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- 2021-06-15 发布
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2020年全国I卷高考考前适应性试卷
理 科 数 学(二)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.记复数的共轭复数为,已知复数满足,则( )
A. B. C. D.
3.下列关于命题的说法正确的是( )
A.命题“若,则”的否命题是“若,则”
B.命题“若,则,互为相反数”的逆命题是真命题
C.命题“,”的否定是“,”
D.命题“若,则”的逆否命题是真命题
4.已知,,,则( )
A. B. C. D.
5.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.运行如图所示的程序框图,输出的的值为( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量,,满足,,,则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示,则函数图象的一个对称中心可能为( )
A. B. C. D.
9.如图所示,是等腰直角三角形,且,为边上的中点,与为等边三角形,点是线段与线段的交点,点是线段与线段的交点,若往中任意投掷一点,该点落在图中阴影区域内的概率为( )
参考数据:,.
A. B. C. D.
10.在梯形中,,,,,动点和分别在线段和上,且,,则的最大值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数的图象关于点对称,函数对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
12.已知关于的不等式有且仅有三个正整数解(其中为自然对数的底数),则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.若抛物线上的点到焦点的距离为,则到轴的距离是 .
14.已知实数,满足,则的最大值为 .
15.在中,若,,则面积的最大值为 .
16.已知半径为的球内有一个内接四棱锥,四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,当四棱锥的体积最大时,它的底面边长等于 .
三、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知公差不为零的等差数列和等比数列满足:,,
且,,成等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
18.(12分)如图,在斜三棱柱中,底面是边长为的正三角形,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角的正弦值.
19.(12分)为了调查一款电视机的使用时间,研究人员对该款电视机进行了相应的测试,将得到的数据统计如下图所示.并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查,得到的数据如下表所示.
(1)根据图中的数据,试估计该款电视机的平均使用时间;
(2)根据表中数据,判断是否有的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关;
(3)用频率估计概率,若在该电视机的生产线上随机抽取台,记其中使用时间不低于年的电视机的台数为,求的分布列及期望.
附:,
20.(12分)已知椭圆的长轴长为,且椭圆与圆
的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点,,试判断在轴上是否存在点,使得为以为底边的等腰三角形.若存在,求出点的横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
21.(12分)已知函数,其中为正实数.
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中,直线的方程是,曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线和曲线的极坐标方程;
(2)射线(其中)与曲线交于,两点,与直线交于点,
求的取值范围.
23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】
设,函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)若,解关于的不等式.
2020年全国I卷高考考前适应性试卷
理 科 数 学(二)答 案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】依题意,,故,故选B.
2.【答案】B
【解析】因为,所以,,所以,故选B.
3.【答案】B
【解析】逐一分析所给命题的真假:
A命题“若,则”的否命题是“若,则”,题中说法错误;
B命题“若,则,互为相反数”是真命题,则其逆命题是真命题,题中说法正确;
C命题“,”的否定是“,”,题中说法错误;
D命题“若,则”是假命题,则其逆否命题是假命题,题中说法错误,
故选B.
4.【答案】D
【解析】因为,,,
所以,故选D.
5.【答案】D
【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知:
该几何体的底面是圆心角为的扇形,高是的圆锥体,
容易算得底面面积,所以其体积,
故答案为D.
6.【答案】C
【解析】运行该程序,第一次,,;第二次,,;
第三次,,;第四次,,;
第五次,,,第六次,,
此时,故输出的的值为,故选C.
7.【答案】B
【解析】由题意可得,且,
即,,,
由平面向量模的计算公式可得,故选B.
8.【答案】C
【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知,
又,即,所以,
则,图象过点,则,
即,所以,
又,则,故,
令,得,
令,可得其中一个对称中心为,故本题答案选C.
9.【答案】A
【解析】不妨设,在中,由正弦定理得,
解得,
则阴影部分面积为,
而,故所求概率,故选A.
10.【答案】D
【解析】因为,,,,
所以是直角梯形,且,,
以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
因为,,动点和分别在线段和上,
则,,,,
所以,
令且,
由对勾函数性质可知,当时可取得最大值,
则,所以选D.
11.【答案】C
【解析】由已知,为奇函数,
函数对于任意的满足,
得,即,所以在上单调递增;
又因为为偶函数,所以在上单调递减,
所以,即,故选C.
12.【答案】C
【解析】依题意,,故,即,
令,故,
故当时,;当时,;当时,,
作出函数的图象如下所示,可知三个正整数解为,,,
令,则,,
解得,故选C.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.【答案】
【解析】因为抛物线,所以焦点坐标为,准线方程为,
因为点到焦点的距离为,根据抛物线定义,则到准线的距离也为,
所以点到轴的距离为.
14.【答案】
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示,
观察可知,当直线过点时,取最大值,最大值为.
15.【答案】
【解析】设内角,,所对的边分别为,,,
依题意,
而,则,
而
,当且仅当时等号成立,
故面积的最大值为.
16.【答案】
【解析】如图,设四棱锥的侧棱长为,底面正方形的边长为,棱锥的高为.
由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心,则球心在高上.
在中,,,,
∴,整理得,
又在中,有,
∴,∴,
∴.
设,则,
∴当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
∴当时取得最大值,即四棱锥的体积取得最大值,
此时,解得,
∴四棱锥的体积最大时,底面边长等于,故答案为.
三、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【答案】(1),;(2).
【解析】(1)设的公差为,
则由已知得,即,解之得或(舍),
所以;
因为,所以的公比,所以.
(2)由(1)可知,所以,
,
所以,
所以.
18.【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)取的中点,连接,,
因为底面是边长为的正三角形,所以,且,
因为,,,
所以,所以,
又因为,所以,所以,
又因为,所以平面,
又因为平面,所以平面平面.
(2)如图所示,以点为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,
其中,则,,,,
所以,,,
设为平面的法向量,
则,即,令,得;
设为平面的法向量,
则,即,令,得,
所以,
所以二面角的正弦值为.
19.【答案】(1);(2)有的把握认为;(3)分布列见解析,.
【解析】(1)依题意,所求平均数为
.
(2)依题意,完善表中的数据如下所示:
故,
故有的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关.
(3)依题意,,
故,,
,,,
故的分布列为
故.
20.【答案】(1);(2)在轴上存在满足题目条件的点,.
【解析】由题意可得,所以,
由椭圆与圆的公共弦长为,恰为圆的直径,
可得椭圆经过点,所以,解得,
所以椭圆的方程为.
(2)直线的解析式为,
设,,的中点为,
假设存在点,使得为以为底边的等腰三角形,则,
由,得,故,
所以,,
因为,所以,即,所以,
当时,,所以;
当时,,所以.
综上所述,在轴上存在满足题目条件的点,且点的横坐标的取值范围为.
21.【答案】(1)单调递减区间为,单调递增区间为;(2)证明见解析.
【解析】(1)由,得,所以的定义域为,
,
由,得,
所以当时,;当时,,
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)证明:令,则,
所以当时,;当时,,
所以,所以,
所以当时,有成立,
又因为,所以要证,
只需证,即对于任意的恒成立,
令,,则,
因为,所以恒成立,所以在上单调递增,
所以,
所以当时,.
22.【答案】(1),;(2).
【解析】(1)∵,∴直线的极坐标方程是,
由,消参数得,
∴曲线的极坐标方程是.
(2)将分别代入,,
得,,∴,
∵,∴,∴,
∴的取值范围是.
23.【答案】(1);(2).
【解析】(1)当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以.
(2)①当时,,解,得,
因为,,所以此时;
②当时,,解,得,
因为,,所以此时;
③当时,,解,得,
因为,,所以此时,
综上可知,的解集为.