数学文卷·2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末考试（2018 9页

福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期末考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.已知是虚数单位，复数（其中）是纯虚数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知等比数列，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.已知命题：“”是“”的充要条件；：，，则（ ）‎ A．为真命题 B．为假命题 C.为真命题 D．为真命题 ‎5.已知圆的一条切线与双曲线：有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小份为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.，，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.函数的图像如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像（ ）‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 ‎ C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 ‎9.已知满足，，若取得最大值的最优解有无数个，则（ ）‎ A． B． C.或 D．无法确定 ‎10.在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数的定义域为，对于，有，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，当时，对任意的总存在使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知实数，满足，则的最小值为 ．‎ ‎14.均值不等式已知，，则的最小值是 ．‎ ‎15.已知抛物线：的焦点也是椭圆：的一个焦点，点，分别为曲线，上的点，则的最小值为 ．‎ ‎16.已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列的前项和为，，且满足.‎ ‎（1）证明数列为等差数列；‎ ‎（2）求. ‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点，分别为和的中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积. ‎ ‎19.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利元.‎ ‎（1）若商品一天购进该商品件，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：件，）的函数解析式；‎ ‎（2）商店记录了天该商品的日需求量（单位：件，），整理得下表：‎ 日需求量 频数 ‎ 若商店一天购进件该商品，以天记录的各需求量的频数作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间内的概率.‎ ‎20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过椭圆左焦点的直线交于，两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点在曲线上，点的直角坐标是（其中），求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在实数满足，求的取值范围.‎ 高三期末数学（文）考试答案 一、选择题 ‎1-5:CBCDD 6-10:ACDBC 11、12：D、A 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）证明：由条件可知，，即，‎ 整理得，‎ 所以数列是以为首项，为公差的等差数列.‎ ‎（2）由（1）可知，，即，‎ 令 ‎ ①‎ ‎②‎ ‎①-②，，‎ 整理得. ‎ ‎18.解：（1）作交于，连接.‎ 点为的中点，，又，，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 平面，平面，直线平面.‎ ‎（2）连接，在中，，，，‎ ‎，‎ ‎，，.‎ 平面，平面，，‎ ‎，平面，平面，平面.‎ 三棱锥的体积.‎ ‎19.解：（1）当日需求量时，‎ 利润为；‎ 当日需求量时，利润为.‎ 所以利润关于需求量的函数解析式为 ‎.‎ ‎（2）天内有天获得的利润为元，有天获得的利润为元，有天获得的利润为元，有天获得的利润为元，有天获得的利润为元，有天获得的利润为元.‎ 若利润在区间内，日需求量为、、，其对应的频数分别为、、.‎ 则利润在区间内的概率为. ‎ ‎20.（1）依题意，，‎ 解得，，椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 当直线垂直于轴时，，且，‎ 此时，，.‎ 当直线不垂直于轴时，设直线：，‎ 由，得，‎ ‎，，‎ 要使不等式恒成立，‎ 只需，即的最小值为.‎ ‎21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎（1）当时，由得，或，由得，‎ 故函数的单调递增区间为和，单调减区间为 ‎（2）当时，，的单调增区间为 ‎（Ⅱ）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“，恒成立”。即可转化为恒成立。‎ 令，则只需在恒成立即可，‎ 当时，在时，，在时，‎ 的最小值为，由得，‎ 故当时，恒成立，‎ 当时，，在不能恒成立，‎ 当时，取，有，在不能恒成立，‎ 综上所述，即或时，至少有一个，使成立。‎ ‎22.（1）由得，‎ 即，所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）因为曲线：是圆心为，半径为的圆，‎ 点在曲线即圆：，‎ 所以，即的最大值为.‎ ‎23.(1)当时，.由得.‎ 当时，不等式等价于，解得，所以；‎ 当时，不等式等价于，解得，所以；‎ 当时，不等式等价于，解得，所以；‎ 综上，原不等式的解集为.‎ ‎（2）.‎ 因为原命题等价于，‎ 所以，解得，即的取值范围为.‎