数学理卷·2018届甘肃省天水市第一中学高三第二次模拟考试（2018 13页

天水市一中2015级2017-2018学年度第二学期第二次 模拟考试数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设为虚数单位，，若是纯虚数，则( )‎ A．2 B．-2 C．1 D．-1‎ ‎3.已知条件，条件，则是成立的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.已知是锐角，若,则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为( )‎ A． B．-2 C.1或 D．-1或 ‎6.设向量满足,则( )‎ A．6 B． C. 10 D．‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ ‎ ‎ A．64 B．32 C.96 D．48‎ ‎8.已知随机变量服从正态分布,且( )‎ A．0.6 B．0.4 C. 0.3 D．0.2‎ ‎9.《九章算术》上有这样一道题：“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚16尺，现用程序框图描述问题，则输出( )‎ ‎ ‎ A．2 B．4 C. 6 D．8‎ ‎10.函数的图象大致为( )‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11.在中，分别为内角所对的边，且满足，若点是外一点，,则平面四边形面积的最大值是( )‎ A． B． C. 3 D．‎ ‎12.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )‎ A． B． C. D．1‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设实数满足则的取值范围是 ．‎ ‎14.的展开式中，的关系是 ．（用数字作答）‎ ‎15.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 ．‎ ‎16.如图，图形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，分别以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．‎ ‎ ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知在中，角的对边分别为，且有 .‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)当时，求的最大值.‎ ‎18. 四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面底面，，，E是中点，点在侧脸上.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若是中点，求二面角的余弦值；‎ ‎(Ⅲ)是否存在，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎19. 第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：‎ 收看时间（单位：小时）‎ 收看人数 ‎14‎ ‎30‎ ‎16‎ ‎28‎ ‎20‎ ‎12‎ ‎(1)若讲每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“‎ 非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：‎ 男 女 合计 体育达人 ‎40‎ 非体育达人 ‎30‎ 合计 并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；‎ ‎(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.‎ 附表及公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎0.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，点 ，圆,点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程；‎ ‎(2)若直线与曲线相较于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴评分，证明：直线过定点.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(1)当时，试判断函数的单调性；‎ ‎(2)若，求证：函数在上的最小值小于.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为,以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的参数方程为为参数).‎ (1) 写出曲线的参数方程和直线的普通方程；‎ ‎(2)已知点是曲线上一点，，求点到直线的最小距离.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ (1) 求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5: CCADC 6-10:DACDC 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 14. -5 15.乙 16.‎ 三、解答题 ‎17. (1) ；(2) .‎ 解析：（1）由及正弦定理，‎ 得，‎ 即，即.‎ 因为在中， ， ，‎ 所以，所以，得. ‎ ‎（2）由余弦定理，得，‎ 即，‎ 故，当且仅当时，取等号.‎ 所以，即的最大值为.‎ ‎18．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.（Ⅲ）.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）取中点,连接.‎ 因为,所以.‎ 因为菱形中, ,所以.‎ 所以.‎ 因为,且平面,所以平面.‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,‎ 因为侧面底面,且平面底面,所以底面.‎ 以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.‎ ‎ ‎ 则,因为为中点,所以.‎ 所以,所以平面的法向量为.‎ 因为,设平面的法向量为,‎ 则,即.‎ 令,则,即.‎ 所以.‎ 由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）设 由（Ⅱ）可知.‎ 设,则,‎ 又因为,所以,即.‎ 所以在平面中, ,‎ 所以平面的法向量为,‎ 又因为平面,所以,‎ 即,解得.‎ 所以当时, 平面.‎ ‎19．（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，‎ 所以的可能取值为0，1，2.计算概率值．得到分布列与数学期望.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得下表：‎ 男 女 合计 体育达人 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 非体育达人 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ 合计 ‎70‎ ‎50‎ ‎120‎ ‎ ‎ 的观测值为 .‎ 所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.‎ ‎（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，‎ 所以的可能取值为0，1，2.‎ 且 ， ， ，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎20．（1）；（2）‎ 试题解析：（1）由已知， ，圆的半径为 依题意有： ， ‎ 故点P的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，即 故点P的轨迹E的方程为 ‎ ‎（2）令，因A，B，D不共线，故的斜率不为0，可令的方程为： ，则由 得 则 ① ‎ 被轴平分， ‎ 即，亦即 ②‎ 而 代入②得：‎ ‎ ③ ‎ ‎①代入③得： ‎ 时得： 此时的方程为： 过定点（1，0）‎ 时 ， 亦满足，此时的方程为： ‎ 综上所述，直线恒过定点（1，0）‎ ‎21．(1) 函数在上单调递増(2)见解析 试题解析：‎ ‎（1）由题可得，‎ 设，则，‎ 所以当时， 在上单调递增，‎ 当时， 在上单调递减，‎ 所以，因为，所以，即，‎ 所以函数在上单调递増.‎ ‎（2）由（1）知在上单调递増，‎ 因为，所以，‎ 所以存在，使得，即，即，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时 ‎，‎ 令，则恒成立，‎ 所以函数在上单调递减，所以，‎ 所以，即当时，‎ 故函数在上的最小值小于.‎ ‎22．（1）曲线的直角坐标方程为: ，直线的普通方程为： ；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由曲线的极坐标方程得： ，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为: ，‎ 曲线的参数方程为,（为参数）；‎ 直线的普通方程为： .‎ ‎ (2)设曲线上任意一点为，则 点到直线的距离为 ‎.‎ ‎23．（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）绝对值函去绝对值得到分段函数 ‎，得的解集为；（2）由题意得， ，即，解得。‎ 试题解析：‎ ‎(1)依题意， ‎ 故不等式的解集为 ‎（2）由（1）可得，当时， 取最小值， 对于恒成立，‎ ‎∴，即，∴，‎ 解之得，∴实数的取值范围是