【数学】2019届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件学案 6页

命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎【考点梳理】‎ ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件与必要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．‎ ‎(3)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎4．集合与充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：‎ ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．‎ ‎(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．‎ ‎ (3)若A＝B，则p是q的充要条件．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、四种命题的关系及其真假判断 ‎【例1】(1) 命题“若，则”的逆否命题是(　　)‎ A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 ‎(2) 给出下列命题：‎ ‎①“∃x0∈R，x－x0＋1≤0”的否定；‎ ‎②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；‎ ‎③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题.‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎[答案] (1)C　(2)C ‎[解析] (1)命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：，p：，所以该命题的逆否命题是“若，则”.‎ ‎(2) ①的否定是“∀x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，由x2＋x－6<0，得－3b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　)‎ A.若a≤b，则a＋c≤b＋c B.若a＋c≤b＋c，则a≤b C.若a＋c>b＋c，则a>b D.若a>b，则a＋c≤b＋c ‎[答案] A ‎[解析] 将条件、结论都否定.命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.‎ ‎2. 原命题：设a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(　　)‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 ‎[答案] C ‎[解析] 原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.‎ 考点二、充分条件与必要条件的判断 ‎【例2】(1) 已知函数f(x)＝则“x＝0”是“f(x)＝1”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2) 设x∈R，则“2－x≥‎0”‎是“|x－1|≤‎1”‎的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案] (1)B　(2)B ‎[解析] (1)若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件.‎ ‎(2)由2－x≥0，得x≤2，‎ 由|x－1|≤1，得0≤x≤2.‎ ‎∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤20≤x≤2，‎ 故“2－x≥‎0”‎是“|x－1|≤‎1”‎的必要而不充分条件．‎ ‎【类题通法】‎ 充分条件、必要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．‎ ‎(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案] A ‎[解析]　因为由“a＝3”可以推出“A⊆B”，反过来，由A⊆B可以得到“a＝3或a＝‎2”‎，不一定推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．‎ ‎2．已知a，b都是实数，那么“>”是“ln a>ln b”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[答案] B ‎[解析]　由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>，故必要性成立.‎ 当a＝1，b＝0时，满足>，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立.‎ 考点三、充分条件、必要条件的应用 ‎【例3】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．‎ ‎[解析]　由x2－8x－20≤0得 ‎－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}.‎ ‎∵x∈P是x∈S的必要条件，‎ 则S⊆P，‎ ‎∴∴0≤m≤3.‎ 综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.‎ ‎【变式1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.‎ ‎[解析]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.‎ 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴∴ 这样的m不存在.‎ ‎【变式2】本例条件不变，若P是S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.‎ ‎[解析]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.‎ ‎∵P是S的必要不充分条件，‎ ‎∴P是S的充分不必要条件，‎ ‎∴P⇒S且S P.‎ ‎∴[－2，10][1－m，1＋m].‎ ‎∴或 ‎∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞).‎ ‎【类题通法】‎ 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验．‎ ‎【对点训练】‎ 已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．‎ ‎[答案] [9，＋∞)‎ ‎[解析]　法一：由≤2，得－2≤x≤10，‎ ‎∴p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，‎ 设A＝{x|x>10或x<－2}．‎ 由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)，‎ ‎∴q对应的集合为{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，‎ 设B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．‎ ‎∵p是q的必要不充分条件，‎ ‎∴BA，∴或解得m≥9，‎ ‎∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．‎ 法二：∵p是q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件．‎ 即p是q的充分不必要条件，‎ 由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．‎ ‎∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，‎ 设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，‎ 又由≤2，得－2≤x≤10，‎ ‎∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，‎ 设N＝{x|－2≤x≤10}．‎ 由p是q的充分不必要条件知，NM，‎ ‎∴或解得m≥9.‎ ‎∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．‎