【数学】重庆市九龙坡区育才中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题（解析版） 18页

www.ks5u.com 重庆市九龙坡区育才中学2019-2020学年 高二上学期期中考试试题 满分：150分时间：120分钟 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上；‎ ‎2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；‎ ‎3.考试结束后，将答题卡交回并将本试卷妥善保管以备老师评讲.‎ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1-8题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9，10题是多选题，每题至少一个符合题目要求的选项.‎ ‎1.已知椭圆:,其焦点坐标( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 椭圆:,化简为:‎ ‎ ，根据:，可得:,故 ‎ 的焦点为: .‎ 故选:B.‎ ‎2.函数在定义域内可导,其函数图像如图所示,记的导函数为,则不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 函数的导数为正,原函数是单调递增 根据函数图像可知:在区间单调递增的.‎ ‎ 的解集为: .‎ 故选:C.‎ ‎3.若,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ,解得:‎ 故选:B.‎ ‎4.如图,三棱柱中,侧面的面积是,点到侧面的距离是,则三棱柱的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】侧面的面积是,点到侧面的距离是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选:C.‎ ‎5.两条异面直线,满足:与平面成角,与平面成角,则与所成角大小满足( )‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】作,当直线,在同一平面内时,图像如图:‎ 当绕旋转时,如图:‎ ‎ 由图像可知异面直线,夹角可为,此时,夹角最大 当绕旋转到如图所示位置时:‎ ‎ 由图像可知此时与夹角为 当直线在空间进行平行移动时, 直线,将成为异面直线,‎ ‎ 此时得到异面直线,夹角的值为.‎ 综上所述, 与所成角大小满足.‎ 故选:D.‎ ‎6.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,为球的直径,是边长为的等边三角形,三棱锥的体积为,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出其立体图像,如图:‎ 设中点为 ‎ ‎ 为球的直径,故点为三棱锥外接球的球心.‎ 设外接圆的圆心为 ‎ 是边长为,故外接圆半径为:，故 ‎ ‎ 是边长为的等边三角形 ‎ 根据三角形面积公式可得: ‎ ‎ 三棱锥体积为 ‎ 根据三棱锥体积公式可得: ‎ 可得,解得:‎ 根据几何关系可知: ‎ ‎ 在中,有 ‎ ‎ ‎ ‎ 根据球的表面积公式为 ‎ ‎ ‎ 故选:A.‎ ‎7.记双曲线的左、右焦点分别为，为平面内一点，且线段的垂直平分线方程为，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】记为的中点，又为的中点 所以为的中位线，所以 由，可得 故，‎ 由，得，解得，‎ 故双曲线的渐近线方程为 本题正确选项：‎ ‎8.定义在上的函数,其导函数为,且,,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设 ‎ ‎ 又 则,可得是定义在的减函数.‎ 又,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可化简为:,即 ‎ ‎ 故选:A.‎ ‎9.(多选)已知,是两条不同的直线,,是两不同的平面,是一个点,其中正确的是( )‎ A. 若,,则;‎ B. 若,则;‎ C. 若,,,,则;‎ D. 若,,,,,则.‎ ‎【答案】CD ‎【解析】对于A,若,,可不在直线,故A错误;‎ 对于B,若,,可知上有一点在内,根据两点确定一条直线可知,不一定在内,故B错误;‎ 对于C, ,,, ,故C正确;‎ 对于D, ,,,, ,故D正确.‎ 故选:CD.‎ ‎10.(多选)已知函数,其中正确结论的是( )‎ A. 当时,函数有最大值.‎ B. 对于任意的,函数一定存在最小值.‎ C. 对于任意的,函数是上的增函数.‎ D. 对于任意的,都有函数.‎ ‎【答案】BC ‎【解析】对于A,当时,函数,根据指数单调性可知,‎ 此时是单调增函数,故无最大值,故A错误; ‎ 对于B,对于任意的, ，‎ ‎ ,易知是在单调增函数,‎ 当时,，当时, ‎ 存在， 当时, ,单调递减 ‎ 当时, ,单调递增 ‎ ，故B正确;‎ 对于C,对于任意的,‎ ‎ 函数， , ,‎ 可得:,故函数是上的增函数，故C正确;‎ 对于D,对于任意的,‎ ‎ 函数， , ,‎ 可得:,故函数是上的增函数.‎ 当时,,,‎ 可得:,故D错误.‎ 故选:BC.‎ 二、填空题：本题共5小题，每题4分，共20分.‎ ‎11.曲线在处的切线方程为_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】，而，‎ 所以切线方程为.‎ ‎12.已知函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是 ‎______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ， ‎ ‎ 函数在区间内单调递增 ‎ 在上,，即,‎ ‎ 令,，根据对号函数可知: ,‎ ‎ 根据不等式性质可知:‎ 故答案为:‎ ‎13.已知抛物线:,直线过点,且与抛物线交于,两点,若线段的中点恰好为点,则直线的斜率为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设 ‎ ‎ ①,‎ ‎②‎ 由①②可得: ‎ 线段的中点恰好为点 根据中点坐标公式可得:， ‎ 故答案为:.‎ ‎14.若函数只有一个极值点，则k的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数只有一个极值点，‎ ‎，‎ 若函数只有一个极值点，只有一个实数解，‎ 则：，从而得到：，‎ 当 时，成立．当时，设，，‎ 当两函数相切时，，此时得到的最大值，但时不成立．‎ 故的取值范围为：，‎ 综上：的取值范围为：.‎ 故答案为：．‎ ‎15.在棱长为1的正方体中,为的中点,,是正方体表面上相异两点,满足,．(1)若,均在平面内,则与的位置关 系是______；(2)的最小值为______．‎ ‎【答案】 (1). 平行 (2). ‎ ‎【解析】(1)以为空间直角坐标系的原点,以所在的直线为轴,‎ 如下图所示：‎ ‎,因为若,均在平面内,‎ 所以设,‎ 因为,,‎ 所以,解得,,‎ ‎,所以与的位置关系是平行；‎ ‎(2)由(1)可知：‎ 当时, 有最小值,最小值为.‎ 故答案为：平行；‎ 三、解答题：本题共6小题，每题15分，共90分.‎ ‎16.已知函数,其中,,且的最小值为,的图像的相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎（1）求函数的解析式和单调递增区间;‎ ‎（2）在中,角,,所对的边分别为,,.且,求.‎ ‎【解】（1） 的最小值为， ‎ ‎ 的图像的相邻两条对称轴之间的距离为.‎ 根据正弦函数图像可知,函数周期为:‎ 根据正弦函数最小正周期公式: ,故 ‎ ,‎ 根据正弦函数图像可知,其单调增区间为:‎ ‎,‎ 解得函数单增区间为:.‎ ‎（2）在由余弦定理得:‎ ‎ ,‎ ‎ ① ‎ ‎② ‎ ‎ ,‎ 可得: ‎ ‎ ③‎ 将①②代入③得: ‎ ‎ ,可得:,即 ‎ ‎ .‎ ‎17.在数列{an}中，已知，且2an+1=an+1（n∈N*）．‎ ‎（1）求证：数列{an-1}是等比数列；‎ ‎（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解】（1）∵2an+1=an+1（n∈N*）．∴2（an+1-1）=an-1，‎ ‎∵，∴a1-1=且an-1≠0，∴=，‎ ‎∴数列{an-1}是以为首项，为公比的等比数列 ‎（2）由（1）可得：an-1=，∴an=，∴bn=nan=n，‎ ‎∴Tn=（）+（1+2+…+n），‎ 令An=，‎ ‎∴=…+（n-1）+n，‎ 两式相减可得，===1-‎ ‎∴An=2-2×-n=2-，∴Tn=2-‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）当时，判断函数的单调性；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）已知，证明.‎ ‎【解】由题意可知，函数的定义域为：且.‎ ‎（1）当时，，‎ 若，则 ； 若，则 ，‎ 所以函数在区间单调递增，单调递减.‎ ‎（2）若恒成立，则恒成立，‎ 又因为，所以分离变量得恒成立，‎ 设，则，所以，‎ 当时，；当时，，‎ 即函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 当时，函数取最大值，，所以.‎ ‎（3）欲证，两边取对数，只需证明，‎ 只需证明，即只需证明，‎ 由（2）可知在上单调递减，且，‎ 所以，命题得证.‎ ‎19.如图,楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得,底面侧面,,楔面是边长为2的正三角形,点在侧面的射影是矩形的中心,点在上,且 ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求楔面与侧面所成二面角的余弦值.‎ ‎【解】（1）证明：如图,连接交于,连接,.‎ 则是的中点,.‎ 因为平面,所以平面平面,‎ 又平面平面,所以平面平面,‎ 根据题意,四边形和是全等的直角梯形,‎ 三角形和是全等的等腰直角三角形,‎ 所以,.‎ 在直角三角形中,,‎ 所以,,,‎ 于是,,‎ 所以,.‎ 因为平面,,所以平面.‎ ‎（2）法一：向量法：以为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,,,,.‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则,取,‎ 平面的一个法向量为,‎ 所以,‎ 所以楔面与侧面所成二面角的余弦值为.‎ 法二：几何法：如图,取的中点,连接,.‎ 即为楔面与侧面所成二面角的平面角.‎ 在直角三角形中,,,‎ 所以,‎ 所以楔面与侧面所成二面角的余弦值为.‎ ‎20.已知函数,,曲线与在点处有相同的切线.‎ ‎（1）求、的值;‎ ‎（2）求函数的极值;‎ ‎（3）证明:.‎ ‎【解】（1）,,‎ ‎ 曲线与在点处有相同的切线．‎ ‎ ,,‎ 即， ,．‎ ‎（2） 由（1）， ‎ ‎ ， 当;‎ 当,，当,‎ 故在处取得极小值,‎ 极小值为: ‎ ‎（3） ,.‎ 由,得．‎ ‎ , 原问题即证:．‎ 令, ,‎ ‎ 当时,,当时,．‎ ‎ 的单调递减区间为,单调递减区间为．‎ ‎, ．‎ ‎21.已知椭圆:,过椭圆右焦点的最短弦长是,且点在椭圆上.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程;‎ ‎（2）设动点满足:,其中,是椭圆上的点,直线与直线的斜率之积为,求点的轨迹方程并判断是否存在两个定点、,使得为定值？若存在,求出定值;若不存在,说明理由.‎ ‎【解】（1）椭圆：,过椭圆右焦点的最短弦长是 ‎ ,即① ‎ ‎ 点在椭圆上 ‎ 即 ②‎ 由①②解得: ,‎ ‎ 化简可得:，解得,,,‎ ‎ 椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）设,,,则由 得:,‎ 即,.‎ ‎ 点,在椭圆上, ,,‎ 故 ‎,‎ 设,分别为直线,的斜率,‎ 由题设条件知:,可得, ,‎ 点是椭圆上的点,设该椭圆的左、右焦点为点,,‎ 使得为定值.‎