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- 2021-06-15 发布
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微专题34 向量的模长问题——几何法
一、基础知识:
1、向量和差的几何意义:已知向量,则有:
(1)若共起点,则利用平行四边形法则求,可得是以为邻边的平行四边形的对角线
(2)若首尾相接,则利用三角形法则求出,可得,围成一个三角形
2、向量数乘的几何意义:对于
(1)共线(平行)特点:与为共线向量,其中时,与同向;时,与反向
(2)模长关系:
3、与向量模长问题相关的定理:
(1)三角形中的相关定理:设三个内角所对的边为
① 正弦定理:
② 余弦定理:
(2)菱形:对角线垂直平分,且为内角的角平分线
特别的,对于底角的菱形,其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。
(3)矩形:若四边形的平行四边形,则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件
4、利用几何法求模长的条件:条件中的向量运算可构成特殊的几何图形,且所求向量与几何图形中的某条线段相关,则可考虑利用条件中的几何知识处理模长
二、典型例题:
例1:(2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷)已知向量的夹角为,且,则( )
A. B. C. D.
思路:本题利用几何图形可解,运用向量加减运算作出如下图形:可知
,只需利用余弦定理求出 即可。
解:如图可得:,在中,有:
即:
解得或(舍)
所以,
答案:选
例2:若平面向量两两所成的角相等,且,则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
思路:首先由两两所成的角相等可判断出存在两种情况:一是同向(如图1,此时夹角均为0),则为 ,另一种情况为两两夹角 (如图2),以为突破口,由平行四边形法则作图得到与夹角相等,(底角为的菱形性质),且与反向,进而由图得到,选C
答案:C
例3:已知向量,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
思路:先作出,即有向线段,考虑,将的起点与重合,终点绕旋转且,则即为的长度,通过观察可得与共线时达到最值。所以,且连续变化,所以的取值范围是
答案:C
例4:设是两个非零向量,且,则_______
思路:可知为平行四边形的一组邻边和一条对角线,由可知满足条件的只能是底角为,边长 的菱形,从而可求出另一条对角线的长度为
答案:
例5:已知为平面向量,若与的夹角为,与的夹角为,则( )
A. B. C. D.
思路:可知为平行四边形的一组邻边及对角线,通过作图和平行四边形性质得:在中,,由正弦定理可得:,即
答案:D
例6:已知是单位向量,且的夹角为,若向量满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
思路:本题已知模长且夹角特殊,通过作图可得为模长为,设
,则可得且,而可视为以共起点,终点在以起点为圆心,2为半径的圆上。通过数形结合可得的最大值为(此时的终点位于点)
答案:A
例7:在中,,设是的中点,是所在平面内的一点,且,则的值是( )
A. B. C. D.
思路:本题的关键在于确定点的位置,从而将与已知线段找到联系,将考虑变形为,即,设,则三点共线,且,所以由平行四边形性质可得:
答案:B
例8:已知向量,对任意的,恒有,则的值为________
思路:本题以作为突破口,通过作图设,为直线上一点,则有。从而可得,即,所以点为直线上到距离最短的线段,由平面几何知识可得最短的线段为到的垂线段。所以,即,所以有
答案:0
小炼有话说:本题若用图形解决,找到在图上的位置和两个向量的联系是关键
例9:已知平面向量满足,且,若向量的夹角为,则的最大值是_________
思路:由条件可得夹角的余弦值,若用代数方法处理夹角的条件,则运算量较大。所以考虑利用图形,设,则,即,从而,可判定四点共圆,则的最大值为四边形外接圆的直径,即的直径。在中,由余弦定理可得:,所以,由正弦定理可得:,即
答案:
小炼有话说:若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积,模长进行计算时,可考虑寻找几何图形进行求解。
例10:(2010年,浙江,16)已知平面向量满足 ,且与的夹角为,则的取值范围是___________
思路:本题很难找到与数量积相关的条件,那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到构成,,从而可利用正余弦定理求出即的取值范围
解:在中,由正弦定理可得:
而
答案:的取值范围是
小炼有话说:例题中的部分问题也可采用模长平方的方式,从而转化成为数量积求解。具体解法如下:
例1:解:
,解得
例2:解:
夹角相同
当同向时,可得,所以
当两两夹角时,可得
,所以
综上所述:或
例3:解:
因为 即
例4:解:可得
代入得
例8:解:以为原点,为轴建立直角坐标系。所以,设,则,由可得:,所以
因为为中点
例9:解:
对恒成立
即
,所以