【数学】2019届一轮复习人教A版理第3章第7节　正弦定理和余弦定理教案 9页

第七节　正弦定理和余弦定理 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．‎ ‎(对应学生用书第62页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)‎ a＝b＋c－2bc·cos A；‎ b＝c＋a－2ca·cos B；‎ c＝a＋b－2ab·cos C 变形形式 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ ‎(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎3.三角形常用面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．‎ ‎2．合比定理：＝＝2R.‎ ‎3．在锐角三角形中①A＋B＞；②若A＝，则＜B，C＜.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，若b＋c＞a，则△ABC为锐角三角形．(　　)‎ ‎(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.(　　)‎ ‎(4)在△ABC中，＝.(　　)‎ ‎[解析]　(1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．‎ ‎(2)错误．由cos A＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．‎ ‎(3)错误．由b＜a知，B＜A．‎ ‎(4)正确．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)‎ A．　　　　 B． C． D．1‎ B　[根据＝，有＝，得sin B＝.故选B．]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝‎ ，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)‎ A． B． C．2 D．3‎ D　[由余弦定理得5＝b＋4－2×b×2×，‎ 解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D．]‎ ‎4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________．‎ ‎4　[∵cos C＝，0＜C＜π，‎ ‎∴sin C＝，‎ ‎∴S△ABC＝absin C ‎＝×3×2×＝4.]‎ ‎5．(教材改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．‎ 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，‎ 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]‎ ‎(对应学生用书第63页)‎ 利用正、余弦定理解三角形 ‎　(2018·广州综合测试(二))△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋bsin C＝a.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若BC边上的高等于a，求cos A的值．‎ ‎[解]　(1)因为bcos C＋bsin C＝a，‎ 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin A．‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin(B＋C)．‎ 即sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C．‎ 因为sin C≠0，所以sin B＝cos B．‎ 因为cos B≠0，所以tan B＝1.‎ 因为B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)法一：设BC边上的高线为AD，则AD＝a.‎ 因为B＝，则BD＝AD＝a，CD＝a.‎ 所以AC＝＝a，AB＝a.‎ 由余弦定理得cos∠BAC＝＝－.‎ 所以cos∠BAC的值为－.‎ 法二：设BC边上的高线为AD，则AD＝a.‎ 因为B＝，则BD＝AD＝a，CD＝a.‎ 所以AC＝＝a，AB＝a.‎ 由正弦定理得＝，‎ 则sin∠BAC＝＝＝.‎ 在△ABC中，由AB＜AC，得C＜B＝，‎ 所以∠BAC为钝角．‎ 所以cos∠BAC＝－＝－.‎ 所以cos∠BAC的值为－.‎ ‎[规律方法]　1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的.‎ ‎2.(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.‎ (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用.‎ (3)重视在余弦定理中用均值不等式，实现a2＋b2，ab，a＋b三者的互化.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.‎ ‎(1)　(2)60°　[(1)在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，‎ ‎∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.‎ 又∵＝，∴b＝＝＝.‎ ‎(2)法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，‎ 得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A．‎ ‎∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．‎ 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B．‎ ‎∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B．‎ 又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝.‎ 法二：∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b，‎ ‎∴条件等式变为2bcos B＝b，∴cos B＝.‎ 又0＜B＜π，∴B＝.]‎ 判断三角形的形状 ‎　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) ‎ ‎【导学号：97190131】‎ A．锐角三角形　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 ‎(1)B　(2)C　[(1)由已知及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sinA，‎ 即sin(B＋C)＝sinA，又sin(B＋C)＝sin A，‎ ‎∴sin A＝1，∴A＝.故选B．‎ ‎(2)∵＝，∴＝，∴b＝c.‎ 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b＋c－a＝bc，‎ ‎∴cos A＝＝＝.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．]‎ ‎[规律方法]　判定三角形形状的两种常用途径 (1)化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.‎ (2)化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.‎ 易错警示：无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.‎ ‎[跟踪训练]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 B　[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B．‎ 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a＝b⇒a＝b.]‎ 与三角形面积有关的问题 ‎　(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin.‎ ‎(1)求cos B；‎ ‎(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.‎ ‎[解]　(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin，‎ 故sin B＝4(1－cos B)．‎ 上式两边平方，整理得17cosB－32cos B＋15＝0，‎ 解得cos B＝1(舍去)，或cos B＝.‎ 故cos B＝.‎ ‎(2)由cos B＝得sin B＝，‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac.‎ 又S△ABC＝2，则ac＝.‎ 由余弦定理及a＋c＝6得b＝a＋c－2accos B＝(a＋c)－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4.‎ 所以b＝2.‎ ‎[规律方法]　三角形面积公式的应用方法 ‎(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化，所以解决此类问题通常围绕某个已知角，将余弦定理和面积公式都写出来，寻求突破．‎ ‎[跟踪训练]　(2018·深圳二调)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2b＝asin B＋bcos A，c＝4.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若D是BC的中点，AD＝，求△ABC的面积. ‎ ‎【导学号：97190132】‎ ‎[解]　(1)由2b＝asin B＋bcos A及正弦定理，‎ 又0＜B＜π，可得2＝sin A＋cos A，‎ 即有sin＝1，‎ ‎∵0＜A＜π，∴＜A＋＜，‎ ‎∴A＋＝，∴A＝.‎ ‎(2)设BD＝CD＝x，则BC＝2x，‎ 由余弦定理得cos∠BAC＝＝，‎ 得4x＝b－4b＋16.①‎ ‎∵∠ADB＝180°－∠ADC，‎ ‎∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，‎ 由余弦定理得＋＝0，‎ 得2x＝b＋2.②‎ 联立①②，得b＋4b－12＝0，解得b＝2(舍负)，‎ ‎∴S△ABC＝bcsin∠BAC＝×2×4×＝2.‎