2014年高考真题——理科数学（上海卷） 解析版 12页

2 0 1 4 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意： 1、本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂（选择题）或写 （非选择题）在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。 3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对 后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。 1、函数 ._______)2(cos21 2 的最小正周期是xy  【答案】 2 π 【解析】 2 π 4 π2∴4cos-)2(cos2-1 2 ==== Txxy 周期 2、若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则         _ z 1 +z z =___________. 【答案】 6 【解析】 61)41(1)1(∴21 =++=+=•++= zzzzziz 3、若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 159 22  yx 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ___________. 【答案】 x=-2 【解析】 2- 2-)0,2(2)0,2(159 2 22 = =∴=∴=+ x xpxyyx 所以，是 其准线方程为焦点为右焦点为  4、设      ),,[, ),,(,)( 2 axx axxxf 若 4)2( f ，则 a 的取值范围为_____________. 【答案】 ]2,∞-( 【解析】 ]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2( 所以，是解得aaf += 5、若实数 x,y 满足 xy=1,则 2x + 22y 的最小值为______________. 【答案】 22 【解析】 22,2222≥22y∴1 2 2 2 222 所以，是=•+=+= xxxxxxy 6. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面所成角的大小为 （结果用反三角函 数值表示）。 【答案】 22arctan 【解析】 22arctan 22arctanθ,22θtan8 3ππ∴3 ,π22 1,, 22 22222 222 所以，是 ，即解得 ，化简得 则底面半径设圆锥高 底侧 底侧 ==== =+=+•= =+••= r hhr rhrrhrrSS rShrrSrh  π 7. 已知曲线 C 的极坐标方程为 )sin4cos3(   =1，则 C 与极轴的交点到极点的距离 是 。 【答案】 3 1 【解析】 3 1).0,3 1(14-3∴1)θsin4-θcos3(ρ 所以，是交于点== yx 8. 设无穷等比数列{ na }的公比为 q，若 )(lim 431   aaa n ，则 q= 。 【答案】 2 1-5 【解析】 2 1-5 ).(2 5-1-,12 51-,01-∴ -1-1)-1 -1(lim)(lim,1≠ 2 2 13 2- 3∞→543∞→1 所以，是 舍去或解得 =>+==+ ==•=++++= qqqq q qa q a q qaaaaaaq n nnn  9. 若 2 1 3 2 )(   xxxf ，则满足 0)( xf 的 x 取值范围是 。 【答案】 )1,0( 【解析】 )1,0(.10 1,01-0,0- 6 7 6 7 6 7 2 1--3 2 Q   x xxxxx 10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选 择的 3 天恰好为连续 3 天的概率 是 （结构用最简分数表示）。 【答案】 15 1 【解析】 15 1.15 18 3 10 所以，是概率 == Cp 11.已知互异的复数 a,b 满足 ab≠0，集合{a,b}={ 2a , 2b },则 a+b= 。 【答案】 -1 【解析】 1-.1- ),-)((--,0≠,0≠,≠,2 0≠,0≠,≠,)1( . 2222 22 所以，是解得 则且，）若（ ，则解集为空且，若若 分类讨论 ba ababbabababaabba bababbaa += +=+=== == 12. 设 常 数 a 使方程sin 3 cosx x a在 闭 区 间 [0,2  ] 上 恰 有 三 个 解 1 23,,x x x ，则 1 23x x x   。 【答案】 3 7π 【解析】 3 7ππ23 π0]π2,0[∈,)3 πsin(2 π3π2π,,03]π2,0[∈,sin2 ]π2,0[∈,)3 πsin(2cos3sin 2212321 221221 ==+∴====+ ==+==== =+=+ xxxxxxxxax xxxxxxxax xaxxx ，，时，当 ，根，则时有当 13.某游戏的得分为 1,2,3,4，5，随机变量 表示小白玩游戏的得分。若 () =4.2，则小白得 5 分的概率至少为 。 【答案】 2.0 【解析】 是最小值 这时， 取最小值取最大值时，同理，当这时， 取最小值取最大值时，即当则设 解析 则为对应的概率分别设随机变量 2.0∴1,0 2.4431 ,220.2.44321 ,20,2≤-22],1,0[∈ 2.44321543220130616ξ ,,,,,3737805925,4,3,2,1ξ 554321 54 5433543 532223232 543254321 54321 ==+=== =++ +==+++ +==+=+ =++++=++++= = pppppp pp ppppppp ppppmpmppmpp pppppppppE pppppqq  14.已知曲线 C： 24xy   ，直线 l：x=6。若对于点 A（m，0）,存在 C 上的点 P 和 l 上的 点 Q 使得 0AP AQ，则 m 的取值范围为 。 【答案】 ]3,2[ 【解析】 ]3,2[ ]3,2[∈]0,2-[∈,62 ),6(),,()0,(∴,0 ]0,2-[∈2 11 11 1 所以，是 的中点为 轴左侧，的半个圆，在图像是半径为 mxxm tQyxPmAAQAP xyC += =+   二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分。 15.设 Rba , ,则“ 4 ba ”是“ 2,2  ba 且 ”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】 B 【解析】 B baba baba 所以，选必要不充分条件 是必要条件成立，则且若 不是充分条件且无法推出显然， . ∴422 ∴22,4 ∴ >+>> >>>+ 16.如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， )8,...,2,1( iPi 是上底 面上其余的八个点，则 )8,...,2,1(   iAPAB i 的不同值的个数为（ ） （A）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】 A 【解析】 A ∴111,cos|||| 选 只有一个值=•>=<•=• APABAPABAPAB 17.已知 ),( 111 baP 与 ),( 222 baP 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方 程组      1 1 22 11 ybxa ybxa 的解的情况是（） （A）无论 k， 21, PP 如何，总是无解 （B)无论 k， 21, PP 如何，总有唯一解 （C）存在 k， 21, PP ，使之恰有两解 （D）存在 k， 21, PP ，使之有无穷多解 【答案】 B 【解析】 B. yx, -,1,1)-(1- 00)-()-( 0)-()-(∴1,1 ≠)-(-∴1,1 1111 2121 21212211 2121212211 选唯一解有所以， 即，化简：代入： ，即即 ， kxyykabybkya kyxyaakxaa ybbxaaybxaybxa aaaakbbkabkab ====+ =+=+ =+=+=+ =+=+=   18.       ,0,1 ,0,)( )( 2 xaxx xax xf 若 )0(f 是 )(xf 的最小值，则 a 的取值范围为（ ）。 (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)[0，2] 【答案】 D 【解析】 Da aafxaaxxxfxaxxf 选解得 是单调递增的，且是单调递减的， .2≤≤0 2)0(0,21)(0,)-()( 22 +≤=>+≥++=≤= 三．解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤。 19、（本题满分 12 分） 底面边长为 2 的正三棱锥 P ABC ,其表面展开图是三角形 321 PPP ，如图，求△ 321 PPP 的各边长及此三棱锥的体积V . 【答案】 4,4,4； 3 22 【解析】 3 22- 3 22 3 6233 1 3 1-∴ 3 62,)3 32(-2,- 4ΔPPΔP 2ACΔPBC,ΔPAB,ΔP∴2Δ ACΔPBC,ΔPAB,ΔP∴- Δ 222 321 321 321 的体积为所以，正三棱锥 的体积正三棱锥 解得则高为设正三棱锥 的正三角形是边长为所以， 的正三角形均是边长为的正三角形，是边长为 为全等等腰三角形是正三棱锥 ABCP hSVABCP hhhABCP ABC ABCP ABC =••=••= ==   20.（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 8 分。 设常数 0a ，函数 a axf x x   2 2)( （1）若 a =4，求函数 )(xfy  的反函数 )(1 xfy  ； （2）根据 a 的不同取值，讨论函数 )(xfy  的奇偶性，并说明理由. 【答案】 (1) )∞(1,)1,-∞-(∈,1- 1log2)( 2 1- +∪++= xx xxf (2) 是非奇非偶函数；时，，且且当 是奇函数；时，是偶函数；当时，当 )(1≠0≠,0 )(1)(0 xfaaa xfaxfa > == 【解析】 (1) )∞(1,)1,-∞-(∈,1- 1log2)( .1- 1log2)1- 44(log,1- 442 ,42)4-2(∴)∞)(1,1,-∞-(∈ 4-2 42 -2 2)(4 2 1- 22 +∪++= ++=+=+= +=++=+=== xx xxf y y y yxy y ya axfya x xx x x x x 所以 即解得 时当  (2) 是非奇非偶函数；时，，且且当 是奇函数；时，是偶函数；当时，当所以 是奇函数 时，若 是偶函数，时，若 或则若定义域对称的 的奇偶性讨论如下 )(1≠0≠,0 )(1)(0, )(∴ )(-2-1 21 1-2 12)-(1-2 12)(0)2( )(∴1)(0)1( 1,0, .-2 2)( - - xfaaa xfaxfa xf xfxfxfa xfxfa aa a axfy x x x x x x x x > == =+=+=+== == == +==  21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图，某公司要在 AB、 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中 D 为顶端，AC 长 35 米，CB 长 80 米，设 AB、 在同一水平面上，从 A和 B 看 D 的仰角分别为 和 . （1）设计中CD 是铅垂方向，若要求  2 ，问 CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？ （2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 ，，  45.1812.38   求CD 的长（结果精确到 0.01 米）？ 【答案】 (1) 米28.28 (2) 米93.26 【解析】 (1) 米的最大长度是所以， 解得 ）（ 即 则令 28.28 28.2822000,h-80 80h2 80 h-1 80 h2 ≥ 35 h 0βtan-1 2tanββ2tan≥αtan∴0β2≥α2 π 80 h CB hβtan,35 h DC hαtan, 22 2 2 AC h hDC ≈≤<>•= • >=>> =====  (2) 米的长度是所以， 米解得中，由余弦定理得，在 解得 中，由正弦定理得，在设 93.26 93.26≈,18.45cos802-80CDΔ 064.85≈sin38.12)18.45sin(38.12 8035 ,)18.45sin(38.12 8035 sin38.12 mΔ,, 222 AC hmmhB m ABDmBDhDC °•••+= °•°+° += °+° +=°== 22（本题满分 16 分）本题共 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满 分 8 分. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线l ： 0ax by c   和点 ),,(),,( 22211 yxPyxPi 记 1 1 2 2)( ).ax by c ax by c     （ 若 <0，则称点 21, PP 被直线l 分隔。若曲线 C 与直线l 没 有公共点，且曲线 C 上存在点 21 PP， 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线 C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点 ），（），（ 012,1 BA 被直线 01 yx 分隔； ⑵若直线 kxy  是曲线 14 22  yx 的分隔线，求实数 k 的取值范围； ⑶动点 M 到点 ）（ 2,0Q 的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为曲线 E，求证：通 过原点的直线中，有且仅有一条直线是 E 的分隔线. 【答案】 (1) 省略 (2) ∞),2 1[∪]2 1-,∞-( + (3) 0=x只有直线 【解析】 (1) 平分被直线所以，点 中，得分别代入直线方程左式把点 平分，过程如下被直线证明点 01-)0,1-(),2,1( 04-)1-01-)(1-21(η, .01-)0,1-(),2,1( =+ <=++= =+ yxBA BA yxBA (2) 的分割线是曲线时，直线所以，当 线上。上下方存在点均在双曲且直线 与双曲线无焦点，时，直线当为是双曲线，渐近线方程曲线 在曲线上，且的分割线，则是曲线若直线 14y-kxy∞),2 1[∪]2 1-,∞-(∈ kxy kxy]∞,2 1[∪]2 1-,∞-(∈∴ 2 114y- 0)-)(-(),(∃),,(∃14y- 22 22 22112211 22 ==+ = =+±== <== xk kxyx kxykxyyxPyxPxkxy  (3) 的分割线是所以，只有直线 在直线左右两侧与图像不相交，且图像 只有直线可知画出图像利用数形结合法减时，曲线的图像单调递当 中心对称，且对称，也关于的图像关于曲线 ，变形为： 即，即据题有，设动点 Ex xyx Ryyxxyx xyxx xyxxMQxMQQyxM 0 . 0,,,.2,0 )2,0(2,01)2-(∴ .0≠0)2-(1- 1)2-(,1||1||),20(),,( 2 22 2 2 2 2 22222 = =≥> ∈===+ =+ =+=•=• 23.（本题满分 18 分）本题共 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满 分 8 分. 已知数列{}na 满足 11 1 3 , *, 13 n n na a a n N a    . （1）若 2 3 42, , 9a a x a   ，求 x 的取值范围； （2）若{}na 是公比为 q 等比数列， 12nnS a a a    ， 1 1 3 , *,3 n n nS S S n N   求 q 的取值范围； （3）若 12, , , ka a a 成等差数列，且 12 1000ka a a    ，求正整数 k 的最大值，以 及 k 取最大值时相应数列 12, , , ka a a 的公差. 【答案】 （1） ]6,3[ （2） ,2]3 1[ （3） 1999 1-1999，公差是是k 【解析】 （1） ]6,3[ 3≤≤ 3 1∴0.0∴3≤≤ 3 1 .3≤≤ 3 13≤≤ 3 1k≤n6≤x≤3 6≤x≤3∴ 72≤x≤3x,9≤72≤,9≤3≤3n 6≤x≤ 3 28,1≤3≤2,9≤3≤2n .9,≤6≤1,9≤3≤1n 3≤≤ 3 1921 121111 1211 343 232 121 14321 ∈ >> = = = ==== ++++++ ++++ + x aaaaaaaa aaaaaa xaaa xaaa aaa aaaaxaaa kkkkkkkk kkkkkk nnn 所以， 也成立成立 也成立成立，现证明时，时，假设，当 解得即时，当 解得即时，当 此式当然成立即时，当 ，且，，，   （2） .,2]3 1[∈ (1,2]∈∴ ∈[1,2]0≤23-0≤2)3-(q 1≥q0≥2-q-q32≥1)-q3(q 10≥2-q-q3 0∴q-13≥q-1≥q-13 13],1(∈2-2 )1,3 1[∈∴ )1,3 1[∈0≥23-0≥2)3-(q 1q≤ 3 10≤2-q-q3,3 1 3 12≤1)-q3(q 0∴q-13≤q-1≤q-13 11≤ 3 11-2 q-1 q-13≤ q-1 q-1≤ q-1 q-1 3 1 q-1 q-11≠,12 3≤)1(≤ 3 ∴3≤≤ 3 11,11 ,3]3 1[3≤q3 1≥q∴3≤≤ 3 1 2n 2n 2 n1nn 2n 2n n1nn n1nnn 1 11 1 时，符合题意综上，当 ，解得，即后式整理得 解得，即前式整理得 解得解得即 ）（）（）（时）当（ ，解得，即后式整理得 解得时时成立；当，显然当前式整理得 ）（）（）（时）当（ 时，）当（ 成立，符合题意时，）当（ ，即且 q q qqqq q qq q qqqq qq qq Sqa nnnSSSnSqa aaa n nnnn nnn ++ > > ++ <>= >< •== +=== + + + + +      （3） 1999 1-1999 1999 1-1)k-k( )-1000(2 1)k-k( 2-2000d1999 20000,≤1000)2000-(2≤ 1)k-k( 2-2000d≤ 1)1-(2 2- 1)k-k( 2-2000d1000,1)d]k-k(2[2 1∴1000 ,2]12 2-∈[d∴ 3-2 2-≥,12 2-≥,2≤,0≥2)3-2(,)12(2≤0 1)d]-n(1[3≤nd1≤1)d]-n(1[3 1∴3≤≤ 3 1 1, 21 1 1 ，公差是是所以，最大值 时，当 解得整理得，由上得： 解得 解得 且且即且整理得 设公差为 k kkk kkkk n kaaa n ndndddndn aaa ad k nnn ==== <+=+ ==+=+++ + ++++ +++ = +  