2018-2019学年陕西省汉中中学高一上学期期中考试数学试题（解析版） 15页

2018-2019 学年陕西省汉中中学高一上学期期中考试数学试题（解析版） 注意事项： 1．答题前，考生在答题纸上务必用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清 楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和 目； 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求） 1.设集合 ，则 ＝（ ） A. [2,3 B. （-3,3 C. [1,2 D. [1,2） 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用并集的定义求解即可. 【详解】因为集合 ， 所以由并集的定义可得 ,故选 B. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的 关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合. 2.集合 的真子集个数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合 ，可得集合 由三个元素组成，从而可得真子集个数. 【详解】化简集合 ， 可得 真子集的个数为 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法以及集合子集的个数，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简 单题. 3.函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得 ，解得 ，即 ． 考点：1.函数的定义域；2.根式、对数式的定义. 4.下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别利用指数函数、对数函数、二次函数以及幂函数的单调性判断四个选项中的函数是否符合题意即可. 【详解】根据指数函数的单调性可得 在区间 上单调递减， 不符合题意； 根据对数函数的单调性可得 在区间 上单调递减， 不符合题意； 根据二次函数的单调性可得 在区间 上单调递减， 不符合题意； 根据幂函数的单调性可得 在在区间 上单调递增， 符合题意，故选 D. 【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数、二次函数以及幂函数的单调性，意在考查综合应用所知识解 答问题的能力，属于中档题. 5.设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别利用对数函数与指数函数的性质判断出 的取值范围，从而可得结果. 【详解】由对数函数的单调性可得 , 即 ,由指数函数的性质可得 0< , 所以 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问 题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函 数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 6.设 {-1， , 1, 2, 3}，则使幂函数 为奇函数且在 上单调递增的值的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 直接根据幂函数的奇偶性与单调性逐一判断即可. 【详解】根据幂函数的性质可得，满足幂函数 为奇函数的数有 ， 其中， 时，幂函数 在 上单调递减，不合题意； 所以使幂函数 为奇函数且在 上单调递增的值的个数为 2，故选 A. 【点睛】本题主要考查幂函数的奇偶性与单调性，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题. 7.若偶函数 在 上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵ 是偶函数， ∴ ， ∵ 在 单调递减， ， ∴ ， ∴ ， 故选 ． 8.函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：可以求得 ，所以函数的零点在区间 内．故选 C． 考点：零点存在性定理． 9.已知函数 在闭区间 上有最大值 3，最小值 2，则 的取值范围是（ ） A. [1，2 B. [1，+∞） C. [0，2 D. （﹣∞，2 【答案】A 【解析】 【分析】 二次函数 的图象开口向上，对称轴为 ，由 时 取得最小值为 2，可得 ，由 可得 ，从而可得结果. 【详解】二次函数 的图象开口向上，对称轴为 ， 则函数 在 上单调递减,在 上单调递増， 时， 取得最小值为 ， ，即 ， ，由对称性可知 , ，综上可得 ，故选 A. 【点睛】本题主要考查二次函数在闭区间上的最值，属于中档题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类 型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当 含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 10.已知函数 ，则下列关于函数 的说法正确的是（　） A. 为奇函数且在 R 上为增函数 B. 为偶函数且在 R 上为增函数 C. 为奇函数且在 R 上为减函数 D. 为偶函数且在 R 上为减函数 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数的运算法则可得 ，从而可得函数 为奇函数，利用指数函数的单调性，结合复合函数 的单调性可得函数 在 上为增函数,从而可得结果. 【详解】函数 其定义域为 ， ， 为奇函数， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增， 函数 在 上单调递增， 综述可知， 为奇函数且在在 上为增函数，故选 A. 【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断 与 是否具有等量关系． 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (奇函数)或 (偶函 数)是否成立． 11.已知 若 在 上单调递减，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 在 上单调递减，可得一次函数递减、指数函数递减，且分界点处两函数的单调性与整体保持一致， 从而可得关于的不等式组，进而可得结果. 【详解】因为函数 单调递减, 所以根据指数函数与一次函数的单调性知, ，解得 ， 所以，实数的取值范围是 ，故选 D. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难 点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各 段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致. 12.对实数和 ，定义运算“ ”： 设函数 ， ，若函数 的图像与 轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得 ，函数 的图象如图所示，函数 的图象与 轴恰有 两个公共点，即函数 与 的图象有两个交点，由图象可得 或 ，故选 B. .. . . . . . . . .. 考点：函数的图象的应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数图象的应用，其中解答中涉及到分段函数的解析式、分段的函数的图象、 函数的新定义等知识点的综合考查，着重考查了生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用， 本题的解答中把函数 的图象与 轴恰有两个公共点，转化为函数 与 的图象有两个交点是 解答的关键，试题有一定的难度，数中的中档试题. 视频 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. _________. 【答案】-4 【解析】 【分析】 直接利用指数幂与对数的运算法则求解即可. 【详解】化简 【点睛】本题主要考查指数幂的运算以及对数的运算法则，意在考查综合应用所知识解答问题的能力，属 于中档题. 14.已知函数 且 ，则实数 ___________． 【答案】-1. 【解析】 试题分析：由题：函数 ，则： ， ， 得： 考点：分段函数的运用及指数幂运算. 15.函数 的零点个数为________个． 【答案】2 【解析】 【分析】 函数 的零点个数，就是函数 的图象与函数 的图象交点个数，画出函数图象，利 用数形结合即可得结果. 【详解】 函数 的零点个数， 就是函数 的图象与函数 的图象交点个数， 画出函数 的图象与函数 的图象，如图， 由图可知，两函数图象有两个交点， 所以函数 的零点个数为 2，故选 A. 【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段习的十几种初等函 数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数 的 零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点. 16.已知函数 的定义域是 ，满足 ，且对于定义域内任意 ， 都有 成立，那么 __________． 【答案】2. 【解析】 【分析】 运用赋值法求出结果 【详解】当 时， ， 得 ． 时， ． 得 ． 故 ． 【点睛】本题考查了求抽象函数的值，运用赋值法即可求出结果，在运用赋值法的时候代入满足题意的数 值，关键是合理运用条件中的 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 17.已知 是二次函数，该函数图像开口向上，与 轴交点为：（0,0），（4,0)，且 在 上的最小值为-8. （1）求 的解析式； （2）若 在区间 上单调，求实数的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 。 【解析】 【分析】 （1）根据函数图象与 轴交点，可设解析式为 ，再利用函数的最小值列方程求解即可；（2） 由 在区间 上单调，可得二次函数的对称轴不在区间内，即 或 ，从而可得结果. 【详解】（1）因为 是二次函数，函数图像开口向上，与 轴交点为：（0,0），（4,0)， 所以可设 , 所以 在 最小值是 ， 所以 . 所以 . （2）要使函数在 单调， 由 得：函数图象的对称轴为： , 当函数在 单调递减时，应满足 ，解得： ； 当函数在 单调递增时，应满足 ； 综上，的取值范围为 . 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与单调性，以及分类讨论思想的应用，属于中档题. 二次函数在 闭区间上的单调性主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键 是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 18.已知集合 ， . （1）分别求 ； （2）已知集合 ，若 ，求实数的取值范围. 【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）先根据指数函数与对数函数的性质，求得 ， ，即可求解 ；（2）分当 和 两种情况，分别运算 ，即可求解实数的取值范围． 试题解析：（1）由已知得 ， ①当 时， ，此时 ； ②当 时，由 得 ； 综上，a 的取值范围为 . 考点：指数函数与对数函数的性质；集合的运算． 19.已知函数 . （1）求函数 的定义域和值域； （2）写出函数 的单调区间.(不需证明）。 【答案】（1）定义域为（-1,3），值域为： ,1 ；（2）单调增区间是（-1,1 ，单调减区间是[1,3）。 【解析】 【分析】 （1）由真数大于零列不等式，利用一元二次不等式的解法求解不等式，即可求得函数的定义域，在定义域 内求出二次函数的值域，利用对数函数的性质可得函数的值域；（2）因为 是增函数，只需在函数 定义域内求出二次函数的单调区间即可. 【详解】（1）要使函数有意义，则应满足： >0, 即： <0, 解得： 即函数定义域为：（-1,3）； 又令 ， 又 是增函数. 解得值域为： ,1 ； (2) ，则在（-1,1 上单调递增，在[1,3）上单调递减， 又 是增函数. 则 的单调增区间是（-1,1 ，单调减区间是[1,3）. 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、值域、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判 断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要 同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）. 20.已知 是奇函数． （1）求实数 的值； （2）判断函数 在 上的单调性，并加以证明． 【答案】（1） ；（2）函数 在 上单调递增，证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）利用奇函数的定义，由 ，列出方程求解实数 的值；（2）利用单调性的定义， 采用定义法判定函数 在 上的单调性． 试题解析：（1） 是奇函数， 即 ， ，从而 ； （2） 在 上是单调增函数. 证明： ，任取 ，则 ， ， ， ， 在 上是单调增函数． 考点：函数的奇偶性；单调性的定义． 21.某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元。该厂为鼓励销售商订购，决定当 一次订购量超过 100 个时，每多订购 1 个，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元，根据市场调查， 销售商一次订购量不会超过 600 个． （1）设销售商一次订购 个零件，零件的实际出厂单价为 元，写出函数 的表达式； （2）当销售商一次订购多少个零件时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） ；（2）销售商一次订购 550 件时，该厂获得的利润最大， 最大利润为 6050 元． 【解析】 【分析】 （1）根据题意，分 与 两种情况讨论，可得到分段函数 的表达式；（2）利用 （1），由销售收入减去成本，则可得利用利润 关于 的分段函数的解析式，分别求出两段函数的最大值， 比较两段函数最大值的大小即可得结果. 【详解】（1）当 且 时， ； 当 且 时， ∴ （2）设该厂获得的利润为 元，则 当 且 时， ∴ 当 且 时， 是单调递增函数， ∴当 时， 最大， ； 当 且 时， ， ∴当 时， 最大， ； 显然， ， ∴ 当销售商一次订购 550 件时，该厂获得的利润最大，最大利润为 6050 元． 【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于中档题.与实际应用相结合的题型也 是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读 题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段 函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小 者). 22.设函数 是定义域为 R 的奇函数． （1）求 值； （2）若 ，试判断函数单调性并求使不等式 恒成立的的取值范围； （3）若 ，且 在 上的最小值为 ，求 的值. 【答案】（1）2；（2） ；（3）2 【解析】 试题分析：（1）根据奇函数的性质可得 f（0）=0，由此求得 值；（2）由 （a＞0 且 a≠1），f （1）＜0，求得 1＞a＞0，f（x）在 R 上单调递减，不等式化为 ，即 恒成立， 由△＜0 求得 t 的取值范围；（3）由 求得 a 的值，可得 g（x）的解析式，令 ，可知 为增函数，t≥f（1），令 ，分类讨论求出 h（t）的最小值，再由最小值等于 2，求得 m 的值 试题解析：（1）∵f（x）是定义域为 R 的奇函数，∴f（0）＝0，∴1－（ －1）＝0， ∴ ＝2， （2） 单调递减， 单调递增，故 f（x）在 R 上单调递减。 不等式化为 ， 解得 （3） ， 由（1）可知 为增函数, 令 h（t）＝t2－2mt＋2＝（t－m）2＋2－m2（t≥ ） 若 m≥ ，当 t＝m 时，h（t）min＝2－m2＝－2，∴m＝2 若 m< ，当 t＝ 时，h（t）min＝ －3m＝－2，解得 m＝ > ，舍去 综上可知 m＝2． 考点：1．指数函数综合题；2．函数奇偶性的性质