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- 2021-06-15 发布
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第一章 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)
一、选择题
1、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:
广告费用 x(万元) 4 2 3 5
销售额 y(万元) 49 26 39 54
根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元是销售额为( )
A.63.6 万元 B.65.5 万元
C.67.7 万元 D.72.0 万元
2、若 x,y 具有相关关系,且得到一组散点图大致分布在一条直线的附近,则所得的回归直线是指( )
A.经过散点图上两点的直线
B.经过散点图上最多的点的直线
C.与各个散点的偏差和最小的直线
D.与各个散点的偏差的平方和最小的直线
3、某考察团对全国 10 大城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元)统计调查,
y 与 x 具有相关关系,回归方程为 =0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为 7.675 千元,估计该城市
人均工资收入的百分比约为( )
A.83% B.72% C.67% D.66%
4、某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( )
A. =-10x+200 B. =10x+200
C. =-10x-200 D. =10x-200
5、设有一个回归方程为 =3-5x,变量 x 增加一个单位时( )
A.y 平均增加 3 个单位 B.y 平均减少 5 个单位
C.y 平均增加 5 个单位 D.y 平均减少 3 个单位
二、填空题
6、下列说法中正确的是________(填序号).
①回归分析就是研究两个相关事件的独立性;②回归模型都是确定性的函数;③回归模型都是线性的;
④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数;⑤回归分析就是通过分析、判断,确定相关变量之间的内
在的关系的一种统计方法.
7、根据统计资料,我国能源生产自 1986 年以来发展很快.下面是我国能源生产总量(单位:亿吨标
准煤)的几个统计数据:
年份 1986 1991 1996 2001
产量 8.6 10.4 12.9 16.1
根据有关专家预测,到 2010 年我国能源生产总量将达到 21.7 亿吨左右,则专家所选择的回归模型是
下列的四种模型中的哪一种________.(填序号)
① = x+ ( ≠0);
②y=ax2+bx+c(a≠0);
③y=ax(a>0 且 a≠1);
④y=logax(a>0 且 a≠1).
8、某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有下表关系,现在知道其中一个数据弄错了,则最可能
错的数据是__________.
x/万元 2 4 5 6 8
y/万元 30 40 60 50 70
三、解答题
9、某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统计得到数据如下:
x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200
y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
检验每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数1
x之间是否具有线性相关关系?如有,求出 y 对 x 的线性回归
方程.
10、测得 10 对某国父子身高(单位:英寸)如下:
父亲身高(x) 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74
儿子身高(y) 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70
(1)对变量 y 与 x 进行相关性检验;
(2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求线性回归方程;
(3)如果父亲的身高为 73 英寸,估计儿子的身高.
11、在某化学实验中,测得如下表所示的 6 对数据,其中 x(单位:min)表示化学反应进行的时间,y(单
位:mg)表示未转化物质的质量.
x/min 1 2 3 4 5 6
y/mg 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3
(1)设 y 与 x 之间具有关系 y=cdx,试根据测量数据估计 c 和 d 的值(精确到 0.001);
(2)估计化学反应进行到 10 min 时未转化物质的质量(精确到 0.1).
12、假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的.若 10 个学生初一(x)和初二(y)的数学分数如下:
x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74
y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72
试求初一和初二数学分数间的线性回归方程.
以下是答案
一、选择题
1、B [由题意可知x=3.5,y=42,
则 42=9.4×3.5+ , =9.1,
=9.4×6+9.1=65.5,答案应选 B.]
2、D
3、A [当 =7.675 时,x≈9.262,
∴估计该城市人均消费额占人均收入百分比约 7.675÷9.262≈0.83.]
4、A [∵负相关,∴ <0,再由问题的实际意义排除即可.]
5、B
二、填空题
6、④⑤
解析 回归分析就是研究两个事件的相关性;回归模型是需要通过散点图模拟的;回归模型有线性和
非线性之分.
7、①
8、(6,50)
三、解答题
9、解 把1
x置换为 z,则有 z=1
x,
从而 z 与 y 的数据为
z 1 0.5 0.333 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005
y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
可作出散点图,从图可看出,变换后的样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性回归方程来拟
合.
z= 1
10×(1+0.5+0.333+0.2+0.1+0.05+0.033+0.02+0.01+0.005)=0.225 1,
y= 1
10×(10.15+5.52+4.08+…+1.15)=3.14,
∑
10
i=1z2i=12+0.52+0.3332+…+0.012+0.0052≈1.415,
∑
10
i=1y2i=10.152+5.522+…+1.212+1.152
=171.803,
∑
10
i=1ziyi=1×10.15+0.5×5.52+…+0.005×1.15
=15.221 02,
所以 =
∑
10
i=1ziyi-10z y
∑
10
i=1z2i-10z2
≈8.976,
=y- z=3.14-8.976×0.225 1≈1.120,
所以所求的 z 与 y 的线性回归方程为
=8.976z+1.120.
又因为 z=1
x,所以 =8.976
x +1.120.
10、解 (1)x=66.8,y=67.01,
i=1x2i=44 794,
i=1y2i=44 941.93,x y=4 476.27,
x2=4 462.24,y2=4 490.34,
i=1xiyi=44 842.4.
所以 r=
∑10
i=1xiyi-10x y
(∑10
i=1x2i-10x2)(∑10
i=1y2i-10y2)
= 44 842.4-10 × 4 476.27
(44 794-44 622.4)(44 941.93-44 903.4)
= 79.7
6 611.748
≈ 79.7
81.31≈0.980 2.
由于 r 的值非常接近于 1,
所以 y 与 x 之间具有线性相关关系.
(2)设回归方程为 = x+ .
由 =
∑10
i=1xiyi-10x y
∑10
i=1x2i-10x2
=44 842.4-44 762.7
44 794-44 622.4
= 79.7
171.6≈0.464 5,
=y- x=67.01-0.464 5×66.8≈35.98.
故所求的线性回归方程为 =0.464 5x+35.98.
(3)当 x=73 时, =0.464 5×73+35.98≈69.9,所以当父亲身高为 73 英寸时,估计儿子的身高约为
69.9 英寸.
11、解 (1)在 y=cdx 两边取自然对数,
令 ln y=z,ln c=a,
ln d=b,则 z=a+bx.由已知数据,得
x 1 2 3 4 5 6
y 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3
z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588
由公式得 a≈3.905 5,b≈-0.221 9,则线性回归方程为 =3.905 5-0.221 9x.
而 ln c=3.905 5,ln d=-0.221 9,故 c≈49.681,d≈0.801,
所以 c、d 的估计值分别为 49.681,0.801.
(2)当 x=10 时,由(1)所得公式可得 y≈5.4(mg).
12、解 因为x=71,
10
∑
i=1
x2i=50 520,y=72.3,
10
∑
i=1
xiyi=51 467,
所以, =51 467-10 × 71 × 72.3
50 520-10 × 712 ≈1.218 2.
=72.3-1.218 2×71=-14.192 2,线性回归方程是: =1.218 2x-14.192 2.