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- 2021-06-15 发布
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成都经开区实验中学2015级高三上学期1月月考试题
数 学(理科)
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,则是( )
A. B.
C. D.
2.设向量=(2x﹣1,3),向量=(1,﹣1),若⊥,则实数x的值为( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
3.下面给出了关于复数的三种类比推理,其中类比错误的是( )
①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则;
②由向量a的性质|a|2=a2可以类比复数的性质|z|2=z2;
③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
A.② B.①② C.①③ D.③
4.中国古代内容丰富的一部数学专著《九章算术》中有如下问题:今有女子擅织,日增等尺,七日织四十九尺,第二日、第五日、第八日所织之和为二十七尺,则第九日所织尺数为( )
A. 11 B. 13 C.17 D.19
5.等差数列中, , ,则数列的前9项的和等于( )
A. 66 B. 99 C. 144 D. 297
6.从某小学随机抽取100名同学,现已将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.平面直角坐标系中,点和分别在顶点为原点始边为轴的非负半轴的角和的终边上,则实数的值为( )
A. B.2 C.3 D.8
8.若两个正实数x,y满足,且不等式有解,则实数m的取值范围是( )
. .
. .
9.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)( )
A.3 B.2 C. D.1
10.已知a∈R,若f(x)=(x+)ex在区间(0,1)上只有一个极值点,则a的取值范围为( )【来源:全,品…中&高*考+网】
A.a>0 B.a≤1 C.a>1 D.a≤0
11.执行如图所示的程序框图,若输出的S=88,则判断框内应填入的条件是( )
A.k>4 B.k>5 C.k>6 D.k>7
12.已知是双曲线:的左、右焦点,过点的直线与的左支交于两点,若,且,则的离心率是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 已知实数满足,则当取得最小值时,__________.
14.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上,且与平面所成的角为,则球的表面积为 .
15.已知,则 .
16.将全体正整数从左向右排成一个直角三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
. . . . ...
... ...
... ...
............
按照以上排列的规律,若定义,则= .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分12分)已知各项均不相等的等差数列满足,且成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
18.(本题满分12分)如图,在三棱柱中,,顶点在底面上的射影恰为的中点,,.
(1)证明:;
(2)若点为的中点,求二面角的余弦值.
19.(本题满分12分)某校在高二年级开展了体育分项教学活动,将体育课分为大球(包括篮球、排球、足球)、小球(包括乒乓球、羽毛球)、田径、体操四大项(以下简称四大项,并且按照这个顺序).为体现公平,学校规定时间让学生在电脑上选课,据初步统计,在全年级980名同学中,有意申报四大项的人数之比为3:2:1:1,而实际上由于受多方面条件影响,最终确定的四大项人数必须控制在2:1:3:1,选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类.
(Ⅰ)随机抽取一名同学,求该同学选课成功(未被调剂)的概率;
(Ⅱ)某小组有五名同学,有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1,记最终确定到田径类的人数为,求的分布列及数学期望.
20.(本小题满分12分)设函数,曲线在点(1,处的切线为.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:.
21.(本小题满分12分)设函数,.
(Ⅰ)当时,求函数的最值;
(Ⅱ)若函数有极值点,求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是(是参数),圆的极坐标方程为.
(1)求圆心的直角坐标;
(2)由直线上的点向圆引切线,求切线长的最小值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知,不等式的解集是.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若存在实数解,求实数的取值范围.
成都经开区实验中学2015级高三上学期1月月考试题
数 学(理科)参考答案
1—5 ADACB 6—10 BBCDA 11—12 BD
13.【答案】
【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图内部)所示。
令,则。
平移直线,由图形可得,当直线经过可行域内的点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值。
由 解得。
∴。答案:
14.
15. 【解析】因为,且为锐角,所以.
16.190
17.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,由题意得,即,【来源:全,品…中&高*考+网】
解得或(舍),所以.
(Ⅱ)由,可得
,
当为偶数时,
.
当为奇数时,为偶数,于是
。
18.(本题满分12分)(1)证明:因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M,
所以,又,所以,
又因为,而,且,
所以平面,又因为,
所以.
(2)解:如图9,以为原点,建立空间直角坐标系,
则【来源:全,品…中&高*考+网】
,【来源:全,品…中&高*考+网】
于是,
求得平面的一个法向量为,
由,求得平面的一个法向量
为,则,
所以二面角的余弦值为.
19.解:(Ⅰ).
(Ⅱ)的所有可能取值为1,2,3,4.
;;;.
分布列为:
1
2
3
4
【来源:全,品…中&高*考+网】
【来源:全,品…中&高*考+网】
.
20.【解析】:(Ⅰ) 函数的定义域为,
由题意可得(),故 ……………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,(,从而等价于
设函数(),则,所以当()时,(),当()时,(),故()在()单调递减,在()单调递增,从而()在()¥的最小值为(. ……………8分
设函数(),则,所以当()时,(),当()时,(),故()在()单调递增,在()单调递减,从而()在()¥的最小值为(.
综上:当时,,即. ……………12分
21.解:(Ⅰ)当时,,,
当时,,单调递增;当时,,单调递减,
所以函数在处取得极大值,也是最大值,且.
(Ⅱ)令,,
当时,,函数在上递增,无极值点;
当时,设, .
①若,,,函数在上递增,无极值点;
②若时,,设方程的两个根为,(不妨设),
因为,,所以,,
所以当,,函数递增;
当,,函数递减;
当,,函数递增;
因此函数有两个极值点.
当时,,由,可得,
所以当,,函数递增;
当时,,函数递减;
因此函数有一个极值点.
综上,函数有一个极值时;函数有两个极值点时.
22.【解析】(Ⅰ)∵,
∴,
∴圆的直角坐标方程为,即
∴圆心的直角坐标为.
(Ⅱ)直线上的点向圆引切线,则切线长为
,
∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.
23.解:(Ⅰ)由,得,即,
当当时,,所以无解.【来源:全,品…中&高*考+网】
所以.
(Ⅱ)因为,
所以要使存在实数解,只需,
解得或,
所以实数的取值范围是.
时,,所以解得;