数学理卷·2017届湖南省衡阳市高三下学期第三次联考（2017 11页

‎2017届高中毕业班联考(三)‎ 理科数学 第I卷 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．是虚数单位，复数，则=‎ ‎ A．0 B．2 C．1 D．‎ ‎2．设集合，，则的子集的个数是 ‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎3．已知，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师 ‎ 对数学卷的迸择题、填空题和解答题这3种题型进行改编。则每 ‎ 种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为 ‎ A．150 B．180‎ ‎ C．200 D．280‎ ‎5．执行如右图所示的程序框图，输出的s值为时，则判断框内 ‎ 应填写 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎6．直三棱柱中，底面是正三角形，三棱柱的高为,‎ 三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是 ‎ A． B． C· D．‎ ‎7．函数的所有零点之和为 A． B． C· D．‎ ‎8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则该几何体中最长的棱长为 A． B．．‎ C． D． ‎ ‎9．已知对于任意平面向量，把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量，叫做把点绕逆时针旋转角得到点，设平面内曲线上的每一点绕原点逆时针旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是 A． B． C· D．‎ ‎10．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的一点，且，则外接圆的面积为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎11．如图．在中，D是BC的中点，E、F是AD上的 两个三等分点，，则的值是 A．4 B．8 ‎ ‎ C． D·‎ ‎12．《数学统综)有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说 ‎ ‎“在凹(或凸)函数(函数值为正)图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数。则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数，在上任取三个不同的点、、，均存在以、、为三边长的三角形，则实数的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必做题与选做题两部分，第13—21题为必做题。每个试题考生都必须作答 ‎22—23题为选做题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．‎ ‎13．在展开式中第三项为______________________．‎ ‎14．设函数，D是由轴和曲线及该曲线在点处切线所围成的封闭区域，则在D上的最小值为__________。‎ ‎15．已知，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为_________．‎ ‎16．已知函数，则使得成立的范围是______。‎ 三、解答题(本大题含6个小题．共70分。解答应写出文字说明或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分)已知数列的首项，当时，，‎ 数列满足 ‎(1)求证：数列是等差数列．并求的通项公式；‎ ‎（2）若，如果对任意都有，求实数的取值范围 ‎18．(本小题满分12分)据某市地产数据研究的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走 ‎ 势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采取宏观调控措施，10月开始房 ‎ 价得到很好的抑制．‎ ‎ ‎ ‎(1)地产数据研究院发现．3月至7月的各月均价 (万元／平方米)与月份之间具有较强 ‎ 的线性相关关系，试建立关于的回归方程(系数精确到(系数精确到0.01)；政府若不调控，依照此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；‎ ‎(2)地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月的数据做样本分析，若关 ‎ 注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为，求的分布列与数学期望。‎ 参考数据及公式：‎ ‎19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱中，‎ 底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，‎ ‎4B=2BC=2．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若平面与平面所成的锐二面角的大小为 ‎ 求线段的长度．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点 ‎ (1)求椭圆E的方程；‎ ‎ (2)过坐标原点O的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，‎ ‎ 过P作轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于H，求证：‎ ‎21．(本小题满分12分)已知函数 (为常数，)·‎ ‎ (1)若是函数的一个极值点，求的值；‎ ‎ (2)求证：当时，在上是增函数；‎ ‎ (3)若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数 ‎ m的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目．如果多做则按所做的第一个题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑·‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知直线的陂坐标方程为，圆的参数方程为： (其中为参数)·‎ ‎ (1)判断直线与圆C的位置关系；‎ ‎ (2)若椭圆的参数方程为 (为参数)，过圆C的圆心且与直线垂直的直线与 椭圆相交于A，B两点．求．‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎ (1)若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若存在实数使成立，求实数m的取值范围 衡阳市第三次联考理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C A D C D C A D C A 二、填空题 ‎13．； 14．； 15．-4； 16．．‎ 三、 解答题 ‎18、解：（1）‎ 计算可得：，，，‎ 所以，，‎ 所以从3月份至6月份关于的回归方程为.‎ 将2016年的12月份代入回归方程得：，‎ 所以预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米.-----6分 ‎（2）根据题意，的可能取值为1,2,3‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 因此，的数学期望.---------12分 ‎19、解：　(1)证明:因为底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形,所以BC⊥CD, BC⊥CC1,‎ 又因为CD∩CC1=C,所以BC⊥平面DCC1D1,‎ 因为D1E⊂平面DCC1D1,所以BC⊥D1E.------5分 ‎ (2)由(1)可知BC⊥D1E,又因为D1E⊥CD,且BC∩CD=C,‎ 所以D1E⊥平面ABCD.‎ 设G为AB的中点,以E为原点,EG,EC,ED1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.则E(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),G(1,0,0).‎ 设D1E=a,则D1(0,0,a),B1(1,2,a).设平面BED1的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 因为EB=(1,1,0),ED1=(0,0,a),令x=1,得n=(1,-1,0).‎ 设平面BCC1B1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),‎ 因为CB=(1,0,0),BC1=(-1,1,a),令z1=1,得m=(0,-a,1).‎ 由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为,‎ 得|cos|===cos,解得a=1.所以D1E=1.-------------12分 ‎20、解：（Ⅰ）连接为原点,为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为 因为是的中位线，且,所以 所以，故 在中，‎ 即,又,解得 所求椭圆的方程为．---------6分 ‎ (Ⅱ)法一：由（Ⅰ）得椭圆的方程为 根据题意可设，则 则直线的方程为…①‎ 过点且与垂直的直线方程为…②‎ ‎①②并整理得：‎ 又在椭圆上，所以 所以 即①、②两直线的交点在椭圆上,所以．---------12分 法二：由（Ⅰ）得椭圆的方程为 根据题意可设，则，，‎ 所以直线 ‎，化简得 所以 因为,所以,则 所以，则,即--------12分 ‎21、解：‎ ‎（Ⅰ）由已知，得即，‎ 经检验，满足条件.-----3分 ‎（Ⅱ）当时，‎ 当时，.又，‎ 故在上是增函数-------------6分 ‎（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为 于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.‎ 记 则当时，有，且在区间（1，2）上递减，且，则不可能使恒成立，故必有 当，且 若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立矛盾，故，这时，即在（1，2）上递增，恒有满足题设要求.‎ ‎，即，‎ 所以，实数的取值范围为.----------12分 ‎22、解：　(1)将直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程:x+y-1=0.‎ 将圆C的参数方程化为普通方程:x2+(y+2)2=4,圆心为C(0,-2),半径r=2.‎ ‎∴圆心C到直线l的距离为d=>r=2,‎ ‎∴直线l与圆C相离.(5分)‎ ‎(2)将椭圆的参数方程化为普通方程为,‎ ‎∵直线l:x+y-1=0的斜率为k1=-1,‎ ‎∴直线l'的斜率为k2=1,即倾斜角为,‎ 则直线l'的参数方程为(t为参数),‎ 即 (t为参数),‎ 把直线l'的参数方程代入,‎ 整理得7t2-16t+8=0.(*)‎ 由于Δ=(-16)2-4×7×8>0,‎ 故可设t1,t2是方程(*)的两个不等实根,则有t1t2=,‎ ‎|AB｜＝.(10分)‎ ‎23解：（Ⅰ）由得，∴，即，‎ ‎∴，∴. ……………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，‎ 则，‎ ‎∴的最小值为4，故实数的取值范围是.……………10分