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- 2021-06-15 发布
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专题二 数学思想方法
引言
数学思想方法是数学的灵魂
,
是学习数学、研究数学的指导思想
.
高考试题重视对数学思想方法的考查
,
重点体现在使用数学思想方法提供的方法解题、以及指导解题方面
,
在高考中主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等数学思想方法
.
策略
1
函数与方程思想
【
例
1】
(2016·
湖北黄冈质检
)
定义在区间
(0,+∞)
上的函数
f(x)
使不等式
2f(x)0,
所以
f(x)=(x-a)
2
+(ln x
2
-2a)
2
=(x-a)
2
+(2ln x-2a)
2
,
该函数式的几何意义是直线
y=2x
上点
(a,2a)
到曲线
y=2ln x
上的点
(x,2ln x)
的距离的平方
.
【
方法总结
】
根据数与形之间的对应关系
,
通过把数转化为形
,
通过对形的研究解决数的问题、或者获得解决数的问题解决思路解决数学问题的思想
.
数形结合的重点是研究“以形助数”
,
这在解选择题、填空题中更显其优越
,
要注意培养这种思想意识
,
做到心中有图
,
见数想图
,
以开拓自己的思维视野
.
答案
:
(1)D
策略
3
化归与转化思想
(2)
(2016·
湖南常德模拟
)
已知
e
为自然对数的底数
,
若对任意的
x∈[0,1],
总存在唯一的
y∈[-1,1],
使得
x+y
2
e
y
-a=0
成立
,
则实数
a
的取值范围是
(
)
【
方法总结
】
(1)
化归思想是根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法
,
把数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局部、化复杂为简单的解决问题的思想方法
;(2)
转化思想是根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法
,
把数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单解决问题的思想方法
.
化归转化思想的实质是“化不能为可能”
,
使用化归转化思想需要有数学知识和解题经验的积累
.
(A)4 (B)8 (C)12 (D)18
答案
:
(1)B
(2)
(2016·
河南焦作二模
)
若
x,y
满足
x
2
-2xy+3y
2
=4,
则 的最大值与最小值的和是
.
答案
:
(2)1
策略
4
分类与整合思想
(1)
讨论
f(x)
的单调性与极值点的个数
;
(2)
当
a=0
时
,
关于
x
的方程
f(x)=m(m∈
R
)
有
2
个不同的实数根
x
1
,x
2
,
证明
:
x
1
+x
2
>2.
【
方法总结
】
(1)
分类思想是解答数学问题时
,
按照问题的不同发展方向分别进行解决的思想方法
;
整合思想是把一个问题中各个解决的部分
,
进行合并、提炼得出整体结论的思想方法
.
利用分类与整合思想的解题过程是“合
—
分
—
合”
.(2)
高考以解答题的方式考查分类与整合思想
,
主要是函数导数解答题、概率解答题和解析几何解答题
.
(1)
求点
P
的轨迹
C
的方程
,
并讨论点
P
的轨迹类型
;
②当
λ=0
时
,
方程为
x
2
+y
2
=4,
轨迹
C
为圆
;
结语
数学思想方法既是思想也是方法
,“
思想”是统领全局的总纲
,“
方法”是可以具体操作的解题方法
,“
思想”与“方法”是密不可分的整体
.
数学思想方法是在长期的数学学习和研究中逐渐形成的
,
我们不能指望一个专题的讲解能使读者的数学思想方法水平有质的提升
,
但通过该专题的学习
,
读者可以体会数学思想方法是如何指导解题的
,
能使读者在二轮复习的后期有意识地强化数学思想方法的应用
.
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