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  • 2021-06-15 发布

浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学(2-10班)试题

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www.ks5u.com 北仑中学2019学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出全集中的元素,根据补集定义求解。‎ ‎【详解】由题意,∴。‎ 故选:B。‎ ‎【点睛】本题考查补集的运算,解题关键是确定全集和集合中的元素,才能根据定义求得补集。‎ ‎2.函数 的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由真数大于0,分母不为0和二次根式被开方数不小于0可得定义域。‎ ‎【详解】由题意,解得。‎ 故选:A。‎ ‎【点睛】本题考查求函数的定义域。函数定义域就是使函数式有意义的自变量的取值范围。在高中我们所学函数中有意义一般指:‎ ‎(1)分母不为0;(2)偶次根式下被开方数不为负;(3)零次幂底数不为0;(4)对数的真数大于0;(5)对数型函数与指数型函数的底数大于0且不等于1;(6)正切函数 中自变量,。‎ ‎3.函数的零点所在的一个区间是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算区间两端点处的函数值,只要一正一负即得。‎ ‎【详解】,。。‎ 故选:B。‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点存在定理,连续函数满足,则它在区间上至少有一个零点。‎ ‎4.三个数之间的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 应用幂函数的单调性比较大小,然后借助中间值1可与比较大小。‎ ‎【详解】∵在上是增函数,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴。‎ 故选:C。‎ ‎【点睛】本题考查比较幂的大小,一般同底数的幂利用指数函数比较大小,同指数的幂利用幂函数比较大小,不同底不同指数的幂可借助中间值,如1比较。‎ ‎5.函数的图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数的奇偶性可排除两个选项,再由函数值的正负排除一个,剩下的就是正确选项。‎ ‎【详解】函数定义域是,‎ 设,则,∴是奇函数,可排除A、C,‎ 又时,时,,因此可排除B。‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查由函数解析式选取函数的图象。解题进可用排除法,即研究函数的性质如单调性、奇偶性,对称性,研究函数的特殊值如某点处的具体函数值,或者特殊点,如顶点,与坐标轴的交点,以及函数值的正负,或者函数值的变化趋势,排除三个选项得到正确选项。‎ ‎6.在[0,2π]上,满足sinx≥的x的取值范围是(  )‎ A. [0,] B. [,]‎ C. [,] D. [,]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数上的图像,找到对应的值,由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】画出函数上的图像如下图所示,由图像得:的取值范围是.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦函数的图像,考查特殊角的三角函数值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.‎ ‎7.设函数,若,则( )‎ A. 3 B. 9 C. 27 D. 81‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接把已知和待求值式代入函数解析式计算。‎ ‎【详解】由题意,‎ ‎∴‎ 故选:D。‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的概念,考查幂的运算法则,属于基础题。‎ ‎8.设函数 ,则下列结论错误的是( )‎ A. 的值域为 B. 是非奇非偶函数 C. 对于任意,都有 D. 不是单调函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ A:由函数性质可知,的值只能取1,-1,所以值域为,正确;‎ B:当为有理数时,也是有理数,则;同理可得,当为无理数时,也满足,所以时,均有,为偶函数,错误;‎ C:当为有理数时,也是有理数,则;同理可得,当为无理数时,也满足,所以时,均有,正确;‎ D:由函数性质易知,不是单调的,正确;‎ 故选B.‎ ‎9.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“”如下:当时,;当时,,已知函数,则满足的实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 所以,‎ 易知,在单调递增,在单调递增,‎ 且时,,时,,‎ 则在上单调递增,‎ 所以得:,解得,故选C.‎ 点睛:新定义的题关键是读懂题意,根据条件,得到,通过单调性分析,得到在上单调递增,解不等式,要符合定义域和单调性的双重要求,则,解得答案.‎ ‎10.给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作,即.设函数,二次函数,若函数与的图象有且只有一个公共点,则的取值不可能是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析函数的性质,可以画出图象,然后结合二次函数性质可知什么时候只有一个公共点.‎ ‎【详解】∵当(其中为整数),,函数,‎ ‎∴是周期函数,周期为1,当时,.作出函数图象,如图,‎ A.时,,它的零点是0和,由只有一组解,即直线与在相切,又,但不在函数的图象上,因此与只有一个公共点;‎ B.时,,它的零点是0和,,由(1)知它在 处切线方程为,因此的图象与的图象只有一个公共点;‎ C.时,,它的零点为0和,但,而,因此与的图象有两个公共点;‎ D.时,,它的零点为0和,,且在处的切线方程是.因此与的图象只有一个公共点.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的公共点个数问题,考查学生的创新意识,解题时要通过研究函数的定义得出它的性质,周期性、单调性等,得出它的图象,从而结合二次函数的性质可得与的交点个数,题中切线的说明很重要,要注意.‎ 二.填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.‎ ‎11.(1)_________;(2)_________.‎ ‎【答案】 (1). (2). 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据分数指数幂化简求值;(2)根据对数运算法则化简求值.‎ ‎【详解】(1),‎ ‎【点睛】本题考查分数指数幂以及对数运算法则,考查基本化解求值能力.‎ ‎12.函数的值域是________,单调递增区间是_____;‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值域,再结合指数函数的性质得出结论,再由复合函数的单调性得出增区间.‎ ‎【详解】∵,∴,即值域为,‎ 是减函数,在是递减,在上递增,∴所求函数增区间是.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题考查指数型复合函数的值域和单调性,掌握指数函数的值域和复合函数的单调性是解题基础.‎ ‎13.已知扇形的周长为40,当它的圆心角为____时,扇形的面积最大,最大面积为____.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设半径为,用表示出扇形面积,然后求得最大值.‎ ‎【详解】设扇形半径为,则其弧长为,,∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴时,.此时圆心角为.‎ 故答案为:2;100.‎ ‎【点睛】本题考查扇形的面积公式,属于基础题.‎ ‎14.若函数是幂函数,且满足,则 __________,函数过定点__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 设,则,得,;‎ ‎,则当时,,所以过定点.‎ ‎15.函数在是单调递减的,则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知,内层函数在区间上单调递减,可得出,且使得在处的函数值非负,由此可得出关于的不等式组,解出不等式组即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】设,则二次函数的图象开口向下,对称轴为直线.‎ 由于函数在上单调递减,‎ 则函数在上为减函数,则有,‎ 由于在为正数,则当时,,‎ 于有,解得.‎ 因此,实数的取值范围是.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查利用对数型复合函数的单调性求参数,在分析出内层函数的单调性后,还应保证真数在相应的区间上恒为正数,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎16.已知,若关于的方程有三个实根,则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程得或,只有一个根,因此方程要有两个解,结合函数图象可得.‎ ‎【详解】由得或,,只有一个根,因此方程要有两个非零解,作出的图象和直线,由图象可知当时,方程有两个非零解.‎ ‎∴的范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布,解题时宜采用数形结合思想,把问题转化为直线与函数图象交点个数问题,从而通过作出函数图象得到参数取值范围.‎ ‎17.已知时,对任意,有恒成立,则的取值范围是_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件的为方程的根,化简为一元函数,再求取值范围.‎ ‎【详解】因为对任意,有恒成立,所以为方程的根,即,‎ 因为,所以或,即或.‎ ‎【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.‎ 三.解答题:本大题共5小题,共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.已知集合 .‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若 ,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)计算得,求即可;(2)包含关系要分空集和非空两种情况讨论,本题中集合还要考虑不等式两根的大小,对分类讨论要做到不重不漏即可.‎ 试题解析:‎ ‎(1),所以.‎ ‎(2)由(1)可知, 当时, ,符合题意;‎ ‎ 当时,,所以,所以,所以;‎ 当时,,所以,所以,所以,‎ 综上所述,实数的取值范围是.‎ ‎19.已知函数()‎ ‎(1)求函数的值域;‎ ‎(2)若时,函数的最小值为,求的值和函数的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)设,则,‎ ‎,‎ 即,‎ ‎(2) 设,则,而,‎ 所以当时, 函数取最小值,即,‎ 因为,所以,‎ 当时函数取最大值,为.‎ ‎【点睛】研究二次函数性质时,要注意对称轴与定义区间位置关系.‎ ‎20.已知.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用诱导公式化简,对齐次式的分子分母同除以,变为的式子,代入已知可求值;‎ ‎(2)观察已知角与未知角的关系,用诱导公式及同角关系中的平方关系计算.‎ ‎【详解】,‎ ‎(1);‎ ‎(2),,‎ 又,∴,‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式和同角间的三角函数关系,牢记三角函数公式是解题基础.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若为奇函数,求的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,判断在上的单调性并用定义证明;‎ ‎(3)若对任意的,总有成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) 在上递增,证明见解析 (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由求得,并代入检验即可;‎ ‎(2)分离常数得,可判断在上递增.再根据单调性的定义证明即可;‎ ‎(3)题意为,按分类讨论求最大值和最小值.‎ 详解】(1),,‎ 经检验得:当时,为奇函数;‎ ‎(2)由(1),在上递增.‎ 证明:设,则,∴,,‎ ‎∴,即,∴在上是增函数;‎ ‎(3)即,‎ ‎①,;②时,,成立;‎ ‎③;‎ 综上所述,.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性,函数为奇函数,若存在,则.单调性的证明一定要按照定义进行证明,即在单调区间内设,证明(或).含有参数的函数在研究单调性时要分类讨论.‎ ‎22.已知,.‎ ‎(1)若,求的值域;‎ ‎(2)若关于的方程的解集中恰有一个元素,求实数的取值范围;‎ ‎(3)当时,对任意的,在上的最大值与最小值的差不超过2,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出的最大值为1,由得值域;‎ ‎(2)原方程等价于,即且,分①,②时,③当 时,方程有两根,其中只有一个是原方程的解,即满足;‎ ‎(3)在上是增函数,因此有,,整理得,注意,因此求得的最小值后可得关于的不等关系.‎ ‎【详解】(1),当时,,;‎ ‎(2)由题意 即 当时,,不符合 当即时,,也不符合 当时,方程的解为 ‎ 若是方程的解,需,解得或 若是方程的解,需即 ‎(3)当时,对任意的,在上单调递增 ‎,整理得 又 的取值范围是 ‎【点睛】本题考查对数函数的性质,考查对数型函数的最值,考查解对数方程,解题时时刻注意对数的真数大于0这个条件是正确解题的必要条件.‎ ‎ ‎

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