【推荐】专题7-3+简单的线性规划-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学 26页

‎ ‎真题回放 ‎1. 【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ 2. 【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）‎ ‎（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，‎ 若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B. ‎ ‎【考点定位】简单的线性规划问题.‎ ‎【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力. ‎ ‎3.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l 上的投影．由区域 ‎ 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）‎ A．2 B．4 C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎ 考点：线性规划．‎ ‎【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误． ‎ ‎4.【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎【答案】.‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 线性规划　‎ B ‎ 高考单独考查二元一次不等式（组）表示的平面区域的较少，常与面积、周长等结合考查。另外求线性规划问题的最值，以及与基本不等式、向量等知识结合考查，考查频率非常大。还有就是考查线性规划在生活中的应用，求解最优化问题等。‎ 知识链接 ‎1. 二元一次不等式表示的平面区域 ‎(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．‎ ‎(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．‎ ‎2. 线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎3．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：‎ 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 ‎(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；‎ ‎(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．‎ ‎4．最优解和可行解的关系：‎ 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个 融会贯通 题型一　二元一次不等式 (组)表示的平面区域 典例1. 　 (1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的(　　)‎ ‎ ‎ ‎(2)不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　(1)C　(2)C 典例2　(1)(2015·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)‎ A．－3 B．1 C. D．3‎ ‎(2)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是______________________________．‎ ‎【答案】　(1)B　(2) 解题技巧与方法总结 ‎(1)求平面区域的面积：‎ ‎①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；‎ ‎②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．‎ ‎(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．‎ ‎【变式训练】‎ 解下列不等式：‎ ‎(1)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ ‎(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(　　)‎ A．1 B．－1 C．0 D．－2‎ ‎【答案】　(1)B　(2)A 题型二　求目标函数的最值问题 典例3　 (2016·全国丙卷)若x，y满足约束条件 则z＝x＋y的最大值为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　满足约束条件的可行域为以A(－2，－1)，B(0,1)，C为顶点的三角形内部及边界，则y＝－x＋z过点C时z取得最大值.‎ 典例4　实数x，y满足 ‎(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；‎ ‎(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．‎ 引申探究 ‎1．若z＝，求z的取值范围．‎ ‎【解析】　z＝可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率．‎ ‎∴z的取值范围是(－∞，0]．‎ ‎2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．‎ ‎【解析】　z＝x2＋y2－2x－2y＋3‎ ‎＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，‎ 而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，PQ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，‎ PQ＝()2＝，‎ ‎∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.‎ 典例5　(1)已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.‎ ‎(2)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.‎ ‎【答案】　(1)5　(2) 解题技巧与方法总结 ‎(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．‎ ‎(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：‎ ‎①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；‎ ‎② 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．‎ ‎(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．‎ ‎【变式训练】‎ ‎(1)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(　　)‎ A．－2 B．－1 C．1 D．2‎ ‎(2)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)[1，]‎ ‎【解析】　(1)对于选项A，当m＝－2时，可行域如图①，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；‎ 对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图②，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z ‎ 题型三　线性规划的实际应用问题 典例6　某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．‎ ‎(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；‎ ‎(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎【解析】　‎ ‎(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，‎ 所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.‎ ‎(2)约束条件为 解题技巧与方法总结 解线性规划应用问题的一般步骤 ‎(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．‎ ‎(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多) 的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．‎ ‎(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．‎ ‎(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．‎ ‎(5)检验：根据结果，检验反馈．‎ ‎【变式训练】‎ 某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型和B型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A型和B型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？‎ ‎【解析】　‎ 设生产A型电视机x台，B型电视机y台，‎ 则根据已知条件知线性约束条件为 ‎ ‎ 练习检测 ‎1. （2017年浙江省名校协作体）1．若变量， 满足约束条件，则的最大值是（）‎ ‎. . . .‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出可行域如图阴影部分： 由 得 平移直线 ，由图象可知当直线经过点 时， 直线的截距最大，此时 最大，由，解得 ‎ 即 ，此时最大值 ，选A ‎2.（2017山东省淄博市淄川中学）. 若变量x，y满足约束条件 ，则z=3x+5y的取值范围是（　　）‎ A. [3，+∞） B. [﹣8，3] C. （﹣∞，9] D. [﹣8，9]‎ ‎【答案】D ‎ 3. （2017黑龙江省大庆实验中学）变量， 满足约束条件，则目标函数的最小值__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎ 4. （2017安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会）. 设实数满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 12 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出可行域如图所示：‎ 令易得，当经过点时的最大值为12‎ 故选C.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎5. （2017安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会）. 已知变量， 满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点 时， 有最小值，故选B．‎ ‎6. （2017河北省邯郸市2018届高三上学期摸底考试）. 已知函数，点是平面区域内的任意一点，若的最小值为-6，则的值为（ ）‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A 结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最小值，‎ 即： ，解得： .‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值 ‎7. （2017河南省师范大学附属中学）. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：‎ 货物 体积（升/件）‎ 重量（公斤/件）‎ 利润（元/件）‎ 甲 ‎20‎ ‎10‎ ‎8‎ 乙 ‎10‎ ‎20‎ ‎10‎ 运输限制 ‎110‎ ‎100‎ 在最合理的安排下，获得的最大利润的值为__________．‎ ‎【答案】62‎ ‎ ‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎8.（2017安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟）. 若实数满足，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎9.（2017湖北武汉市蔡甸区汉阳一中2017届高三第三次模拟）. 已知，给出下列四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 10.（2017武汉市蔡甸区汉阳一中高三第五次模拟）. 已知一元二次方程x‎2‎‎+(1+a)x+a+b+1=0‎的两个实根为x‎1‎‎,‎x‎2‎，且 ‎01‎，则的取值范围是（ ）‎ A. ‎(-2,-‎1‎‎2‎)‎ B. ‎(-2,-‎1‎‎2‎]‎ C. ‎(-1,-‎1‎‎2‎)‎ D. ‎‎(-1,-‎1‎‎2‎]‎ ‎【答案】A ‎ ‎