数学（理）卷·2017届江西省五市八校高三下学期第二次联考（2017 10页

江西省五市八校2017届高三第二次联考数学（理科）试卷 命题人：九江三中 乐平中学 ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 考生注意：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.‎ ‎2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，‎ 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域书写作答，在试题卷上作答，答案无效.‎ ‎3.考试结束，监考员将答题卡收回.‎ 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.复数（ ） A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知等比数列的各项都为正数, 且成等差数列, 则的值是（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎4.如图, 格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是 某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,‎ 且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是（ ）‎ ‎ ‎ ‎5.在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间内的概率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 开始 结束 是奇数 否 否 输出 是 是 ‎6.如右图所示的程序框图输出的结果是（ ）‎ ‎ A.6 B.‎ ‎ C.5 D.‎ ‎7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ）‎ A.24 B.32 C.48 D. 84‎ ‎10.倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于点、，交抛物线的准线于点（在、之间），若，则（ ） A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎11.设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点（ ）‎ ‎ A.仅有一个 B.有有限多个 C.有无限多个 D.不存在 ‎12.若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. []‎ 第Ⅱ卷 注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，且，则向量与向量的夹角是 ‎ ‎14. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨，生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元 ‎15．已知数列满足，若不等式 恒成立，则实数的取值范围是 ‎ ‎16．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为 ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分）在中，所对边长分别为，‎ 已知，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎18.(本小题满分12分）如图，在四面体中，平面平面，, ‎ ‎，，.‎ (1) 求证：；‎ A C B D E ‎(2)设是的中点，若直线与平面的夹角为，‎ 求四面体外接球的表面积.‎ ‎19. (本小题满分12分）春节来临，有农民工兄弟、、、四人各自通过互联订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若、、、获得火车票的概率分别是，其中，又成等比数列，且、两人恰好有一人获得火车票的概率是.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设表示、、、能够回家过年的人数，求的分布列和期望.[]‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .‎ ‎（1） 证明: 为定值;‎ ‎（2） 记△的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试 ‎ 判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数 ‎ (1)讨论函数的单凋性；‎ ‎ (2)若存在使得对任意的不等式（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．‎ ‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点, ‎ 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 ‎(1) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数. ‎ ‎(1) 若，求实数的取值范围;‎ ‎(2) 若R , 求证：.‎ 理科数学参考答案 一、 选择题 1-5 ABADD 6-10 CBCAD 11-12 AB 二、 填空题13、 14、27 15、 16、‎ 三、 解答 ‎17、解：（1）， ‎ ‎………2分 由正弦定理得………4分 ‎ ………5分 ………6分 ‎ ‎（2）由（1）及余弦定理得，‎ 得 即………8分 又，解得………9分 ‎ ‎ ………11分 的面积………12分 ‎18、解:(1)由平面平面，，得平面，‎ ‎………2分 又由，，，得，所以………4分 A C B D E F 故平面，所以………6分 ‎（2）取的中点，连接，则,‎ 因为平面 平面……………8分 连接,则，‎ ‎……………9分 又，所以四面体的外接球的半径………11分 故四面体的外接球的表面积=………12分（向量解法酌情给分）‎ ‎19、解：（1）、两人恰好有一人获得火车票的概率是 ‎………1分 联立方程………3分 ‎，解得………5分 ‎（2）‎ ‎………6分 ‎………7分 ‎………8分 ‎………9分 ‎………10分 的分布列为 ‎0[]‎ ‎1‎ ‎2[]‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎………11分 ‎………12分 ‎20、(1) 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为.‎ ‎ 因为点和在抛物线上, 所以,.‎ ‎ 所以直线的方程为. …………………………………1分 ‎ 因为点在直线上,‎ ‎ 所以,即. ………………………………2分 ‎ 同理, . …………………………………………3分 ‎ 所以是方程的两个根.‎ ‎ 所以. …………………………………………4分 ‎ 又, …………………………………………5分 ‎ 所以为定值. …………………………………………6分 法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, ………………1分 由消去得,‎ 由, 化简得. ……………………………2分 所以. …………………………………………………………………3分 由,得,所以.‎ ‎ 所以直线的斜率为,直线的斜率为. ‎ ‎ 所以, 即. …………………………………………4分 ‎ 又, …………………………………………5分 ‎ 所以为定值. …………………………………………6分 ‎(2) 直线的垂直平分线方程为, ……………7分 ‎ 由于,,‎ ‎ 所以直线的垂直平分线方程为. ① ……………8分 ‎ 同理直线的垂直平分线方程为. ② ……………9分 ‎ 由①②解得, ,‎ ‎ 所以点. ……………………………………………………10分 ‎ 抛物线的焦点为 则 ‎ 由于，……………………………………………………11分 ‎ 所以 ‎ 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 另法: 以为直径的圆的方程为 ……11分 把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.‎ 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 ‎21、解：（I），记 ‎ ‎（i）当时，因为，所以，函数在上单调递增； ‎ ‎（ii）当时，因为，‎ 所以，函数在上单调递增；‎ ‎（iii）当时，由，解得，‎ 所以函数在区间上单调递减，‎ 在区间上单调递增．------------------（6分） ‎ ‎（II）由（I）知当时，函数在区间上单调递增，‎ 所以当时，函数的最大值是，对任意的，‎ 都存在，使得不等式成立，‎ 等价于对任意的，不等式都成立， ‎ 即对任意的，不等式都成立，‎ 记，由，‎ ‎，‎ 由得或,因为，所以，‎ ‎①当时，，且时，，‎ 时，，所以，‎ 所以时，恒成立；‎ ‎②当时，，因为，所以，‎ 此时单调递增，且，‎ 所以时，成立；‎ ‎③当时，，，‎ 所以存在使得，因此不恒成立．‎ 综上，的取值范围是． ------------------（12分）‎ 另解（II）由（Ⅰ）知，当时，函数在区间上单调递增，‎ 所以时，函数的最大值是，‎ 对任意的，都存在，‎ 使得不等式成立，‎ 等价于对任意的，不等式都成立， ‎ 即对任意的，不等式都成立，‎ 记，‎ 由，且 ‎∴对任意的，不等式都成立的必要条件为 又，‎ 由得或 因为，所以，‎ ① 当时，，且时，，‎ ‎ 时，，所以，‎ 所以时，恒成立；‎ ‎②当时，，因为，所以，‎ 此时单调递增，且，‎ 所以时，成立．‎ 综上，的取值范围是． ------------------（12分）‎ ‎22、(1) 由 消去得, ………………………………………1分 ‎ 所以直线的普通方程为. ………………………………………2分 ‎ 由, ……3分 ‎ 得. ………………………………………4分 ‎ 将代入上式,‎ ‎ 得曲线的直角坐标方程为, 即. ………5分 ‎ (2) 设曲线上的点为, ………………………………6分 则点到直线的距离为…………………………7分 ‎………………………………………8分 ‎ 当时, , ………………………………………9分 ‎ 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.………………………………10分 ‎23、(1) 因为，所以. ………………………………………1分 ‎ ① 当时，得，解得，所以; ……………2分 ‎ ② 当时，得，解得，所以; ……………3分 ‎③ 当时，得，解得，所以; ……………4分 综上所述，实数的取值范围是. ………………………………………5分 ‎(2) 因为R , ‎ ‎ 所以 ……………………………7分 ‎ ……………………………………………………………………8分 ‎ ……………………………………………………………………9分 ‎ . ……………………………………………………………………10分