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  • 2021-06-15 发布

2018-2019学年四川省棠湖中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

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‎2018-2019学年四川省棠湖中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1.集合,,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 化简集合Q,然后求出二者的交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,又 ‎∴‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查集合交集的运算,关键是理解集交集的概念及运算,属于基础题.‎ ‎2.下列各组函数中,表示同一函数的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 利用函数的三要素即可判断出.‎ ‎【详解】‎ A.y=1,x∈R;y=x0,x∈R,且x≠0,定义域不同,不表示同一函数;‎ B.y=x﹣1,x∈R;y=,x≠﹣1,定义域不同,不表示同一函数;‎ C.y=x,=x,定义域与对应法则都相同,表示同一函数;‎ D.y=|x|,x∈R;,x≥0,定义域不同,不表示同一函数.‎ 综上可知:只有C正确.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则,属于中档题. 判断函数是否为同一函数,能综合考查学生对函数定义的理解,是单元测试卷经常出现的题型,要解答这类问题,关键是看两个函数的三要素:定义域、值域、对应法则是否都相同,三者有一个不同,两个函数就不是同一函数.‎ ‎3.设函数=则=‎ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由,故,从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数,‎ ‎∴f(log212)==12÷2=6.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ ‎4.若函数为奇函数,则=‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由函数f(x)为奇函可得,可得f(﹣x)=﹣f(x),代入整理可求a.‎ ‎【详解】‎ 由函数f(x)为奇函可得,f(﹣x)=﹣f(x)‎ ‎∴=,‎ ‎∴﹣5x(4x﹣3)(x+a)=﹣5x(4x+3)(x﹣a)‎ ‎∴(4a﹣3)x2=0‎ ‎∴4a﹣3=0即a=,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数的定义的简单应用,属于基础试题.‎ ‎5.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是 A. (-2,-1) B. (-1,0) C. (0,1) D. (1,2)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 将选项中各区间两端点值代入f(x),满足f(a)•f(b)<0(a,b为区间两端点)的为答案.‎ ‎【详解】‎ 因为f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,所以零点在区间(0,1)上,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题.函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解.‎ ‎6.已知,,,则的大小关系是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用指数函数及对数函数的图象与性质及中间量1,2即可比较大小 ‎【详解】‎ ‎∵a=2log52,b=21.1,c=,‎ ‎∴a=2log52=log54<1,b=21.1>2,c==2<2,1<c<2‎ 根据函数y=2x单调性判断:b>c>a,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.‎ ‎7.设是定义在上的偶函数,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据函数奇偶性的定义和性质进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵是定义在上的偶函数,‎ ‎∴f(﹣x)=f(x)且6+a+2a=0,‎ 即,且 ‎∴,即 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用,根据定义建立方程关系是解决本题的关键.比较基础.‎ ‎8.已知是定义在上的函数,且对任意都有 ,且满足,,则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数y=f(x)的图象关于原点对称即函数y=f(x)为奇函数,求出f(2)的值,结合函数的周期,利用所求周期即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,‎ ‎∴函数y=f(x)的图象关于(0,0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,‎ ‎∴f(0)=0,f(1)=3,‎ ‎∵f(x+2)=f(2﹣x)+4f(2)=﹣f(x﹣2)+4f(2),‎ ‎∴f(x+4)=﹣f(x)+4f(2),‎ f(x+8)=﹣f(x+4)+4f(2)=f(x),‎ ‎∴函数的周期为8,‎ ‎∴f(2019)=f(252×8+3)=f(3),‎ 而f(2)=f(2)+4f(2),故f(2)=0,‎ 故f(3)=f(1)+4f(2)=f(1)=3,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性与周期性,解题的关键是明确函数的周期,属于中档题.‎ ‎9.函数y=的单调增区间为( ).‎ A. (-,) B. (,+) C. (-1,] D. [,4)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令 , ,()‎ 在为增函数,在上是增函数,在上是减函数;根据复合函数单调性判断方法“同增异减”可知,函数y=的单调增区间为选C.‎ ‎【点睛】‎ 有关复合函数的单调性要求根据“同增异减”的法则去判断,但在研究函数的单调性时,务必要注意函数的定义域,特别是含参数的函数单调性问题,注意对参数进行讨论,指、对数问题针对底数a讨论两种情况,分01两种情况,既要保证函数的单调性,又要保证真数大于零.‎ ‎10.若函数=在区间上的最大值比最小值大,则实数 A. B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 直接利用对数函数的单调性,通过最值的差,求出m的值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为函数=在区间[4,5]上是单调函数,m>5,所以logm(m﹣4)﹣logm(m﹣5)=1.‎ 所以,即m2﹣6m+4=0,又m>5,解得m=.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的单调性的应用,对数方程的求法,考查计算能力,正确判断对数的底数,是简化解题关键.‎ ‎11.设常数,实数满足=,若的最大值为,则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 利用对数的运算法则化简已知条件,利用函数的单调性求解函数的最值,通过解方程求解x的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意,,‎ 不妨令logax=t,则有,‎ 因为a>1,所以当时,y取得最大值,即,解得a=4,‎ 从而.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的应用,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.‎ ‎12.函数=是定义域为的偶函数,当时,=若关于的方程=,有且仅有6个不同实数根,则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. .‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作函数f(x)的图象,从而可化条件为方程x2+ax+b=0有两个根,且x1=,0<x2<;从而求a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意,作函数f(x)的图象如下,‎ 由图象可得,0≤f(x)≤f(2)=;‎ ‎∵关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有6个不同实数根,‎ ‎∴方程x2+ax+b=0有两个根,不妨设为x1,x2;‎ 且x1=,0<x2<;‎ 又∵﹣a=x1+x2,‎ ‎∴a∈(﹣,﹣);‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;‎ ‎(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;‎ ‎(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.‎ 二、填空题 ‎13.不论为何值,函数的图象一定经过点P,则点P的坐标为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 函数过的定点,即需要指数的次数等于0即可.‎ ‎【详解】‎ 不论为何值,函数的图象过的定点为:x-2=0,x=2,代入解析式求得y=2,故点P(2,2).‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数型的函数所过的定点,即不受底数的影响,此时使得指数部分为0即可,形如的指数型函数过的定点是:.‎ ‎14.已知幂函数=在上为减函数,则实数_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 利用幂函数的定义列出方程求出m的值,将m的值代入函数解析式检验函数的单调性.‎ ‎【详解】‎ ‎∵y=(m2﹣5m﹣5)x2m+1是幂函数 ‎∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1‎ 当m=6时,y=(m2﹣5m﹣5)x2m+1=x13不满足在(0,+∞)上为减函数 当m=﹣1时,y=(m2﹣5m﹣5)x2m+1=x﹣1满足在(0,+∞)上为减函数 故答案为:m=﹣1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的定义:形如y=xα(其中α为常数)、考查幂函数的单调性与幂指数的正负有关.‎ ‎15.已知函数=的值域为,则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 利用函数的值域是R,通过函数的单调性以及一次函数的性质求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为f(x)的值域是R,当x≥1时,y=2x≥2,‎ 故当x<1时,y=(3﹣2a)x+3a的值域为(﹣∞,A),A≥2,‎ ‎∴,解得:.‎ 即实数a的取值范围是:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性,考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段,第一段是一次函数,第二段是指数函数.对于一次函数,要单调递增就需要斜率大于零,对于指数函数,要单调递增就需要底数大于一.两段分别递增还不行,还需要在两段交接的地方,左边比右边小,这样才能满足在身上单调递增.‎ ‎16.若关于的函数的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数的值为___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 函数 ,g(x)是奇函数,M+N=‎ ‎【详解】‎ 函数=,其中g(x)是奇函数,M+N= ‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性的应用,奇函数在对称区间上的最值互为相反数,且在对称点处取得的函数值互为相反数.也用到了判断函数奇偶性的方法:奇函数奇函数为奇函数,奇函数乘以偶函数是奇函数.‎ 三、解答题 ‎17.(1);‎ ‎(2)已知,用表示.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)按照指数幂的简单化简方法,依次化简指数幂,进而可得答案;(2)利用指数化为对数,通过对数的运算性质化简所求表达式,代入求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)原式==‎ ‎(2)∵==,‎ ‎∴===.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂的运算法则的应用,考查对数的运算法则的应用,基本知识的考查.‎ ‎18.已知函数的值域为A,函数的定义域为B.‎ ‎(1)求集合A、B;‎ ‎(2)若,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1),;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)根据指数函数以及对数函数的性质解出即可;‎ ‎(2)根据集合的包含关系得到关于a的不等式组,解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1),‎ 由题意且,‎ ‎.‎ ‎(2)因为,所以,‎ 所以. 又因为, ‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的包含关系,考查指数函数以及对数函数的性质,是一道基础题.‎ ‎19.二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求a的取值集合.‎ ‎【答案】(1) f(x)=2x2-4x+3.(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)由可知对称轴为,因此可设其解析式为,再由函数值求得即可;(2)二次函数的对称轴把函数分成两个单调区间,因此只要对称轴在开区间里面,则函数在此区间上就不单调.‎ 试题解析:(1)∵为二次函数且,‎ ‎∴对称轴为.‎ 又∵最小值为1,‎ ‎∴可设.‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,‎ 即.‎ ‎(2)由条件知,‎ ‎∴.‎ ‎【考点】二次函数的解析式与单调性.‎ ‎【名师点睛】求二次函数解析式一般用待定系数法,它的形式有三种:(1)一般式: ;(2)两根式: ;(3)顶点式: .‎ ‎20.已知函数=为常数),且.‎ ‎(1)判断函数在定义域上的奇偶性,并证明;‎ ‎(2)对于任意的恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)代入求出a,b值,根据奇偶性定义判断即可;‎ ‎(2)变量分离构造函数g(x),把恒成立问题转化为最值问题解决即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由已知可得==,‎ 解得 所以, 函数为奇函数.‎ 证明如下:的定义域为,‎ ‎==, ∴函数为奇函数,‎ ‎=,‎ ‎==‎ 故对于任意的恒成立等价于 令==‎ 则当时, ‎ 故 ‎ ‎ 即的取值范围为 ‎【点睛】‎ 对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.‎ ‎21.设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求a的值.‎ ‎【答案】a=或3‎ ‎【解析】解:令t=ax(a>0且a≠1),‎ 则原函数化为y=(t+1)2-2(t>0).‎ 当00,所以a=.‎ ‎②当a>1时,x∈[-1,1],‎ t=ax∈,‎ 此时f(t)在上是增函数.‎ 所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,‎ 解得a=3(a=-5舍去).‎ 综上得a=或3.‎ ‎22.已知函数为对数函数,并且它的图象经过点,函数=在区间上的最小值为,其中.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)求函数的最小值的表达式;‎ ‎(3)是否存在实数同时满足以下条件:①;②当的定义域为时,值域为.若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析;(3)m,n不存在 ‎【解析】‎ ‎(1)代入点的坐标,求出a的值,从而求出f(x)的解析式;‎ ‎(2)设t=f(x)=log2x,通过讨论b的范围,求出函数的最小值即可;‎ ‎(3)根据对数函数的性质求出m+n=8,得到矛盾,从而判断结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设且)‎ ‎∵的图象经过点,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴.‎ ‎(2)设==,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即 则===,对称轴为 ‎①当时,在上是增函数,‎ ‎②当时,在上是减函数,在上是增函数,==‎ ‎③当时,在上是减函数,‎ 综上所述,=.‎ ‎(3),.‎ 的定义域为,值域为,且为减函数,‎ ‎,两式相减得,‎ ‎,‎ 得,但这与“”矛盾,‎ 故满足条件的实数不存在.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求对数函数的解析式,考查函数的单调性、二次型复合函数的最值问题,考查分类讨论思想,属于中档题.‎

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