2021高考数学一轮复习课后限时集训65概率与统计统计案例的综合问题文北师大版2 4页

课后限时集训65‎ 概率与统计、统计案例的综合问题 建议用时：45分钟 ‎1．(2019·泉州模拟)为了普及环保知识，共建美丽宜居城市，某市组织了环保知识竞赛，随机抽取了甲、乙两个单位中各5名职工的成绩(单位：分)如下表：‎ 甲单位 ‎87‎ ‎88‎ ‎91‎ ‎91‎ ‎93‎ 乙单位 ‎85‎ ‎89‎ ‎91‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎(1)根据表中的数据，分别求出甲、乙两个单位这5名职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位的职工对环保知识的掌握更好；‎ ‎(2)用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是4的概率．‎ ‎[解](1)甲＝×(87＋88＋91＋91＋93)＝90，‎ 乙＝×(85＋89＋91＋92＋93)＝90，‎ s＝×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝，‎ s＝×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8，‎ ‎∵＜8，‎ ‎∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工对环保知识的掌握更好．‎ ‎(2)从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)为：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个．‎ 记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是4”为事件A，则其包含的基本事件为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个．‎ 由古典概型的概率计算公式可知，抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是4的概率P(A)＝＝.‎ ‎2．(2019·西安模拟)某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销量y(百台)‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ ‎1.2‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ ‎(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y - 4 -‎ ‎(百件)与月份x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程＝x＋，并预测6月份该商场空调的销售量；‎ ‎(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：‎ 有购买意愿对应的月份 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频数 ‎60‎ ‎80‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎80‎ ‎30‎ 现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．‎ 参考公式与数据：线性回归方程＝x＋，其中＝，xiyi＝21.2.‎ ‎[解](1)∵＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(0.6＋0.8＋1.2＋1.6＋1.8)＝1.2，‎ ‎∴＝＝0.32，‎ 则＝1.2－0.32×3＝0.24，‎ 于是y关于x的回归直线方程为＝0.32x＋0.24.‎ 当x＝6时，＝0.32×6＋0.24＝2.16(百台)．‎ ‎(2)现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，B.‎ 从这6人中随机抽取3人的所有情况为(a，b，c)、(a，b，d)、(a，b，A)、(a，b，B)、(a，c，d)、(a，c，A)、(a，c，B)、(a，d，A)、(a，d，B)、(a，A，B)、(b，c，d)、(b，c，A)、(b，c，B)、(b，d，A)、(b，d，B)、(b，A，B)、(c，d，A)、(c，d，B)、(c，A，B)、(d，A，B)，共20种，‎ 恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有(a，A，B)、(b，A，B)、(c，A，B)、(d，A，B)，共4种，故所求概率为P＝＝.‎ ‎3．(2019·汕头模拟)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：‎ - 4 -‎ ‎(1)根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？‎ ‎(2)分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？‎ ‎(3)估计该厂产量为2 000件产品时的利润以及一等级产品的利润．‎ 附：χ2＝ P(χ2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎[解](1)根据已知数据可建立列联表如下：‎ 一等级 非一等级 合计 A生产线 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ B生产线 ‎35‎ ‎65‎ ‎100‎ 合计 ‎55‎ ‎145‎ ‎200‎ χ2＝ ‎＝ ‎＝≈5.643＜6.635，‎ 所以没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关．‎ ‎(2)A生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：‎ ＝×(10×20＋8×60＋6×20)＝8(元)，‎ 获利方差为s＝×[(10－8)2×20＋(8－8)2×60＋(6－8)2×20]＝1.6.‎ B生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：‎ ＝(10×35＋8×40＋6×25)＝8.2(元)‎ - 4 -‎ 获利方差为s＝×[(10－8.2)2×35＋(8－8.2)2×40＋(6－8.2)2×25]＝2.36，‎ 所以s＜s，则A生产线的获利更稳定．‎ ‎(3)法一：A，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：‎ ×[10×(20＋35)＋8×(60＋40)＋6×(20＋25)]＝8.1(元)，‎ 由样本估计总体，当产量为2 000件产品时，‎ 估计该工厂获利2 000×8.1＝16 200(元)．‎ 又因为A，B生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A线产品有20件，B线产品有35件，由样本频率估计总体概率，有 该工厂生产产品为一等级的概率估计值为＝.‎ 当产量为2 000件产品时，估计该工厂一等级产品获利2 000××10＝5 500(元)．‎ 法二：由(2)可知，由于A，B生产线各随机抽取100件产品，则产品获利的平均数为：＝＝8.1(元)．‎ 由样本估计总体，当产量为2 000件产品时，‎ 估计该工厂获利2 000×8.1＝16 200(元)．‎ 其余解同法一．‎ - 4 -‎