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- 2021-06-15 发布
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第4讲 平面向量应用举例
A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中x∈(0,π).若|a·b|=|a||b|,则tan x的值等于 ( ).
A.1 B.-1 C. D.
解析 由|a·b|=|a||b|知,a∥b.
所以sin 2x=2sin2x,即2sin xcos x=2sin2x,而x∈(0,π),
所以sin x=cos x,即x=,故tan x=1.
答案 A
2.(2013·九江模拟)若|a|=2sin 15°,|b|=4cos 15°,a与b的夹角为30°,则a·b的值是 ( ).
A. B. C.2 D.
解析 a·b=|a||b|cos 30°=8sin 15°cos 15°×=4×sin 30°×=.
答案 B
3.(2012·哈尔滨模拟)函数y=tanx-的部分图象如图所示,则(+)·= ( ).
A.4 B.6
C.1 D.2
解析 由条件可得B(3,1),A(2,0),
∴(+)·=(+)·(-)=2-2=10-4=6.
答案 B
4.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点,则·= ( ).
A. B. C. D.
解析 法一 依题意,不妨设=E,=2,
则有-=(-),即=+;
-=2(-),即=+.
所以·=·
=(2+)·(+2)
=(22+22+5·)
=(2×22+2×12+5×2×1×cos 60°)=,选A.
法二 由∠BAC=60°,AB=2,AC=1可得∠ACB=90°,
如图建立直角坐标系,则A(0,1),E,F,
∴·=·=·+(-1)·(-1)=+1=,选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2013·温州适应性测试)在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,则·=________.
解析 ·=·(+)=(+)·(-)=2-·-2=1-×1×2cos 60°-×4=-.
答案 -
6.(2013·东北三校一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b-c)cos A=acos C,S△ABC=,则·=________.
解析 依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin Acos C,
即3sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0,
于是有cos A=,sin A==,
又S△ABC=·bcsin A=bc×=,所以
bc=3,·=bccos(π-A)=-bccos A=-3×=-1.
答案 -1
三、解答题(共25分)
7.(12分)(2012·北京海淀模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若·=·=k(k∈R).
(1)判断△ABC的形状;
(2)若c=,求k的值.
解 (1)∵·=cbcos A,·=cacos B,
又·=·,∴bccos A=accos B,
∴sin Bcos A=sin Acos B,
即sin Acos B-sin Bcos A=0,∴sin(A-B)=0,
∵-π<A-B<π,∴A=B,即△ABC为等腰三角形.
(2)由(1)知,·=bccos A=bc·==k,
∵c=,∴k=1.
8.(13分)已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.
(1)若||=||,求角α的值;
(2)若·=-1,求的值.
解 (1)∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),
∴2=(cos α-3)2+sin2α=10-6cos α,
2=cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α,
由||=||,可得2=2,
即10-6cos α=10-6sin α,得sin α=cos α.
又α∈,∴α=.
(2)由·=-1,
得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,
∴sin α+cos α=.①
又==2sin αcos α.
由①式两边分别平方,得1+2sin αcos α=,
∴2sin αcos α=-.
∴=-.
B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若4a+2b+3c=0,则cos B= ( ).
A.- B.
C. D.-
解析 由4a+2b+3c=0,得
4a+3c=-2b=-2b(-)=2b+2b,
所以4a=3c=2b.
由余弦定理得cos B===-.
答案 A
2.(2013·郑州三模)△ABC的外接圆圆心为O,半径为2,++=0,且||=||,则在方向上的投影为 ( ).
A.1 B.2 C. D.3
解析 如图,由题意可设D为BC的中点,由++=0,得+2=0,即=2,∴A,O,D共线且||=2||,又O为△ABC的外心,
∴AO为BC的中垂线,
∴||=||=||=2,||=1,
∴||=,∴在方向上的投影为.
答案 C
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为________.
解析 若a⊥b,则4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.
9x+3y=32x+3y≥2×=2×=6.
当且仅当x=,y=1时取得最小值.
答案 6
4.(2013·山西大学附中月考)已知|a|=2|b|≠0,且关于x的函数f(x)=x3+|a|x2+a·bx在R上有极值,则a与b的夹角范围为________.
解析 由题意得:f′(x)=x2+|a|x+a·b必有可变号零点,即Δ=|a|2-4a·b>0,即4|b|2-8|b|2cos〈a,b〉>0,即-1≤cos〈a,b〉<.所以a与b的夹角范围为.
答案
三、解答题(共25分)
5.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),n=且m∥n.
(1)求锐角B的大小;
(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.
解 (1)∵m∥n,∴2sin B=-cos 2B,
∴sin 2B=-cos 2B,即tan 2B=-.
又B为锐角,∴2B∈(0,π),∴2B=,∴B=.
(2)∵B=,b=2,由余弦定理cos B=,
得a2+c2-ac-4=0.又a2+c2≥2ac,代入上式,
得ac≤4(当且仅当a=c=2时等号成立).
S△ABC=acsin B=ac≤(当且仅当a=c=2时等号成立),即S△ABC的最大值为.
6.(13分)(2012·南通模拟)已知向量m=,
n=.
(1)若m·n=1,求cos的值;
(2)记f(x)=m·n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求函数f(A)的取值范围.
解 (1)m·n=sin ·cos +cos2
=sin +=sin+,
∵m·n=1,∴sin=.
cos=1-2sin2=,
cos=-cos=-.
(2)∵(2a-c)cos B=bcos C,
由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C.
∴2sin Acos B=sin(B+C).
∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0.
∴cos B=,∵0<B<π,∴B=,∴0<A<.
∴<+<,sin∈.
又∵f(x)=sin+,∴f(A)=sin+.
故函数f(A)的取值范围是.
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