上海市七宝中学2020届高三上学期期中考试数学试题 17页

七宝中学高三期中数学卷 一. 填空题 ‎1.设集合，若，则集合可用列举法表示为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将3代入求出参数，再解出二次方程的根，用列举法表示即可 ‎【详解】，将3代入可得：，，‎ 原方程为：，解得，故集合 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合的关系，列举法表示集合，属于基础题 ‎2.关于的不等式的解集为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进行求解即可 ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，在二次项系数大于0的前提下遵循“大于取两边，小于取中间”原则，属于基础题 ‎3.若是幂函数，则________‎ ‎【答案】-32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的基本形式进行求解即可 ‎【详解】是幂函数，，，则 故答案为：-32‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的基本形式，具体函数值的求法，幂函数基本形式为：，前面的系数必须为1，属于基础题 ‎4.已知，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数先求出，再用正切的二倍角公式求解即可 ‎【详解】，由，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数基本求法，正切角的二倍角公式，属于基础题 ‎5.函数（）的最大值为，最小正周期为，则有序数对为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合二倍角公式和辅助角公式化简，进一步求值即可 ‎【详解】当时，，，故有序数对为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简，辅助角公式的使用，形如：‎ 应强化记忆，属于基础题 ‎6.在等差数列中，若，，则________‎ ‎【答案】39‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由求得公差，再求即可 ‎【详解】数列是等差数列，，，‎ 故答案为：39‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，属于基础题 ‎7.若函数的值域为，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可 ‎【详解】当时，，；‎ 当时，减函数，，要满足，此时应满足 ，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题 ‎8.定义在上的奇函数，当时，，则在上的零点个数为________个.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出时的解，再根据奇函数的性质求出零点个数即可 ‎【详解】当时，令，即，解得 根据奇函数对称性可得，故也是函数的零点，又定义域为，所以，故也是函数的零点，合计5个零点 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的对称性，函数零点个数的求法，属于基础题 ‎9.当集合中的元素个数最少时，实数的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行分类讨论，在考虑集合中元素个数最少的条件下，进一步确定参数所满足的条件即可 ‎【详解】①当时，集合 当时，令，‎ ‎②当时，，故集合 ‎ ‎③当时，，故集合，此时集合的元素个数为有限个，而①②两种情况都有无限个元素，故此种条件下符合，，根据对勾函数性质，当且仅当时，取到最大值，要满足集合元素个数最少，需满足，化简得，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式含参解法，对勾函数性质，属于中档题 ‎10.已知周期为2的偶函数的定义域为，且当时，，则当 时，的解析式为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，需将进行区间转化，，结合偶函数，求出在的表达式，即可求解 ‎【详解】由题可知，当，，令；‎ 当时，，则，又函数为偶函数，‎ 故，将代入可得，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查周期函数解析式的求法，偶函数的性质，解题关键在于将不在符合条件的定义域通过周期代换和奇偶性转化为给定区间或对称区间，再进一步求解 ‎11.已知数列的通项公式和为，，现从前项：中抽出一项（不是也不是），余下各项的算术平均数为40，则抽出的是第________项 ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可先算出，先令，算出，再结合等差数列的性质进一步判断 ‎【详解】由得，（验证当时也符合）‎ 故，令，得，即，根据等差数列的性质，‎ ‎，由题可知，余下各项的算术平均数是40，说明余下每两项的算数平均数只要满足前式性质即可，根据得算数平均数为，则，抽出的是数列的第6项 故答案为：6‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，可简记为：对于等差数列，，属于基础题 ‎12.已知函数满足，则的最大值是______‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将换为，得出，令，可得周期为2， ，再结合基本不等式求解即可 ‎【详解】由题意，①‎ 将换为，得出，②‎ 由②-①得：，‎ 令，则周期为2，所以 令，得 即，‎ 令，则，由 即，化简得，‎ 故的最大值为4，‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查复合函数周期性的推导，基本不等式求最值，推理运算能力，属于中档题 二. 选择题 ‎13.“是1和4的等比中项”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 即非充分也非毕必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件“是1和4的等比中项”化简，得，结合充分必要条件判断即可 ‎【详解】由“是1和4的等比中项”可得，显然在命题“若是1和4的等比中项，则”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件 故选：B ‎【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题 ‎14.若△的三个内角满足，则△（ ）‎ A. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角三角形 C. 一定是直角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角形大边对大角原则和正弦定理，余弦定理判断最大角的余弦值即可 ‎【详解】由，可令 由大边对大角原则确定最大，由余弦定理 可判断为钝角 故选：A ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的应用，三角形形状的判断，属于基础题 ‎15.已知函数为上的单调函数，是它的反函数，点和点 均在函数的图像上，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由给出的已知两点确定单调性，再由与的对应关系进一步求解即可 ‎【详解】由和为上的单调函数，可得为上的单调递减函数，‎ 则在定义域内也单调递减函数；‎ 原函数过点和点，则过 则，解得 故选：A ‎【点睛】本题考查原函数与反函数的性质，原函数若单调，则原函数与反函数单调性相同，原函数定义域（值域）与反函数值域（定义域）相同，属于中档题 ‎16.如图，已知△的周长为，在、上分别取点、，使∥，且与△的内切圆相切，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设，，由和切线长定理可代换出与的关系，最终将代换成关于的二次函数，再求最值即可 ‎【详解】‎ 设，，分别为三个边的切点，则 则周长为 ‎，则 当时，有最大值 故选：‎ ‎【点睛】本题考查三角形中线段最值的求解，相似三角形，二次函数求最值，解题关键是代换出线段与周长关系，属于中档题 三. 解答题 ‎17.已知函数，将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的图像.‎ ‎（1）当时，求的值域；‎ ‎（2）已知锐角△的内角、、的对边分别为、、，若，，，求△的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）现根据平移法则求得，再求值域即可；‎ ‎（2）由求得，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积.‎ ‎【详解】（1），将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，得到；然后向左平移个单位，得到；再向上平移个单位，得到，当，， ，‎ ‎（2）或（由题意三角形为锐角三角形，故舍去），‎ ‎，①‎ ‎，②‎ 又，，代入①②得bc=3,则 ‎【点睛】本题考查三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法则，正弦定理余弦定理结合求面积，属于基础题 ‎18.已知函数（为常数），是函数图像上的点.‎ ‎（1）求实数的值及函数的解析式；‎ ‎（2）将按向量平移，得到函数的图像，若不等式有解，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由原函数与反函数的对应关系知过原函数，代入即可求得值，进一步求得的解析式 ‎（2）先根据向量平移法则求得，原式有解可转化为有解，再由基本不等式求解即可 ‎【详解】（1）由题知，反函数过，则原函数过，，‎ 则，由，即 ‎（2）按向量平移得，‎ 则有解有解，即 ‎（当时等号取到），，要使有解，则 ‎【点睛】本题主要考查原函数与反函数的性质，反函数的求法，含参不等式有解的求法，基本不等式求最值，属于中档题 ‎19.大店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开始第一个月就达到1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比，第4个月成本为8000元，但第11个月起每月成本固定为3万元，现打算用函数（）或（，，）来模拟销量下降期间的月销量.‎ ‎（1）请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份之间的函数关系式；‎ ‎（2）前20个月内，该网店取得的月利润的最高纪录是多少，出现在哪个月？‎ ‎【答案】（1）更合理，；（2）24万，第10个月 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别采用待定系数法，算出和表达式，再检验时是否符合题设即可 ‎（2）列出利润关于的表达式，根据函数性质分别计算两分段函数的利润最大值，即可求解 ‎【详解】（1）假设从第11个月开始，月销量符合的变化趋势，则均在上，即，，对称轴为，当时，不符合题意，故此模型舍去；‎ 假设从第11个月开始，月销量符合的变化趋势，则均在上，即，，当时，，，，‎ 故更合理，此时，；‎ 由题知前10个月符合一次函数模型，设，将代入，解得，则，，故 ‎ ‎（2）设前10个月成本（万元）与月份的关系为，将代入解得，则，前10个月利润可表示为，当时取到最大值，‎ ‎；当时，单调递减，第11个月利润有最大值，‎ ‎；‎ 故月利润最高记录为24万元，出现在第10个月.‎ ‎【点睛】本题考查函数拟合模型的实际应用，分段函数的求法，实际问题中的利润最大值问题，运算能力，属于中档题 ‎20.已知是公差为的等差数列，它的前项和为，等比数列的前项和为，，，.‎ ‎（1）求公差的值；‎ ‎（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；‎ ‎（3）若，判别是否有解，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）无解，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由化简即可求得；‎ ‎（2）由（1），可知，，再解范围即可；‎ ‎（3）由，可求得，进而求得，同时可求得，设，可证单调递增，通过对赋值可判断不存在值，使有解 ‎【详解】（1），化简得 ‎（2），，，即 ‎（3）等比数列满足，，即，解得，，，则 ‎，假设，即 ‎， ，，‎ 则为单调递增函数，，‎ ‎，即，∴不存在正整数，‎ 使有解 ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列基本量的求解，前项和公式，函数的单调性，逻辑推理能力，属于中档题 ‎21.已知为正整数且，将等式记为式.‎ ‎（1）求函数，的值域；‎ ‎（2）试判断当时（或2时），是否存在，（或，，）使式成立，若存在，写出对应，（或，，），若不存在，说明理由；‎ ‎（3）求所有能使式成立的（）所组成的有序实数对.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）和.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先判断的单调性，再根据定义域进一步求值域；‎ ‎（2）由题干和（1）知，时，，结合式判断可确定不存在；‎ ‎（3）可通过试值法，先确定，再通过试值法进一步确定，最终锁定，‎ 则，分别讨论和进一步确定即可 ‎【详解】（1）设，，，‎ 故在上单增，，当时，，则 ‎（2）由（1）知，设 为单调递增函数，则时，，当时，，所以式不成立；‎ 当时，，，式也不成立，故当时（或2时），不存在，（或，，）使式成立 ‎（3）由得，，即，又由（2）可知，式不成立，故要使式成立，只能取，当时，即，‎ 由题为正整数且，‎ 若，否则原式右边至多为，式不成立 则，同理，否则原式右边至多为，‎ 因此可得，化简得，‎ 所以，当时；当时，‎ 综上所述，的所有可能解为：或 ‎【点睛】本题考查函数单调性的证明，放缩法的应用，试值法求解具体数值，对于逻辑推理能力有较高要求，属于难题 ‎ ‎ ‎ ‎