数学理卷·2017届广东省普宁英才华侨中学高三上学期期末考试（2017 16页

普宁英才华侨中学2016-2017学年度第一学期 期末考试 高三数学（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内，并在“座位号”栏内填写座位号。‎ ‎2. 所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ 一、 选择题（60分，每题5分）‎ ‎1.已知集合、为整数集，则集合中所有元素的和为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎2．已知复数，则的虚部为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ 3. 某高中共有2000名学生，其中各年级男生、女生的人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级中应抽取的学生人数是（ ）‎ 高一 高二 高三 女生 ‎373‎ m n 男生 ‎377‎ ‎370‎ p A. 8 B. 16 C. 28 D. 32‎ ‎4．如图所示，程序框图的输出值（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 5. 若双曲线 的渐近线方程是。则该双曲线的离心率为 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.等差数列的前项和为，若公差，，则当取得最大值时，的值为（ ）‎ A．10 B．9 C．6 D．5‎ ‎7.已知变量、满足约束条件 ,那么的最小值为（ ）‎ A. B. 8 C. D. 10‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ 俯视图 正视图 侧视图 ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ A．12 B． 24 C．40 D．72 ‎ ‎9.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是（ ）‎ A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C.函数的图象关于直线对称 D.函数在上单调递增 ‎10.平行四边形中，，点在边上，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面则该球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本小题共4题，每小题5分。 ‎ ‎（13）已知菱形的边长为， , 则________．‎ ‎（14）按照国家规定, 某种大米质量(单位:kg)必须服从正态分布～, 根据检测 结果可知,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利, 若该公司有名职工, 则分发到的大米质量在kg以下的职工数大约为 .‎ ‎（15）已知满足约束条件若的最大值为4，则 . ‎ ‎（16）在数列中,,,对所有正整数均有，则 . ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知△的内角,,的对边分别为，，，若，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若, 求.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为…，其中为标准，为标准. 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; ‎ 乙 厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相 应的执行标准. ‎ ‎（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：‎ 且的数学期望, 求的值;‎ ‎（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等 级系数组成一个样本，数据如下:‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可 购买性？说明理由.‎ 注: ①产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.‎ ‎(19) （本小题满分12分）‎ 如图, 平面，平面, △是等边三角形，, ‎ 是的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：; ‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，‎ ‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎(20) （本小题满分12分）‎ 已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行 线交曲线于两个不同的点, 求△面积的最大值．‎ ‎(21) （本小题满分12分）‎ 设函数. 若曲线在点处的切线方程为 ‎（为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，试比较与的大小，并予以证明.‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为为参数, 曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎（II）设直线与曲线C相交于两点, 当变化时, 求的最小值.‎ ‎(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，不等式的解集是.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（II）若存在实数解，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ 普宁英才华侨中学2016-2017学年度第一学期 期末考试 高三数学（理科）参考答案 ‎1-12：CCBDC DBCDA BD ‎（13） （14） （15） （16）‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）因为，，‎ ‎ 由余弦定理得,即. ……………………2分 ‎ 所以. …………………………………………4分 ‎ 由于, 所以. …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）法1: 由及, 得, ……………………7分 ‎ 即, ………………………………………………………………8分 ‎ 解得或(舍去). …………………………………………9分 ‎ 由正弦定理得, …………………………………………10分 ‎ 得. ………………………………………12分 法2: 由及正弦定理得, …………………………………………7分 ‎ 得. …………………………………………8分 ‎ 由于, 则,‎ ‎ 则. …………………………………………9分 ‎ 由于, 则. ………………………………………10分 ‎ 所以 ‎ ………………………………………11分 ‎ ‎ ‎ . ……………………………………………………………12分 ‎ (18) 解:‎ ‎（Ⅰ）, 即,  ……………………1分 又由的概率分布列得, ② ……………………2分 由‚得 …………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：‎ ‎………………………………………………………………5分 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：‎ ‎ ………………………………………………………………6分 所以. ……………7分 即乙厂产品的等级系数的数学期望为. ……………………………………………8分 ‎ ‎（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：‎ 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于, 价格为元/件，所以其性价比为，‎ ‎………………………………………………………………………………9分 因为乙厂产品的等级系数的期望等于, 价格为元/件，所以其性价比为，‎ ‎……………………………………………………………………………10分 据此，乙厂的产品更具可购买性. ……………………………………………12分 ‎ (19) 解:‎ ‎（Ⅰ）因为△是等边三角形，是的中点,‎ ‎ 所以. …………………………………1分 ‎ 因为平面, 平面, ‎ ‎ 所以. …………………………………2分 ‎ 因为, ‎ ‎ 所以平面. ……………………3分 ‎ ‎ 因为平面,‎ ‎ 所以. ……………………………4分 ‎（Ⅱ）法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，‎ 所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，‎ 建立空间直角坐标系.‎ 因为平面,‎ 所以为直线与平面所成角. ……………………………………5分 由题意得, 即,…………………………………6分 从而.‎ 不妨设, 又, 则, .…………………………7分 故,, , . ……………………………8分 于是, ,,,‎ 设平面与平面的法向量分别为,‎ ‎ 由 得 令,得, ‎ ‎ 所以. …………………………………9分 ‎ 由 得 令,得, . ‎ ‎ 所以. …………………………………10分 ‎ 所以. …………………………………11分 ‎ ‎ 所以二面角的余弦值为. …………………………………12分 法2: 因为平面,‎ 所以为直线与平面所成角. …………………………………5分 由题意得, 即,…………………………………6分 从而.‎ 不妨设, 又, ‎ 则, , . …………………………………7分 由于平面,平面, 则∥.‎ ‎ 取的中点, 连接, 则.‎ ‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 取的中点, 连接,, ,‎ 则. …………………………………8分 所以为二面角的平面角. …………………………………9分 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 在Rt△中, ,‎ 因为, …………………………………10分 所以. …………………………………11分 所以二面角的余弦值为. …………………………………12分 ‎(20) 解：‎ ‎（Ⅰ）设圆的半径为, 圆心的坐标为，‎ 由于动圆与圆相切，且与圆相内切，‎ 所以动圆与圆只能内切. …………………………………1分 ‎ 所以 …………………………………2分 则. …………………………………3分 所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆, ‎ 且, 则.‎ 所以曲线的方程为. …………………………………4分 ‎（Ⅱ）设，直线的方程为，‎ ‎ ‎ ‎ 由 可得，‎ 则. …………………………………5分 ‎ ‎ 所以 …………………………………6分 ‎ ‎ ‎ …………………………………7分 因为，所以△的面积等于△的面积. …………………8分 ‎ 点到直线的距离. ……………………………9分 ‎ 所以△的面积.‎ ‎ …………………………………10分 ‎ 令，则 ，. ‎ 设，则.‎ 因为, 所以 所以在上单调递增.‎ 所以当时, 取得最小值, 其值为. …………………………………11分 所以△的面积的最大值为. …………………………………12分 说明: △的面积.‎ ‎(21) 解:‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为.‎ ‎. ………………………………………………………………1分 依题意得，即 ……………………3分 所以. ………………………………………………………………4分 所以，.‎ 当时, ; 当时, .‎ 所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.………………6分 ‎（Ⅱ）当时，.‎ 等价于，‎ 也等价于. ………………………………………7分 不妨设，‎ 设（）, ‎ 则. …………………………………………………………8分 ‎ 当时，，所以函数在上为增函数，‎ 即， ……………………9分 故当时，（当且仅当时取等 号）.‎ 令，则， …………………………………………10分 即（当且仅当时取等号），……………11分 综上所述，当时，（当且仅当时取等号）.‎ ‎ ………………………………………………………………12分 ‎(22) 解:‎ ‎ (Ⅰ) 由消去得, ……………………1分 ‎ 所以直线的普通方程为. ……………………2分 由, 得, ……………………3分 把代入上式, 得,‎ ‎ 所以曲线C的直角坐标方程为. …………………………………………5分 ‎ (II) 将直线l的参数方程代入, 得, ………………6分 ‎ 设A、B两点对应的参数分别为, ‎ 则, , …………………………………………7分 ‎ 所以 . ……9分 ‎ 当时, 的最小值为4. …………………………………………10分 ‎ (23) 解：‎ ‎（Ⅰ）由, 得，即. ……………………1分 ‎ 当时，. …………………………………………………………2分 因为不等式的解集是 ‎ 所以 解得…………………………………………………………3分 ‎ 当时，. …………………………………………………………4分 因为不等式的解集是 ‎ 所以 无解. …………………………………………………………5分 所以 ‎（II）因为………………7分 ‎ 所以要使存在实数解，只需. ………………8分 ‎ 解得或. ………………………………………………………9分 ‎ 所以实数的取值范围是. …………………………10分