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  • 2021-06-15 发布

数学卷·2018届贵州省遵义四中高二上学期第二次月考数学试卷(理科)(解析版)

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‎2016-2017学年贵州省遵义四中高二(上)第二次月考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合A={(x,y)|x﹣2y=2},B={(x,y)|2x﹣y=4},则A∩B为(  )‎ A.{2,0} B.{X=2,Y=0} C.{(0,2)} D.{(2,0)}‎ ‎2.已知命题p:∃x0∈R,x02+4x0+6<0,则¬p为(  )‎ A.∀x∈R,x02+4x0+6≥0 B.∃x0∈R,x02+4x0+6>0‎ C.∀x∈R,x02+4x0+6>0 D.∃x0∈R,x02+4x0+6≥0‎ ‎3.“x>2“是“x2+2x﹣8>0“成立的(  )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则(  )‎ A.P1=P2<P3 B.P2=P3<P1 C.P1=P3<P2 D.P1=P2=P3‎ ‎5.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a2+a8)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第2小组的频数为12,则抽取得学生人数为(  )‎ A.46 B.48 C.50 D.60‎ ‎7.已知实数x,y满足,则z=(x﹣1)2+y2的最大值是(  )‎ A.1 B.9 C.2 D.11‎ ‎8.已知双曲线C的两条渐近线为x±2y=0且过点(2,),则双曲线C的标准方程是(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎9.执行如图所示程序框图所表达的算法,输出的结果是(  )‎ A.99 B.100 C.120 D.142‎ ‎10.如图,阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形,在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a>b),则=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A,B两点,过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为,则的值为(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎12.已知双曲线﹣=1(a>b>0)的一条渐近线与椭圆+y2‎ ‎=1交于P.Q两点.F为椭圆右焦点,且PF⊥QF,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知某商场新进6000袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查,若第一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为  .‎ ‎14.投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为  .‎ ‎15.某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C,…”‎ ‎②解:设AB的斜率为k,…点B(,),D(﹣,0),…据此,请你写出直线CD的斜率为  .(用k表示)‎ ‎16.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为  .‎ ‎①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称;‎ ‎②对∀x,y∈R,若x+y≠0,则x≠1,或y≠﹣1;‎ ‎③若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;‎ ‎④若△ABC为钝角三角形,∠C为钝角,则sinA>cosB.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,第17题10分,18---22题每题12分,共70分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)设p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0(其中a≠0),q:实数x满足<0.‎ ‎(Ⅰ)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎18.(12分)如图,在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0,∠‎ A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求:‎ ‎(Ⅰ)点A和点C的坐标;‎ ‎(Ⅱ)△ABC的面积.‎ ‎19.(12分)某学校高中毕业班有男生900人,女生600人,学校为了对高三学生数学学习情况进行分析,从高三年级按照性别进行分层抽样,抽取200名学生成绩,统计数据如表所示:‎ 分数段(分)‎ ‎[50,70)‎ ‎[70,90)‎ ‎[90,110)‎ ‎[110,130)‎ ‎[130,150)‎ 总计 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎70‎ ‎50‎ ‎20‎ ‎200‎ ‎(Ⅰ)若成绩90分以上(含90分),则成绩为及格,请估计该校毕业班平均成绩及格学生人数;‎ ‎(Ⅱ)如果样本数据中,有60名女生数学成绩合格,请完成如下数学成绩与性别的列联表,并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”.‎ 女生 男生 总计 及格人数 ‎60‎ 不及格人数 总计 参考公式:K2=.‎ ‎ P(K2≥k0)‎ ‎ 0.10‎ ‎ 0.050‎ ‎ 0.010‎ ‎ k0‎ ‎ 2.706‎ ‎ 3.841‎ ‎ 6.635‎ ‎20.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点,且SE⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证:PQ∥平面SAD;‎ ‎(2)求证:平面SAC⊥平面SEQ.‎ ‎21.(12分)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a2,a4,a8成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列{bn}满足:a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n+1,n∈N*,令cn=,n∈N*,求数列{cncn+1}的前n项和Sn.‎ ‎22.(12分)已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)已知点A,B为动直线y=k(x﹣2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在点E,使2+•为定值?若存在,试求出点E的坐标和定值,若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年贵州省遵义四中高二(上)第二次月考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合A={(x,y)|x﹣2y=2},B={(x,y)|2x﹣y=4},则A∩B为(  )‎ A.{2,0} B.{X=2,Y=0} C.{(0,2)} D.{(2,0)}‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】将集合A与B中的两方程联立组成方程组,求出方程组的解即可确定出两集合的交集.‎ ‎【解答】解:将集合A与B中的方程联立得:,‎ 解得:,‎ 则A∩B={(2,0)}.‎ 故选D ‎【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.已知命题p:∃x0∈R,x02+4x0+6<0,则¬p为(  )‎ A.∀x∈R,x02+4x0+6≥0 B.∃x0∈R,x02+4x0+6>0‎ C.∀x∈R,x02+4x0+6>0 D.∃x0∈R,x02+4x0+6≥0‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可.‎ ‎【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题p:∃x0∈R,x02+4x0+6<0,则¬p为∀x∈R,x02+4x0+6≥0.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.“x>2“是“x2+2x﹣8>0“成立的(  )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】由x2+2x﹣8>0解得x>2,或x<﹣4.即可判断出结论.‎ ‎【解答】解:由x2+2x﹣8>0解得x>2,或x<﹣4.‎ ‎∴“x>2“是“x2+2x﹣8>0“成立的充分不必要条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则(  )‎ A.P1=P2<P3 B.P2=P3<P1 C.P1=P3<P2 D.P1=P2=P3‎ ‎【考点】简单随机抽样;分层抽样方法;系统抽样方法.‎ ‎【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论.‎ ‎【解答】解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的,‎ 即P1=P2=P3.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎5.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a2+a8)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】利用等差数列的性质可得a1+a9=a2+a8=2a5,结合已知,可求出a5,进而求出cos(a2+a8).‎ ‎【解答】解:∵{an}为等差数列,‎ ‎∴a1+a9=a2+a8=2a5,‎ ‎∵a1+a5+a9=2π,‎ ‎∴a5=,a2+a8=,‎ ‎∴cos(a2+a8)=cos=.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题应用了等差数列的性质:{an}为等差数列,当m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)时,am+an=ap+aq.‎ 特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),则am+an=2ap.‎ ‎ ‎ ‎6.为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第2小组的频数为12,则抽取得学生人数为(  )‎ A.46 B.48 C.50 D.60‎ ‎【考点】频率分布直方图.‎ ‎【分析】设报考飞行员的人数为n,根据前3个小组的频率之比为1:2:3设出频率,再根据所有频率和为1,解之即可求出第3组频率,根据第2小组的频数为12,可求得样本容量.‎ ‎【解答】解:设报考飞行员的人数为n,根据前3个小组的频率之比为1:2:3,可设前三小组的频率分别为x,2x,3x;‎ 由题意可知所求频率和为1,即x+2x+3x+(0.0375+0.0125)×5=1‎ 解得2x=0.25‎ 则0.25=,解得n=48.‎ ‎∴抽取的学生数为48.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查了频率分布直方图,同时考查了学生的读图能力.‎ ‎ ‎ ‎7.已知实数x,y满足,则z=(x﹣1)2+y2的最大值是(  )‎ A.1 B.9 C.2 D.11‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】画出平面区域,利用z=(x﹣1)2+y2的几何意义表示为区域内的点与(1,0)的距离的平方最大值求得.‎ ‎【解答】解:x,y满足的平面区域如图:z=(x﹣1)2+y2‎ 的几何意义表示为区域内的点与(1,0)的距离的平方最大值,显然到D 的距离最大,所以z=(x﹣1)2+y2的最大值 z=(1﹣1)2+32=9;‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了简单线性规划问题;一般的,正确画出平面区域,利用目标函数的几何意义求最值是常用方法.‎ ‎ ‎ ‎8.已知双曲线C的两条渐近线为x±2y=0且过点(2,),则双曲线C的标准方程是(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】依题意,可设所求的双曲线的方程为(x+2y)(x﹣2y)=λ,将点M(2,)的坐标代入求得λ即可.‎ ‎【解答】解:设所求的双曲线的方程为(x+2y)(x﹣2y)=λ,‎ ‎∵点M(2,)为该双曲线上的点,‎ ‎∴λ=(2+2)(2﹣2)=﹣8,‎ ‎∴该双曲线的方程为:﹣=1.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质,着重考查待定系数法的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎9.执行如图所示程序框图所表达的算法,输出的结果是(  )‎ A.99 B.100 C.120 D.142‎ ‎【考点】循环结构.‎ ‎【分析】由图知,每次进入循环体后,新的s值是s加上2n+1得到的,故由此运算规律进行计算,经过10次运算后输出的结果即可.‎ ‎【解答】解:由图知s的运算规则是:s=s+(2n+1),故有:‎ 第一次进入循环体后s=3,n=2,‎ 第二次进入循环体后s=3+5,n=3,‎ 第三次进入循环体后s=3+5+7,n=4,‎ 第四次进入循环体后s=3+5+7+9,n=5,‎ ‎…‎ 第10次进入循环体后s=3+5+7+9+…+21,n=11.‎ 由于n=11>10,退出循环.‎ 故该程序运行后输出的结果是:s=3+5+7+9+…+21=120.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查循环结构,已知运算规则与运算次数,求最后运算结果的一个题,是算法中一种常见的题型.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形,在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a>b),则=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】根据几何概型的意义,求出三角形的面积,再求出大正方形的面积,根据比值即可得到关乎a,b的方程,解得即可.‎ ‎【解答】解:这一点落在小正方形内的概率为,‎ 正方形ABCD面积为a2+b2,‎ 三角形的面积为ab,‎ ‎∴=1﹣,‎ 即a2+b2=ab,‎ 即+=,‎ ‎∵a>b,‎ 解得=, =2(舍去)‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查几何概型的求法:首先根据题意将代数关系用面积表示出来,一般用阴影区域表示所求事件(A);然后计算阴影区域的面积和总面积的比,这个比即事件(A)发生的概率.‎ ‎ ‎ ‎11.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A,B两点,过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为,则的值为(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系.‎ ‎【分析】(法一)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)由①,②及M,N在椭圆上,可得利用点差法进行求解 ‎(法二)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),联立方程.,利用方程的根与系数的关系可求x1+x2,进而可求y1+y2=2﹣(x1+x2),由中点坐标公式可得,,,由题意可知,从而可求 ‎【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),‎ ‎∴①,‎ kAB=②,‎ 由AB的中点为M可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0‎ 由A,B在椭圆上,可得,‎ 两式相减可得m(x1﹣x2)(x1+x2)+n(y1﹣y2)(y1+y2)=0③,‎ 把①②代入③可得m(x1﹣x2)•2x0﹣n(x1﹣x2)•2y0=0③,‎ 整理可得 故选A ‎(法二)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)‎ 联立方程可得(m+n)x2﹣2nx++n﹣1=0‎ ‎∴x1+x2=,y1+y2=2﹣(x1+x2)=‎ 由中点坐标公式可得, =, =‎ ‎∵M与坐标原点的直线的斜率为 ‎∴=‎ 故选A ‎【点评】题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系,在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个:①联立直线与椭圆,根据方程求解;②利用“点差法”,而第二种方法可以简化运算,注意应用 ‎ ‎ ‎12.已知双曲线﹣=1(a>b>0)的一条渐近线与椭圆+y2=1交于P.Q两点.F为椭圆右焦点,且PF⊥QF,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由题意PQ=2=4,设直线PQ的方程为y=x,代入+y2=1,可得x=±,利用弦长公式,建立方程,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意PQ=2=4,‎ 设直线PQ的方程为y=x,代入+y2=1,可得x=±,‎ ‎∴|PQ|=•2=4,‎ ‎∴5c2=4a2+20b2,‎ ‎∴e==,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程与性质,考查双曲线的离心率,考查弦长公式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知某商场新进6000袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查,若第一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为 2411 .‎ ‎【考点】系统抽样方法.‎ ‎【分析】系统抽样中各组抽出的数据间隔相同,为等差数列,可用数列知识求解 ‎【解答】解:6000袋奶粉,用系统抽样的方法从抽取150袋,每组中有40袋,‎ 第一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为11+60×40=2411,‎ 故答案为:2411.‎ ‎【点评】本题考查系统抽样的知识,属基本题.系统抽样中各组抽出的数据间隔相同,为等差数列.‎ ‎ ‎ ‎14.投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为  .‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【分析】试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果,满足条件的事件共4种结果,从而得到概率.‎ ‎【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,‎ 试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果,‎ 满足条件的事件是两颗骰子向上点数之积等于12,有(2,6)、(3,4)、(4,3)、(6,2)共4种结果,‎ ‎∴要求的概率是=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率,解题的关键是列举出满足条件的事件数,列举时要做到不重不漏,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎15.某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C,…”‎ ‎②解:设AB的斜率为k,…点B(,),D(﹣,0),…据此,请你写出直线CD的斜率为  .(用k表示)‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系.‎ ‎【分析】由题意可得直线AC的斜率为,则将k换成,可得点C(,),运用直线的斜率公式,计算即可得到.‎ ‎【解答】解:椭圆x2+2y2=1的左顶点为A(﹣1,0),过点A作两条斜率之积为2的射线,‎ 设直线AB的斜率为k,则直线AC的斜率为,‎ 由题意可得点B(,),D(﹣,0),‎ 则将k换成,可得点C(,),‎ 则直线CD的斜率为 ‎=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为 ①② .‎ ‎①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称;‎ ‎②对∀x,y∈R,若x+y≠0,则x≠1,或y≠﹣1;‎ ‎③若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;‎ ‎④若△ABC为钝角三角形,∠C为钝角,则sinA>cosB.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0)在函数图象上,则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式,则;‎ ‎②对∀x,y∈R,若x+y≠0,对应的是直线y=﹣x以外的点,则x≠1,或y≠﹣1;‎ ‎③若实数x,y满足x2+y2=1,则=,可以看作是圆x2+y2=1上的点与点(﹣2,0)连线的斜率,其最大值为;‎ ‎④若△ABC为钝角三角形,若A、B∈(0,)时,sinA<cosB,.‎ ‎【解答】解:①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0)在函数图象上,则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式,则①正确;‎ ‎②对∀x,y∈R,若x+y≠0,对应的是直线y=﹣x以外的点,则x≠1,或y≠﹣1,②‎ 正确;‎ ‎③若实数x,y满足x2+y2=1,则=,可以看作是圆x2+y2=1上的点与点(﹣2,0)连线的斜率,其最大值为,③错误;‎ ‎④若△ABC为钝角三角形,若A、B∈(0,)时,sinA<cosB,④错误.‎ 故答案为:①②‎ ‎【点评】本题考查了判断命题真假,函数的性质,属于中档题..‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,第17题10分,18---22题每题12分,共70分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)(2014秋•福州校级期中)设p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0(其中a≠0),q:实数x满足<0.‎ ‎(Ⅰ)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】(Ⅰ)若a=1,由题意知,p、q为真,从而求p、q都为真时x的范围;‎ ‎(Ⅱ)由p是q的必要不充分条件可知B⊊A,讨论a的正负以确定集合A,从而求实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(I)当a=1时,p为真时实数x的取值范围是1<x<3,‎ q为真时实数x的取值范围是2<x<3.‎ 若p∧q为真,则p真且q真,‎ ‎∴实数x的取值范围是(2,3). ‎ ‎(II)设A={x|p(x)},B={x|q(x)}=(2,3),‎ ‎∵p是q的必要不充分条件,‎ ‎∴B⊊A,‎ 由x2﹣4ax+3a2<0得(x﹣3a)(x﹣a)<0‎ 当a>0时,A=(a,3a),有,解得1≤a≤2;‎ 当a<0时,A=(3a,a),显然A∩B=∅,不合题意. ‎ ‎∴实数a的取值范围是1≤a≤2.‎ ‎【点评】本题考查了复合命题真假性的应用及集合的包含关系的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2015秋•宁城县期末)如图,在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求:‎ ‎(Ⅰ)点A和点C的坐标;‎ ‎(Ⅱ)△ABC的面积.‎ ‎【考点】点到直线的距离公式;待定系数法求直线方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先求出A点的坐标,求出AB的斜率,得到直线AC的方程,从而求出B点的坐标;(Ⅱ)求出|BC|的长,再求出A到BC的距离,从而求出三角形的面积即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由得顶点A(﹣1,0).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)‎ 又AB的斜率 kAB==1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)‎ ‎∵x轴是∠A的平分线,‎ 故AC的斜率为﹣1,AC所在直线的方程为y=﹣(x+1)①﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 已知BC上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0,故BC的斜率为﹣2,‎ BC所在的直线方程为y﹣2=﹣2(x﹣1)②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 解①,②得顶点C的坐标为(5,﹣6).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)‎ 又直线BC的方程是2x+y﹣4=0‎ A到直线的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)‎ 所以△ABC 的面积=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)‎ ‎【点评】本题考察了求直线的斜率、方程问题,考察点到直线的距离公式,是一道中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016春•湖南期末)某学校高中毕业班有男生900人,女生600人,学校为了对高三学生数学学习情况进行分析,从高三年级按照性别进行分层抽样,抽取200名学生成绩,统计数据如表所示:‎ 分数段(分)‎ ‎[50,70)‎ ‎[70,90)‎ ‎[90,110)‎ ‎[110,130)‎ ‎[130,150)‎ 总计 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎70‎ ‎50‎ ‎20‎ ‎200‎ ‎(Ⅰ)若成绩90分以上(含90分),则成绩为及格,请估计该校毕业班平均成绩及格学生人数;‎ ‎(Ⅱ)如果样本数据中,有60名女生数学成绩合格,请完成如下数学成绩与性别的列联表,并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”.‎ 女生 男生 总计 及格人数 ‎60‎ 不及格人数 总计 参考公式:K2=.‎ ‎ P(K2≥k0)‎ ‎ 0.10‎ ‎ 0.050‎ ‎ 0.010‎ ‎ k0‎ ‎ 2.706‎ ‎ 3.841‎ ‎ 6.635‎ ‎【考点】独立性检验.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用同一组数据用该区间中点值作代表,计算该校毕业班平均成绩及格学生人数;‎ ‎(Ⅱ)根据所给的条件写出列联表,根据列联表做出观测值,把观测值同临界值进行比较,得到结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)高三学生数学平均成绩为=101‎ 估计高三学生数学平均成绩约为101分…‎ 及格学生人数为=1050…‎ ‎(Ⅱ) ‎ 女生 男生 总计 及格人数 ‎60‎ ‎80‎ ‎140‎ 不及格人数 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎ 总计 ‎80‎ ‎120‎ ‎200‎ ‎…(9分)‎ K2的观测值K2=≈1.587<2.706‎ 所以没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”…(12分)‎ ‎【点评】本题主要考查独立性检验的应用,解题的关键是正确运算出观测值,理解临界值对应的概率的意义,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2016秋•咸宁月考)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点,且SE⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证:PQ∥平面SAD;‎ ‎(2)求证:平面SAC⊥平面SEQ.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(1)取SD中点F,连结AF,PF.证明PQ∥AF.利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面SAD.‎ ‎(2)连结BD,证明SE⊥AD.推出SE⊥平面ABCD,得到SE⊥AC.证明EQ⊥AC,然后证明AC⊥平面SEQ,即可得出结论.‎ ‎【解答】证明:(1)取SD中点F,连结AF,PF.‎ 因为 P,F分别是棱SC,SD的中点,‎ 所以 FP∥CD,且FP=CD.‎ 又因为菱形ABCD中,Q是AB的中点,‎ 所以 AQ∥CD,且AQ=CD.‎ 所以 FP∥AQ且FP=AQ.‎ 所以 AQPF为平行四边形.‎ 所以 PQ∥AF.‎ 又因为 PQ⊄平面SAD,‎ AF⊂平面SAD,‎ 所以 PQ∥平面SAD;‎ ‎(2)连结BD,‎ 因为△SAD中SA=SD,点E棱AD的中点,‎ 所以 SE⊥AD,‎ 又 平面SAD⊥平面ABCD,‎ 平面SAD∩平面ABCD=AD,‎ SE⊂平面SAD,‎ 所以 SE⊥平面ABCD,‎ 所以SE⊥AC.‎ 因为 底面ABCD为菱形,‎ E,Q分别是棱AD,AB的中点,‎ 所以 BD⊥AC,EQ∥BD.‎ 所以 EQ⊥AC,‎ 因为 SE∩EQ=E,‎ 所以 AC⊥平面SEQ.‎ 因为AC⊂平面SAC,所以平面SAC⊥平面SEQ.‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行以及直线与平面、平面与平面垂直的判定定理的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2015•浙江模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a2,a4,a8成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列{bn}满足:a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n+1,n∈N*,令cn=,n∈N*,求数列{cncn+1}的前n项和Sn.‎ ‎【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的性质.‎ ‎【分析】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;‎ ‎(II)利用递推式可得(n≥2),再利用“裂项求和”即可得出.‎ ‎【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d,‎ ‎∵a1=1,且a2,a4,a8成等比数列.‎ ‎∴,即,‎ 解得d=0(舍)或d=1,‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n﹣1)d=n,即an=n. ‎ ‎(II)由,‎ ‎(n≥2),‎ 两式相减得,即(n≥2),‎ 则,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2016•池州一模)已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)已知点A,B为动直线y=k(x﹣2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在点E,使2+•为定值?若存在,试求出点E的坐标和定值,若不存在,说明理由.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(1)求得圆O的方程,由直线和圆相切的条件:d=r,可得a的值,再由离心率公式,可得c的值,结合a,b,c的关系,可得b,由此能求出椭圆的方程;‎ ‎(2)由直线y=k(x﹣2)和椭圆方程,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,由此利用韦达定理、向量的数量积,结合已知条件能求出在x轴上存在点E,使•为定值,定点为(,0).‎ ‎【解答】解:(1)由离心率为,得=,‎ 即c=a,①‎ 又以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2,‎ 且与直线相切,‎ 所以,代入①得c=2,‎ 所以b2=a2﹣c2=2.‎ 所以椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由,可得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,‎ ‎△=144k4﹣4(1+3k2)(12k2﹣6)>0,即为6+6k2>0恒成立.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 所以x1+x2=,x1x2=,‎ 根据题意,假设x轴上存在定点E(m,0),‎ 使得为定值,‎ 则有=(x1﹣m,y1)•(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)•(x2﹣m)+y1y2‎ ‎=(x1﹣m)(x2﹣m)+k2(x1﹣2)(x2﹣2)‎ ‎=(k2+1)x1x2﹣(2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)‎ ‎=(k2+1)•﹣(2k2+m)•+(4k2+m2)‎ ‎=‎