数学理卷·2017届江西省赣州市高三上学期期末考试（2017 11页

赣州市2016～2017学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，.若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数（其中，为虚数单位）是纯虚数，则的模为（ ）‎ A． B． C．5 D．‎ ‎3.已知变量成负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知为内一点，且，，若三点共线，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C. D．‎ ‎6.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）‎ A． 48里 B．24里 C.12里 D．6里 ‎7.函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.如图，有一建筑物，为了测量它的高度，在地面上选一长度为的基线，若在点处测得点的仰角为，在点处的仰角为，且，则建筑物的高度为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.阅读如下程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为减函数，则正实数的最大值为（ ）‎ A． B．1 C. D．3‎ ‎11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），过点作准线的垂线，垂足为，若，则的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数是函数的导函数，，且，则的解集为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在的展开式中，含项的系数为 ．‎ ‎14.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．‎ ‎15.已知非零常数是函数的一个零点，则的值为 ．‎ ‎16.已知数列的前项和，若，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，，.‎ ‎（1）证明：是正三角形；‎ ‎（2）如图，点的边的延长线上，且，，求的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为五个等级进行数据统计如下：‎ 根据以上抽样调查数据，视频率为概率.‎ ‎（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为的人数；‎ ‎（2）若等级分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？‎ ‎（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为的人数的分布列与数学期望.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图甲所示，是梯形的高，，，，现将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得，点是线段上一动点.‎ ‎（1）证明：和不可能垂直；‎ ‎（2）当时，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知圆，经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，直线交椭圆于两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当的面积取到最大值时，求直线的方程.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，若有极大值点，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（是参数，）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）分别写出直线与曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线，直线与曲线的交点为，直线与的交点为，求.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设实数满足.‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若，且，求的最大值.‎ 赣州市2016～2017学年度第一学期 高三理科数学参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C B B C A D D B A B ‎12.提示：观察，由已知可设函数.‎ 二、填空题：‎ ‎13.； 14.； 15.； 16..‎ ‎16.提示：由条件得，‎ ‎.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由 得…………………………………………………………3分 所以，所以………………………………………………4分 即是正三角形…………………………………………………………………………5分 ‎（2）因为是等边三角形，，‎ 所以，…………………………………………………………7分 所以在中，由余弦定理可得：，‎ 可得，解得………………………………9分 在中，，由正弦定理可得…………………………………………………12分 ‎18.解：（1）由于这人中，有名学生成绩等级为，‎ 所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为……………………………2分 则该校高二年级学生获得成绩为的人数约有…………………………3分 ‎（2）由于这名学生成绩的平均分为:‎ ‎……………………………………4分 且，因此该校高二年级此阶段教学未达标…………………………………………6分 ‎（3）成绩为、的同学分别有人，人，‎ 所以按分层抽样抽取人中成绩为的有人，成绩为的有人………………………7分 则由题意可得：，，‎ ‎，……………………………………10分 所以…………………………………………12分 ‎19.解：如图甲所示，因为是梯形的高，，‎ 所以…………………………………………………………………………………1分 因为，，可得，……………………………………2分 如图乙所示，，，，‎ 所以有，所以………………………………………………3分 而，，所以平面……………………………………4分 又，所以、、两两垂直．‎ 故以为原点，建立空间直角坐标系（如图）， ‎ 则，，………………………5分 ‎（1）设其中，所以 ，，‎ 假设和垂直，则，有，解得，‎ 这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直…………………………6分 ‎（2）因为，所以 …………………………………………………7分 设平面的一个法向量是，‎ 因为，，所以，，‎ 即………………………………………………………………………9分 取………………………………………………………………………………10分 而，所以 所以与平面所成角的正弦值为……………………………………………12分 ‎20．（1）‎ 如图，圆经过椭圆的左、右焦点，，‎ 所以，解得……………………………………………………1分 因为，，三点共线，所以为圆的直径， ‎ 所以…………………………………………2分 因为，‎ 所以． ‎ 所以…………………………………………………4分 由，得． ‎ 所以椭圆的方程为…………………………………………………………5分 ‎（2）由（1）得，点的坐标为，因为 所以直线的斜率为，设直线的方程为……………………………6分 联立，得………………………………………7分 设，由，得．‎ 因为 ‎ 所以………………………………………………9分 ‎ 又点到直线的距离为，‎ ‎…………………………………………10分 当且仅当，即时，等号成立……………………………………11分 所以直线的方程为或…………………………………12分 ‎21．（1）因为………………………………………………………1分 因为函数存在与直线平行的切线，‎ 所以在上有解……………………………………………………………2分 即在上有解，也即在上有解，‎ 所以，得 故所求实数的取值范围是………………………………………………………4分 ‎（2）因为 因为……………………………………………………5分 ‎①当时，单调递增无极值点，不符合题意………………………………6分 ‎②当或时，令，设的两根为和，‎ 因为为函数的极大值点，所以，‎ 又，所以，‎ 所以，则………………………………………8分 要证明，只需要证明 因为，，‎ 令，……………………………………………9分 所以，记，，‎ 则 当时，，当时，，‎ 所以，所以……………………………11分 所以在上单调递减，所以，原题得证……………………12分 ‎22．（1）直线的极坐标方程为…………………………………………………2分 曲线的普通方程为，又，‎ 所以曲线的极坐标方程为…………………………5分 ‎（2）设，则有，解得………………7分 设，则有，解得…………………9分 所以……………………………………………………………………10分 ‎23.(1) 由得，即，‎ 所以，‎ 解得，所以的取值范围……………………………………………5分 ‎(2) 因为, 所 ‎ 当且仅当时，等号成立．故的最大值为…………………………………10分 ‎（注：也要可用导数求解）‎