜角为的直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于点、,交抛物线的准线于点(在、之间),若,则( ) A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎11.设是正方体的对角面(含边界)内的点,若点到平面、平面、平面的距离相等,则符合条件的点( )‎ ‎ A.仅有一个 B.有有限多个 C.有无限多个 D.不存在 ‎12.若关于不等式恒成立,则实数的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D. []‎ 第Ⅱ卷 注意事项:须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知,且,则向量与向量的夹角是 ‎ ‎14. 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨,生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是 万元 ‎15.已知数列满足,若不等式 恒成立,则实数的取值范围是 ‎ ‎16.函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数,函数若关于的方程在内有两个不同的解,则的值为 ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)在中,所对边长分别为,‎ 已知,且.‎ ‎(1)求的大小;‎ ‎(2)若,,求的面积.‎ ‎18.(本小题满分12分)如图,在四面体中,平面平面,, ‎ ‎,,.‎ (1) 求证:;‎ A C B D E ‎(2)设是的中点,若直线与平面的夹角为,‎ 求四面体外接球的表面积.‎ ‎19. (本小题满分12分)春节来临,有农民工兄弟、、、四人各自通过互联订购回家过年的火车票,若订票成功即可获得火车票,即他们获得火车票与否互不影响.若、、、获得火车票的概率分别是,其中,又成等比数列,且、两人恰好有一人获得火车票的概率是.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家,否则两人都不回家.设表示、、、能够回家过年的人数,求的分布列和期望.[]‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .‎ ‎(1) 证明: 为定值;‎ ‎(2) 记△的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试 ‎ 判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.‎ ‎21. (本小题满分12分)已知函数 ‎ (1)讨论函数的单凋性;‎ ‎ (2)若存在使得对任意的不等式(其中e为自然对数的底数)都成立,求实数的取值范围.‎ ‎ 请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点, ‎ 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 ‎(1) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数. ‎ ‎(1) 若,求实数的取值范围;‎ ‎(2) 若R , 求证:.‎ 理科数学参考答案 一、 选择题 1-5 ABADD 6-10 CBCAD 11-12 AB 二、 填空题13、 14、27 15、 16、‎ 三、 解答 ‎17、解:(1), ‎ ‎………2分 由正弦定理得………4分 ‎ ………5分 ………6分 ‎ ‎(2)由(1)及余弦定理得,‎ 得 即………8分 又,解得………9分 ‎ ‎ ………11分 的面积………12分 ‎18、解:(1)由平面平面,,得平面,‎ ‎………2分 又由,,,得,所以………4分 A C B D E F 故平面,所以………6分 ‎(2)取的中点,连接,则,‎ 因为平面 平面……………8分 连接,则,‎ ‎……………9分 又,所以四面体的外接球的半径………11分 故四面体的外接球的表面积=………12分(向量解法酌情给分)‎ ‎19、解:(1)、两人恰好有一人获得火车票的概率是 ‎………1分 联立方程………3分 ‎,解得………5分 ‎(2)‎ ‎………6分 ‎………7分 ‎………8分 ‎………9分 ‎………10分 的分布列为 ‎0[]‎ ‎1‎ ‎2[]‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎………11分 ‎………12分 ‎20、(1) 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为.‎ ‎ 因为点和在抛物线上, 所以,.‎ ‎ 所以直线的方程为. …………………………………1分 ‎ 因为点在直线上,‎ ‎ 所以,即. ………………………………2分 ‎ 同理, . …………………………………………3分 ‎ 所以是方程的两个根.‎ ‎ 所以. …………………………………………4分 ‎ 又, …………………………………………5分 ‎ 所以为定值. …………………………………………6分 法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, ………………1分 由消去得,‎ 由, 化简得. ……………………………2分 所以. …………………………………………………………………3分 由,得,所以.‎ ‎ 所以直线的斜率为,直线的斜率为. ‎ ‎ 所以, 即. …………………………………………4分 ‎ 又, …………………………………………5分 ‎ 所以为定值. …………………………………………6分 ‎(2) 直线的垂直平分线方程为, ……………7分 ‎ 由于,,‎ ‎ 所以直线的垂直平分线方程为. ① ……………8分 ‎ 同理直线的垂直平分线方程为. ② ……………9分 ‎ 由①②解得, ,‎ ‎ 所以点. ……………………………………………………10分 ‎ 抛物线的焦点为 则 ‎ 由于,……………………………………………………11分 ‎ 所以 ‎ 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 另法: 以为直径的圆的方程为 ……11分 把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.‎ 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 ‎21、解:(I),记 ‎ ‎(i)当时,因为,所以,函数在上单调递增; ‎ ‎(ii)当时,因为,‎ 所以,函数在上单调递增;‎ ‎(iii)当时,由,解得,‎ 所以函数在区间上单调递减,‎ 在区间上单调递增.------------------(6分) ‎ ‎(II)由(I)知当时,函数在区间上单调递增,‎ 所以当时,函数的最大值是,对任意的,‎ 都存在,使得不等式成立,‎ 等价于对任意的,不等式都成立, ‎ 即对任意的,不等式都成立,‎ 记,由,‎ ‎,‎ 由得或,因为,所以,‎ ‎①当时,,且时,,‎ 时,,所以,‎ 所以时,恒成立;‎ ‎②当时,,因为,所以,‎ 此时单调递增,且,‎ 所以时,成立;‎ ‎③当时,,,‎ 所以存在使得,因此不恒成立.‎ 综上,的取值范围是. ------------------(12分)‎ 另解(II)由(Ⅰ)知,当时,函数在区间上单调递增,‎ 所以时,函数的最大值是,‎ 对任意的,都存在,‎ 使得不等式成立,‎ 等价于对任意的,不等式都成立, ‎ 即对任意的,不等式都成立,‎ 记,‎ 由,且 ‎∴对任意的,不等式都成立的必要条件为 又,‎ 由得或 因为,所以,‎ ① 当时,,且时,,‎ ‎ 时,,所以,‎ 所以时,恒成立;‎ ‎②当时,,因为,所以,‎ 此时单调递增,且,‎ 所以时,成立.‎ 综上,的取值范围是. ------------------(12分)‎ ‎22、(1) 由 消去得, ………………………………………1分 ‎ 所以直线的普通方程为. ………………………………………2分 ‎ 由, ……3分 ‎ 得. ………………………………………4分 ‎ 将代入上式,‎ ‎ 得曲线的直角坐标方程为, 即. ………5分 ‎ (2) 设曲线上的点为, ………………………………6分 则点到直线的距离为…………………………7分 ‎………………………………………8分 ‎ 当时, , ………………………………………9分 ‎ 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.………………………………10分 ‎23、(1) 因为,所以. ………………………………………1分 ‎ ① 当时,得,解得,所以; ……………2分 ‎ ② 当时,得,解得,所以; ……………3分 ‎③ 当时,得,解得,所以; ……………4分 综上所述,实数的取值范围是. ………………………………………5分 ‎(2) 因为R , ‎ ‎ 所以 ……………………………7分 ‎ ……………………………………………………………………8分 ‎ ……………………………………………………………………9分 ‎ . ……………………………………………………………………10分

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