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- 2021-06-15 发布
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课时规范练23 解三角形
基础巩固组
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,则c=( )
A.12
B.1
C.3
D.2
2.在△ABC中,已知acos A=bcos B,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
3.已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=7,AB=2,则S△ABC=( )
A.3
B.23
C.33
D.6
4.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cos A=( )
A.31010 B.1010
C.-1010 D.-31010
5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为( )
A.7.5
B.7
C.6
D.5〚导学号21500534〛
6.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sinA-sinC)(a+c)b=sin A-sin B,则C= .
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积为S=32c,则ab的最小值为 .
8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.
9.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
〚导学号21500535〛
10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?
参考数据:sin38°=5314,sin22°=3314
综合提升组
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则C=( )
A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
12.在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=( )
A.9 B.8 C.7 D.6
13.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.
14.(2017河南郑州一中质检一,理17)已知△ABC外接圆直径为433,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°.
(1)求a+b+csinA+sinB+sinC的值;
(2)若a+b=ab,求△ABC的面积.
创新应用组
15.(2018福建泉州期末,理10)已知点P12,2是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(φ>0)图像上的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点.若cos∠BPC=725,则f(x)的图像的对称中心可以是( )
A.(0,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(3,0)
16.(2017宁夏银川九中二模,理17)已知函数f(x)=3sin ωx-2sin2ωx2+m(ω>0)的最小正周期为3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cos B+cos(A-C),求sin A的值.
〚导学号21500536〛
参考答案
课时规范练23 解三角形
1.B 由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.
2.D ∵acos A=bcos B,
∴sin Acos A=sin Bcos B,
∴sin 2A=sin 2B,
∴A=B,或2A+2B=180°,
即A+B=90°,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
3.C ∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或BD=-1(舍去),可得BC=6,
∴S△ABC=12AB·BC·sin B=12×2×6×32=33.
4.C (方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.
结合题意知BD=AD,DC=2AD,
所以AC=AD2+DC2=5AD,AB=2AD.由余弦定理,得cos A=AB2+AC2-BC22AB·AC
=2AD2+5AD2-9AD22×2AD×5AD=-1010,
故选C.
(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,
由题意知∠BAD=π4.
设∠DAC=α,则∠BAC=α+π4.
∵BC=3AD,BD=AD.
∴DC=2AD,AC=5AD.
∴sin α=25=255,cos α=15=55.∴cos∠BAC=cosα+π4=cos αcosπ4-sin αsinπ4=22(cos α-sin α)=22×55-255=-1010,故选C.
5.D ∵bcos A+acos B=c2,a=b=2,
∴由余弦定理可得b·b2+c2-a22bc+a·a2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c3,
解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.
6.π3 在△ABC中,∵(sinA-sinC)(a+c)b
=sin A-sin B,
∴(a-c)(a+c)b=a-b,
∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=a2+b2-c22ab=12,∴C=π3.
7.12 在△ABC中,由条件并结合正弦定理可得2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B,
即2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B,∴2sin Bcos C+sin B=0,∴cos C=-12,C=2π3.
由于△ABC的面积为S=12ab·sin C=34ab=32c,∴c=12ab.
再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C,
整理可得14a2b2=a2+b2+ab≥3ab,
当且仅当a=b时,取等号,
∴ab≥12,故答案为12.
8.2315 在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.
由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,
即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),
解得cos α=516,则sin α=23116,
所以tan α=sinαcosα=2315.
9.解 (1)由已知可得tan A=-3,
所以A=2π3.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3,即c2+2c-24=0.
解得c=-6(舍去),c=4.
(2)由题设可得∠CAD=π2,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD=1.
又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC=23,所以△ABD的面积为3.
10.解 设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.
又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5×327=5314,
所以∠ABC=38°.
又∠BAD=38°,所以BC∥AD.
故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.
11.B 由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
则sin C(sin A+cos A)=0,
因为sin C>0,
所以sin A+cos A=0,
即tan A=-1,
因为A∈(0,π),所以A=3π4.
由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC,即sin C=12,所以C=π6,故选B.
12.D 设∠B=θ,则∠ADC=2θ,在△ADC中,由DCsinθ=ACsin2θ,
所以AC=8cos θ,
在△ABC中,由ACsinθ=9sin2θ,可得8cosθsinθ=9sin2θ,
所以16cos2θ=9,可得cos θ=34,
所以AC=8×34=6.故选D.
13.150 在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=1002 m.
在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理,得ACsin45°=AMsin60°,因此AM=1003 m.
在Rt△MNA中,AM=1003 m,∠MAN=60°,由MNAM=sin 60°,
得MN=1003×32=150(m).
14.解 (1)由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=2R=433,
∴a+b+csinA+sinB+sinC=2R=433.
(2)由正弦定理可得csin60°=433,
∴c=2.
由余弦定理可得22=a2+b2-2abcos 60°,化为a2+b2-ab=4.
又a+b=ab,
∴(a+b)2-3ab=a2b2-3ab=4,解得ab=4.
∴△ABC的面积S=12absin C=12×4×sin 60°=3.
15.C
16.解 (1)f(x)=3sin ωx-2sin2ωx2+m
=3sin ωx-1+cos ωx+m
=2sinωx+π6-1+m.
依题意2πω=3π,ω=23,
所以f(x)=2sin2x3+π6-1+m.
当x∈[0,π]时,π6≤2x3+π6≤5π6,12≤sin2x3+π6≤1,
所以f(x)的最小值为m.
依题意,m=0.
所以f(x)=2sin2x3+π6-1.
(2)因为f(C)=2sin2C3+π6-1=1,
所以sin2C3+π6=1.
而π6<2C3+π6<5π6,
所以2C3+π6=π2.
解得C=π2.
在Rt△ABC中,因为A+B=π2,2sin2B=cos B+cos(A-C),
所以2cos2A-sin A-sin A=0,
解得sin A=-1±52.
因为0