2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第六章素养提升3　高考中数列解答题的提分策略 4页

素养提升 3 高考中数列解答题的提分策略 素养解读 在全国卷解答题中数列与三角函数基本上是交替考查的,难度不大,题目多为常规 试题,有时也会涉及一些新情境题目或与数学文化相交汇的题目.主要的命题点有:等差、等比 数列的基本运算,数列的通项公式与前n项和公式的应用等.涉及的数学思想主要有:函数与方 程思想、分类讨论思想以及转化与化归思想等.试题题型规范、方法可循,主要考查考生的数 学运算、逻辑推理等素养. 1[2019 全国卷Ⅱ,18,12 分][文]已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,求数列{bn}的前 n 项和. 本题可拆解成以下几个小问题: (1)①求数列{an}的公比;②求数列{an}的通项公式.(2)①求{bn}的通项公式;②求数列{bn}的前 n 项和. (1)因为数列{an}是各项均为正数的等比数列, a3=2a2+16,a1=2, 令数列{an}的公比为 q,则 a3=a1q2=2q2,a2=a1q=2q,...................................................................... ① 所以 2q2=4q+16, 解得 q= - 2(舍去)或 q=4,.................................................................................................................② 所以数列{an}是首项为 2,公比为 4 的等比数列,.........................................................................③ an=2×4n - 1=22n - 1................................................................................................................................④ (2)因为 bn=log2an,所以 bn=2n - 1,................................................................................................... ⑤ bn+1=2n+1,bn+1 - bn=2,.......................................................................................................................⑥ 所以数列{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列..........................................................................⑦ 设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,因为 b1=1, 所以 Sn= 1+2 - 1 2 ·n=n2.........................................................................................................................⑧ 感悟升华 阅卷 现场 得分点 第(1) 问采点 得 分 说 明 ①利用通项公式表示出 a2,a3 得 2 分; ②求出公比 q 得 2 分; ③判断数列{an}为等比数列得 1 分; ④求出{an}的通项公式得 1 分. 6 分 第(2) 问采点 得 分 说 明 ⑤由对数运算求出 bn 得 2 分; ⑥求出公差得 1 分; ⑦判断数列{bn}是等差数列得 1 分; ⑧求出{bn}的前 n 项和得 2 分. 6 分 满分 策略 1.解答数列类大题的关键 熟练把握等差数列与等比数列的定义、通项公式、求和公式 及相应的性质是解决数列问题的关键. 2.化归与转化思想的运用 当给定的数列不是等差数列或等比数列时,应利用化归与转 化思想将给定的数列转化为等差数列或等比数列求解. 3.数列求和的解题技巧 重点要掌握等差数列、等比数列的求和公式以及常用的“错 位相减”“裂项相消”等方法,解决问题的关键在于数列的通项 公式,要根据通项公式的特征准确选择相应的方法. 2[2017 全国卷Ⅲ,17,12 分][文]设数列{an}满足 a1+3a2+…+(2n - 1)an=2n. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ 2+1 }的前 n 项和. (1)a1+3a2+…+(2n - 1)an=2n 数列{(2n - 1)an}的前 n 项和→利用通项与前 n 项和的关系求解 (1)因为 a1+3a2+…+(2n - 1)an=2n ①, 故当 n≥2 时,a1+3a2+…+(2n - 3)an - 1=2(n - 1) ②......................................................1 分(得分点 1) ① - ②得(2n - 1)an=2,所以 an = 2 2 - 1 ...................................................................... 4 分(得分点 2) 又当 n=1 时,a1=2 满足上式,........................................................................................5 分(得分点 3) 所以{an}的通项公式为 an = 2 2 - 1 .............................................................................6 分(得分点 4) (2)记数列{ 2+1 }的前 n 项和为 Sn, 由(1)知 2+1 = 2 (2 - 1)(2+1) = 1 2 - 1 − 1 2+1 ,........................................................... 8 分(得分点 5) 则 Sn=(1 - 1 3 )+( 1 3 − 1 5 )+…+( 1 2 - 1 − 1 2+1 )......................................................................10 分(得分点 6) =1 - 1 2+1 = 2 2+1 ............................................................................................................................12 分(得分点 7) 感悟升华 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 裂项相消法求和. 逻辑推理 观察已知式子的特点,利用前 n 项和与通项的 关系求解通项;根据 n 2n+1 = 2 (2n - 1)(2n+1) 的特点裂 项求和. 得分 要点 (1)得步骤分:抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”.第(1)问中, 由 an 满足的关系式,通过消项求得 an,并验证当 n=1 时成立, 从而写出结果.第(2)问中观察数列通项公式的结构特征,利 用裂项相消法求得数列的前 n 项和 Sn. (2)得关键分:①an - 1 满足的关系式;②验证 n=1;③对通项裂 项.这些都是必不可少的过程,有则给分,无则没分. (3)得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如 得分点 2,5,7. 答题 模板 求数列通项与前 n 项和的步骤 第一步:由等差(等比)数列的定义求通项,或者由递推公式求 通项. 第二步:根据前 n 项和的表达式或通项的特征,选择适当的方 法求和. 第三步:明确、规范地表述结论. 3 [2018 浙江,20,15 分]已知等比数列{an}的公比 q>1,且 3+4+5 ② =28, 4+2 是 3,5 的等差中项 ① .数 列{bn}满足 b1=1,数列 {(+1 - )} 的前 项和为 22+ ③ . (1)求 q 的值; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)由①可知,a3+a5=2(a4+2),代入②可求出 a4 及 a3+a5,进而可求出公比 q;(2)由③及 “an=Sn - Sn - 1”可求出数列{(bn+1 - bn)an}的通项公式,由(1)可先求出 an,然后可求出{bn+1 - bn}的通 项公式,再用叠加法及错位相减法即可求出{bn}的通项公式. (1)由 a4+2 是 a3,a5 的等差中项,得 a3+a5=2a4+4,所以 a3+a4+a5=3a4+4=28,解得 a4=8..(3 分) 由 a3+a5=20,得 8( 1 +q)=20, 解得 q=2 或 q= 1 2 ...........................................................................................................................(5 分) 因为 q>1,所以 q=2...................................................................................................................... (6 分) (2)设 cn=(bn+1 - bn)an,数列{cn}的前 n 项和为 Sn. 由 cn= 1, = 1, - - 1, ≥ 2, 解得 cn=4n - 1......................................................................................... (8 分) 由(1)可知 an=2n - 1, 所以 bn+1 - bn=(4n - 1)·( 1 2 )n - 1,........................................................................................................(9 分) 故 bn - bn - 1=(4n - 5)·( 1 2 )n - 2,n≥2, bn - b1=(bn - bn - 1)+(bn - 1 - bn - 2)+…+(b3 - b2)+(b2 - b1) =(4n - 5)·( 1 2 )n - 2+(4n - 9)·( 1 2 )n - 3+…+7· 1 2 +3......................................................................................(11 分) 设 Tn=3+7· 1 2 +11·( 1 2 )2+…+(4n - 5)·( 1 2 )n - 2,n≥2, 则 1 2 Tn=3· 1 2 +7·( 1 2 )2+…+(4n - 9)·( 1 2 )n - 2+(4n - 5)·( 1 2 )n - 1,......................................................................(13 分) 所以 1 2 Tn=3+4· 1 2 +4·( 1 2 )2+…+4·( 1 2 )n - 2 - (4n - 5)·( 1 2 )n - 1, 因此 Tn=14 - (4n+3)·( 1 2 )n - 2,n≥2,..................................................................................................(14 分) 又 b1=1,所以 bn=15 - (4n+3)·( 1 2 )n - 2............................................................................................ (15 分) 感悟升华 命题 探源 本题主要考查等差中项,等比数列的通项公式,数列的通项 与前 n 项和的关系等,同时考查了方程、转化与化归等思想 方法,以及数学运算、逻辑推理等核心素养. 失分 探源 (1)高考复习中将“边缘化”知识遗忘.如将“等差中项”这一概 念遗忘,以致无法找到解题的切入点. (2)没有运用方程思想解决问题.如没有将 a3+a5=2a4+4 代入 ②中求出 a4 及 a3+a5 等. (3)没有掌握好公式“an=Sn - Sn - 1”及其蕴含的思想方法,以致 无法求出{(bn+1 - bn)an}的通项公式. (4)求出 bn+1 - bn=(4n - 1)( 1 2 )n - 1 后,不能运用叠加法求出 bn. (5)没有掌握好错位相减法,以致求出 bn - b1 的表达式后无法 化简. (6)计算错误.如在用错位相减法求bn - b1的过程中出现错误. (7)在最后一步直接把 Tn 当作 bn,导致错误.