黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学2019届高三上学期第三次（12月）月考数学（文）试题 8页

呼兰一中 2018—2019 学年度上学期第三次月考 高三文科数学试卷 一．选择题（每小题 5 分） 1.一个单位有职工 800 人，期中具有高级职称的 160 人，具有中级职称的 320 人，具有初级 职称的 200 人，其余人员 120 人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽 取容量为 40 的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ） A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16， 10，6 2.双曲线 的渐近线方程是（ ） A．y=±x B． C． D． 3.甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中 位数依次为（ ） A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 4.用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生随机地从 1～160 编号， 按编号顺序平均分成 20 组（1～8,9～16，…，153～160），若第 16 组得到的号码为 126， 则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 5.如果执行如图的程序框图，若输入 n=6，m=4，那么输出的 p 等于（ ） A．720 B．360 C．240 D．120 6.已知 x，y 的取值如下表所示： x 2 3 4 y 6 4 5 如果 y 与 x 呈线性相关，且线性回归方程为 ，则 b=（ ） A． B． C． D． 7.把红、黑、白、蓝 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 个人, 每个人分得 张, 事件“甲分 得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 8.实数 mn＜0 是方程 =1 表示实轴在 x 轴上的双曲线的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 条件 9.设拋物线 C：x2=4y 的焦点为 F，经过点 P（l，5）的直线与抛物线相交于 A、B 两点，且 点 P 恰为 AB 的中点，则丨 AF|+|BF|=（ ） A．12 B．8 C．4 D．10 10.双曲线 tx2﹣y2﹣1=0 的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行，则双曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D． 11.在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 顶点 A（﹣4，0）和 C（4，0），顶点 B 在椭圆 上，则 =（ ） A． B． C． D． 12..已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为（ ） A． B．3 C． D． 二．填空题（每小题 5 分） 13．在区间 0,π 上随机地取一个数 x ,则事件“ 1sin 2x  ”发生的概率为 ． 14.抛物线 y2=2px（p＞0）上一点 M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为 5，双曲线 的左顶点为 A．若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 等于 ． 15.如图，F1 和 F2 分别是双曲线 的两个焦点，A 和 B 是以 O 为 圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，则双曲线 的离心率为 ． 16. 曲线 y=xex﹣1 在点（1，1）处切线的斜率等于 三。解答题（要求有必要的解题步骤） 17．（10 分） （1）求与椭圆 有共同焦点且过点 的双曲线的标准方程； （2）已知抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点 M（﹣3，m）到焦点的距离等于 5， 求抛物线的标准方程和 m 的值． 18. （12 分） 命题 p：直线 y=kx+3 与圆 x2+y2=1 相交于 A，B 两点；命题 q：曲线 ﹣ =1 表示焦点 在 y 轴上的双曲线，若 p∧q 为真命题，求实数 k 的取值范围． 19. （12 分） 某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格．某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95， 100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求抽取的 20 人中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人，求所选学生的参加社区 服务时间在同一时间段内的概率． 20. （12 分） 已知函数 f（x）=x+ +lnx，a∈R． （Ⅰ）若 f（x）在 x=1 处取得极值，求 a 的值； （Ⅱ）若 f（x）在区间（1，2）上单调递增，求 a 的取值范围； 21（12 分） 已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在 x=1 处有极值 10． （1）求 a、b 的值； （2）求 f（x）的单调区间； （3）求 f（x）在[0，4]上的最大值与最小值． 22.已知椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率 ，焦距是 ． （1）求椭圆的方程； （2）若直线 y=kx+2（k≠0）与椭圆交于 C、D 两点， ，求 k 的值． 文科数学答案 一选择题 DCBBB ACBAB DA 二填空题 （13） 3 1 （14） 9 1 （15） （16）2 17.【解答】解：（1）椭圆 的焦点为（2，0），（﹣2，0）， 设双曲线的标准 方程为： =1（a，b＞0），则 a2+b2=4， =1，解得 a2=3，b2=1，∴所求双 曲线的标准方程为 ． （2）设抛物线方程为 y2=﹣2px（p＞0），则焦点 ，准线方程为 ， 根据抛物线的定义，点 M 到焦点的距离等于 5，也就是点 M 到准线的距离为 5，则 ， ∴p=4，因此，抛物线方程为 y2=﹣8x，又点 M（﹣3，m）在抛物线上，于是 m2=24，∴ 18【解答】解：∵命题 p：直线 y=kx+3 与圆 x2+y2=1 相交于 A，B 两点， ∴圆心到直线的距离 ，∴ ∵命题 q：曲线 ﹣ =1 表示焦在 y 轴上的双曲线∴ ，解得 k＜0，∵p∧q 为真命题，∴p，q 均为 真命题， ∴ 解得 k＜﹣2 19【解答】解：（Ⅰ）由题意可知， 参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为 20×0.04×5=4（人）， 参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为 20×0.02×5=2（人）． 所以参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 4+2=6（人）． … （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件 A． 由（Ⅰ）可知， 参加社区服务在时间段[90，95）的学生有 4 人，记为 a，b，c，d； 参加社区服务在时间段[95，100]的学生有 2 人，记为 A，B． 从这 6 人中任意选取 2 人有 ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA， dB，AB 共 15 种情况． 事件 A 包括 ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB 共 7 种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 ．… 20.【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）=x+ +lnx（x＞0）， f′（x）=1﹣ + = ，f（x）在 x=1 处取得极小值，即有 f′（1）=0，解得 a=2， 经检验，a=2 时，f（x）在 x=1 处取得极小值．则有 a=2； （Ⅱ）f′（x）=1﹣ + = ，x＞0，f（x）在区间（1，2）上单调递增，即为 f′（x）≥0 在区间（1，2）上恒成立，即 a≤x2+x 在区间（1，2）上恒成立，由 x2+x∈（2，6）， 则 a≤2； 21.【解答】解：（1）由 f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10， 得 a=4，或 a=﹣3∵a＞0，∴a=4，b=﹣11 （2）f（x）=x3+4x2﹣11x+16，f'（x）=3x2+8x﹣11， 由 f′（x）=0 得 所以令 f′（x）＞0 得 ；令 所以 f（x）在 上单调递增， 上单调递减． （3）由（2）知：f（x）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增， 又因为 f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100， 所以 f（x）的最大值为 100，最小值为 10． 22.【解答】解：（1）由题意知 ， 故 c2=2， 又∵ ， ∴a2=3，b2=1， ∴椭圆方程为 ． （2）设 C（x1，y1），D（x2，y2），将 y=kx+2 代入 ，化简整理可得，（1+3k2） x2+12kx+9=0， 故△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0， 故 k2≥1； 由韦达定理得， ， 故 ，而 y1﹣y2=k（x1﹣x2）， 故 ；而 代入上式， 整理得 7k4﹣12k2﹣27=0， 即（7k2+9）（k2﹣3）=0， 解得 k2=3，故 ．