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  • 2021-06-15 发布

高考数学专题复习:回归分析的基本思想及其初步应用(二)

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第一章 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二) 一、选择题 1、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元是销售额为(  ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 2、若 x,y 具有相关关系,且得到一组散点图大致分布在一条直线的附近,则所得的回归直线是指(  ) A.经过散点图上两点的直线 B.经过散点图上最多的点的直线 C.与各个散点的偏差和最小的直线 D.与各个散点的偏差的平方和最小的直线 3、某考察团对全国 10 大城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元)统计调查, y 与 x 具有相关关系,回归方程为 =0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为 7.675 千元,估计该城市 人均工资收入的百分比约为(  ) A.83% B.72% C.67% D.66% 4、某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是(  ) A. =-10x+200 B. =10x+200 C. =-10x-200 D. =10x-200 5、设有一个回归方程为 =3-5x,变量 x 增加一个单位时(  ) A.y 平均增加 3 个单位 B.y 平均减少 5 个单位 C.y 平均增加 5 个单位 D.y 平均减少 3 个单位 二、填空题 6、下列说法中正确的是________(填序号). ①回归分析就是研究两个相关事件的独立性;②回归模型都是确定性的函数;③回归模型都是线性的; ④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数;⑤回归分析就是通过分析、判断,确定相关变量之间的内 在的关系的一种统计方法. 7、根据统计资料,我国能源生产自 1986 年以来发展很快.下面是我国能源生产总量(单位:亿吨标 准煤)的几个统计数据: 年份 1986 1991 1996 2001 产量 8.6 10.4 12.9 16.1 根据有关专家预测,到 2010 年我国能源生产总量将达到 21.7 亿吨左右,则专家所选择的回归模型是 下列的四种模型中的哪一种________.(填序号) ① = x+ ( ≠0); ②y=ax2+bx+c(a≠0); ③y=ax(a>0 且 a≠1); ④y=logax(a>0 且 a≠1). 8、某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有下表关系,现在知道其中一个数据弄错了,则最可能 错的数据是__________. x/万元 2 4 5 6 8 y/万元 30 40 60 50 70 三、解答题 9、某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统计得到数据如下: x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 检验每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数1 x之间是否具有线性相关关系?如有,求出 y 对 x 的线性回归 方程. 10、测得 10 对某国父子身高(单位:英寸)如下: 父亲身高(x) 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 儿子身高(y) 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 (1)对变量 y 与 x 进行相关性检验; (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求线性回归方程; (3)如果父亲的身高为 73 英寸,估计儿子的身高. 11、在某化学实验中,测得如下表所示的 6 对数据,其中 x(单位:min)表示化学反应进行的时间,y(单 位:mg)表示未转化物质的质量. x/min 1 2 3 4 5 6 y/mg 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 (1)设 y 与 x 之间具有关系 y=cdx,试根据测量数据估计 c 和 d 的值(精确到 0.001); (2)估计化学反应进行到 10 min 时未转化物质的质量(精确到 0.1). 12、假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的.若 10 个学生初一(x)和初二(y)的数学分数如下: x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72 试求初一和初二数学分数间的线性回归方程. 以下是答案 一、选择题 1、B [由题意可知x=3.5,y=42, 则 42=9.4×3.5+ , =9.1, =9.4×6+9.1=65.5,答案应选 B.] 2、D 3、A [当 =7.675 时,x≈9.262, ∴估计该城市人均消费额占人均收入百分比约 7.675÷9.262≈0.83.] 4、A [∵负相关,∴ <0,再由问题的实际意义排除即可.] 5、B 二、填空题 6、④⑤ 解析 回归分析就是研究两个事件的相关性;回归模型是需要通过散点图模拟的;回归模型有线性和 非线性之分. 7、① 8、(6,50)  三、解答题 9、解 把1 x置换为 z,则有 z=1 x, 从而 z 与 y 的数据为 z 1 0.5 0.333 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 可作出散点图,从图可看出,变换后的样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性回归方程来拟 合. z= 1 10×(1+0.5+0.333+0.2+0.1+0.05+0.033+0.02+0.01+0.005)=0.225 1, y= 1 10×(10.15+5.52+4.08+…+1.15)=3.14, ∑ 10 i=1z2i=12+0.52+0.3332+…+0.012+0.0052≈1.415, ∑ 10 i=1y2i=10.152+5.522+…+1.212+1.152 =171.803, ∑ 10 i=1ziyi=1×10.15+0.5×5.52+…+0.005×1.15 =15.221 02, 所以 = ∑ 10 i=1ziyi-10z y ∑ 10 i=1z2i-10z2 ≈8.976, =y- z=3.14-8.976×0.225 1≈1.120, 所以所求的 z 与 y 的线性回归方程为 =8.976z+1.120. 又因为 z=1 x,所以 =8.976 x +1.120. 10、解 (1)x=66.8,y=67.01, i=1x2i=44 794, i=1y2i=44 941.93,x y=4 476.27, x2=4 462.24,y2=4 490.34, i=1xiyi=44 842.4. 所以 r= ∑10 i=1xiyi-10x y (∑10 i=1x2i-10x2)(∑10 i=1y2i-10y2) = 44 842.4-10 × 4 476.27 (44 794-44 622.4)(44 941.93-44 903.4) = 79.7 6 611.748 ≈ 79.7 81.31≈0.980 2. 由于 r 的值非常接近于 1, 所以 y 与 x 之间具有线性相关关系. (2)设回归方程为 = x+ . 由 = ∑10 i=1xiyi-10x y ∑10 i=1x2i-10x2 =44 842.4-44 762.7 44 794-44 622.4 = 79.7 171.6≈0.464 5, =y- x=67.01-0.464 5×66.8≈35.98. 故所求的线性回归方程为 =0.464 5x+35.98. (3)当 x=73 时, =0.464 5×73+35.98≈69.9,所以当父亲身高为 73 英寸时,估计儿子的身高约为 69.9 英寸. 11、解 (1)在 y=cdx 两边取自然对数, 令 ln y=z,ln c=a, ln d=b,则 z=a+bx.由已知数据,得 x 1 2 3 4 5 6 y 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588 由公式得 a≈3.905 5,b≈-0.221 9,则线性回归方程为 =3.905 5-0.221 9x. 而 ln c=3.905 5,ln d=-0.221 9,故 c≈49.681,d≈0.801, 所以 c、d 的估计值分别为 49.681,0.801. (2)当 x=10 时,由(1)所得公式可得 y≈5.4(mg). 12、解 因为x=71, 10 ∑ i=1 x2i=50 520,y=72.3, 10 ∑ i=1 xiyi=51 467, 所以, =51 467-10 × 71 × 72.3 50 520-10 × 712 ≈1.218 2. =72.3-1.218 2×71=-14.192 2,线性回归方程是: =1.218 2x-14.192 2.

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