2017-2018学年河南省商丘市第一高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题 （Word版） 9页

‎2017-2018学年河南省商丘市第一中学高二下学期期末考试数学试卷（理数）‎ 命题人： 审题人： ‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 注意事项：‎ １． 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．‎ ２． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干　　‎ 净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则集合的子集个数为（ ）‎ ‎.3 .4 . 7 .8‎ ‎2．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎3．命题“ ， ”的否定为(　　)‎ ‎. . ‎ ‎. ， .，‎ ‎4．已知函数 在单调递减，且为奇函数，若 ，则满足的的取值范围是( ）‎ ‎. . . .‎ ‎5．已知函数，，若，则(　　)‎ ‎. . . .‎ ‎6．已知函数 ，的值域是，则实数的取值范围是(　　)‎ ‎. . . .‎ ‎7．已知函数 是奇函数，则使成立的取值范围是 (　 　)‎ ‎. . . .‎ ‎8．若 ，，则 ( )‎ ‎. . . .‎ ‎9．已知函数为偶函数，记 ， ，，则的大小关系为 (　　 )‎ ‎. . . .‎ ‎10．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎11．已知函数若关于的方程有7个不等实根，则实数的取值范围是( )‎ ‎. . . .‎ ‎12. 已知函数， 与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是(　　)‎ ‎. . . .‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；‎ ‎2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．已知函数，则 .‎ ‎14．函数的定义域为_______________．‎ ‎15．若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ______．‎ ‎16．设是奇函数的导函数，，当时，，则使成立的的取值范围是 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．(本小题满分12分)‎ 在中,角所对的边分别为且. （1）求角的值； （2）若为锐角三角形,且,求的取值范围.‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：‎ 数据 分组 频数 ‎（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；‎ ‎（2）求这件产品尺寸的样本平均数；‎ ‎（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布；其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，利用正态分布，求．‎ ‎19.(本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，，，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20. (本小题满分12分) ‎ 已知三点，，，曲线上任意一点满足．‎ （1） 求的方程；‎ （2） 动点在曲线上，是曲线在处的切线．问：是否存在定点使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎21.(本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求证：函数和在公共定义域内， 恒成立；‎ ‎（3）若存在两个不同的实数，，满足，求证：．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．‎ ‎（1）求的值及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）圆的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系．‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ 已知函数，.‎ ‎（1）若不等式有解，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，函数的最小值为，求实数的值．‎ ‎（2）当时，函数的最小值为3，求实数的值.‎ 高二年级数学答案及评分标准（理数）‎ ‎1--12‎ ‎13、 14、 15、 16、‎ ‎17. 解:(Ⅰ),即, , 为三角形内角,;  -------6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,即,又为锐角三角形, ,解得:, ,, 由正弦定理得:,即,, ,, ,则. ---------12分[]‎ ‎18. 解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率.。。4分 ‎（2）样本平均数 ‎.。。8分 ‎（3）依题意.‎ 而，，则.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.即为所求. --------8分 ‎19. （Ⅰ）取的中点，连接。因为，所以。‎ 由于，，故为等边三角形，所以。‎ 因为，所以平面，又平面，故-------4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知。‎ 又平面平面，交线为，所以平面，故两两互相垂直。‎ 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎[]‎ 由题设知，‎ 则，‎ 设是平面的法向量，则，即。‎ 可取，故，所以与平面所成角的正弦值为---------12分 ‎20. （1）依题意可得，‎ ‎，‎ 由已知得，化简得曲线C的方程：  -----4分 ‎（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线C在点Q处的切线l的方程为:,它与y轴的交点为，由于，因此 ‎①当时， ，存在，使得，即l与直线平行，故当时与题意不符 ‎②当时，，所以l 与直线一定相交，分别联立方程组，‎ 解得的横坐标分别是 则，又，‎ 有，‎ 又于是 对任意，要使与的面积之比是常数，只需t满足，‎ 解得，此时与的面积之比为2，故存在，使与的面积之比是常数2。 --------12分 ‎21. 解:(1)函数的定义域为,, 故当时,,当时,, ‎ 故函数的单调增区间为,单调减区间为;-------4分 (2)证明:函数和的公共定义域为, , 设,则在上单调递增,故; 设,当时有极大值点, ;故; 故函数和在公共定义域内,. ---------8分 (3)证明:不妨设,由题意得, ,;所以; 而要证,只需证明; 即证明;即证明; 即证明,;令,则; 即证明;设;则,故函数在区间上是增函数, 所以,即;所以不等式成立.----------12分 ‎22. （1）由点在直线上，可得，所以直线的方程可化为，从而直线的直角坐标方程为--------5分 ‎（2）根据圆的参数方程可以得到对应的直角坐标方程为，所以圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交---------10分 ‎23. （Ⅰ）由题，即为．‎ 而由绝对值的几何意义知，‎ 由不等式有解，∴，即．‎ 实数的取值范围．--- 5分 ‎（Ⅱ）函数的零点为和，当时知 ‎      ------- 7分 如图可知在单调递减，在单调递增，‎ ‎，得（合题意），即．----10分 ‎ ‎