高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：3_1平行射影 25页

3.1 　平 行 射 影 1 ． 理解平行射影概念． 通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影 . 2 ．理解平行射影基本定理． 1 ． (1) 点 A 是平面 α 外一点，过点 A 向平面 α 作垂线，设垂足为点 A ′ ，那么把 A ′ 称作点 A 在平面 α 的 ________ ． (2) 一个图形 F 上的各点在平面 α 上的 ________ 也组成一个图形 F ′ ，则图形 F ′ 称作图形 F 在平面 α 上的 ________ ． 2 ．设直线 l 与平面 α 相交，把直线 l 的方向称为 ____________ ，过点 A 作平行于 l 的直线，必与平面 α 交于点 A ′ ，那么把点 A ′ 称作点 A 沿直线 l 的方向在平面 α 上的 ____________ ，正射影是平行射影的特例 . 3 ．平面上到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做 ________ ． 1 ． (1) 正射影　 (2) 正射影　正射影 2 ．投影方向　平行射影 3 ．椭圆 4. 用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱两底面平行时，截面是 ，当平面与圆柱两底面不平行时，截面是 . 答案：  圆 椭圆 线段 AB 、 CD 在同一平面内的正射影相等，则线段 AB 、 CD 的长度关系为 ( 　　 ) A ． AB > CD 　　　　　　 B ． AB < CD C ． AB ＝ CD 　　　 D ．无法确定 解析： 由于线段 AB 、 CD 与平面所成的角未定，虽然射影相等，但线段 AB 、 CD 的长度无法确定，故它们的长度关系也无法确定． 答案： D P 是△ ABC 所在平面 α 外一点，点 O 是点 P 在平面 α 内的正射影． (1) 若点 P 到△ ABC 的三个顶点等距离，那么点 O 是△ ABC 的什么心？ (2) 若点 P 到△ ABC 的三边距离相等，且点 O 在△ ABC 的内部，那么点 O 是△ ABC 的什么心？ (3) 若 PA 、 PB 、 PC 两两相互垂直，点 O 是△ ABC 的什么心？ 解析： 如图所示． (1) 若 PA ＝ PB ＝ PC ， O 点为点 P 在平面 ABC 上的正射影，故有 OA ＝ OB ＝ OC ，∴点 O 为△ ABC 的外心． (2) 由点 P 到△ ABC 的三边距离相等，故有点 O 到△ ABC 的三边距离相等，∴点 O 为△ ABC 的内心． (3) PO ⊥ 平面 ABC ， PA ⊥ BC ，∴ OA ⊥ BC . 同理可证： OB ⊥ AC ， OC ⊥ AB .∴ 点 O 为△ ABC 的垂心． 在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，若梯形不在 α 内，则它在 α 上的射影是 ________________ ． 解析： 如果梯形 ABCD 所在平面平行于投影方向，则梯形 ABCD 在 α 上的射影是一条线段． 如果梯形 ABCD 所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形 ABCD 在平面 α 上的射影仍是梯形． 答案： 一条线段或一个梯形 1 ．已知 a 、 b 为不垂直的异面直线， α 是一个平面，则 a 、 b 在 α 上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面的结论中，正确的结论是 ______( 写出所有正确结论的序号 ) ． 解析： 如图所示，由图可知①②④正确，而对于③两直线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与 a 、 b 异面矛盾，∴③错． 答案： ①②④ 2 ．若一直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线与这条斜线的位置关系是 ( 　　 ) A ．垂直　　　　 B ．异面 C ．相交　 D ．不能确定 3 ．在空间，给出下列命题：①一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面上的射影相等；②一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个平面上的射影垂直；③一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角是这条斜线和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角；④若点 P 到△ ABC 三边所在的直线的距离相等，则点 P 在平面 ABC 上的射影是△ ABC 的内心． 其中正确的命题是 ( 　　 ) A ．③　　 B ．③④ C ．①③　 D ．②④ D A 5 ．已知平面上直线 l 的方向向量 e ＝ ，点 O (0,0) 和点 A (1 ，－ 2) 在 l 上的射影分别是 O ′ 和 A ′ ，则 ＝ λ e ，其中 λ ＝ ( 　　 ) A. 　　 B ．－ C ． 2 　 D ．－ 2 D 4. 下列说法正确的是（ B ）  A. 正射影和平行射影是两种截然不同的射影  B. 投影线与投影平面有且只有一个交点  C. 投影方向可以平行于投影平面  D. 一个图形在某个平面的平行射影是唯一的 6 ． Rt△ ABC 的斜边 BC 在平面 α 内，则△ ABC 的两条直角边在平面 α 内的射影与斜边组成的图形只能是 ( 　　 ) A ．一条线段 B ．一个锐角三角形 C ．一个钝角三角形 D ．一条线段或一个钝角三角形 D 7. （ 2012 年深圳模拟）如图，点 O 为正方体 的中心，点 E 为面 的中心，点 F 为 的中点，则空间四边形 在该正方体的面上的正投影可能是 . 答案： ①②③ 8 ．如图所示，在三棱锥 P － ABC 中， PA ＝ PB ＝ PC ＝ BC ，且∠ BAC ＝ ，则 PA 与底面 ABC 所成角为 ______ ． 9 ．过 Rt△ BPC 的直角顶点 P 作线段 PA ⊥ 平面 BPC . 求证：△ ABC 的垂心 H 是点 P 在平面 ABC 内的正射影． 分析： 如图所示，欲证△ ABC 的垂心 H 是点 P 在平面 ABC 内的射影，只需证明 PH ⊥ 平面 ABC 即可． 证明： 连接 AH 并延长，交 BC 于点 D ，连接 BH 并延长，交 AC 于点 E ，连结 PD 、 PH . ∵ H 是△ ABC 的垂心， ∴ BC ⊥ AD . 又∵ AP ⊥ 平面 PBC ，且 PD 是斜线段 AD 在平面 BPC 上的射影， ∴ BC ⊥ PD . 显然 PH 在平面 PBC 内的射影在 PD 上， ∴ BC ⊥ PH . 同理可证： AC ⊥ PH . 故 PH ⊥ 平面 ABC . 即 H 是 P 在平面 ABC 上的正射影． 点评： 本题可以是平面 PBC 到平面 ABC 的平行投影变换 10 ．如图所示，△ ABC 是边长为 2 的正三角形， BC ∥ 平面 α ， A 、 B 、 C 在 α 的同侧，它们在 α 内的射影分别为 A ′ 、 B ′ 、 C ′. 若△ A ′ B ′ C ′ 为直角三角形， BC 与 α 间的距离为 5 ，求 A 到 α 的距离． 解析： 由条件可知， A ′ B ′ ＝ A ′ C ′ ，∴∠ B ′ A ′ C ′ ＝ 90°. 设 AA ′ ＝ x ，在直角梯形 AA ′ C ′ C 中， A ′ C ′ 2 ＝ 4 － ( x － 5) 2 . 由 A ′ B ′ 2 ＋ A ′ C ′ 2 ＝ B ′ C ′ 2 ，得 2 × [4 － ( x － 5) 2 ] ＝ 4 ， 解得 x ＝ 5± 1 ． 从正射影的定义推广到平行射影，并加强对于具体图形的相对位置关系与射影的关系，考虑问题一定要全面，并注意图形的射影的形成是由点线的射影所形成的． 2 ．用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆；当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆；平面与两底面垂直 ( 或平面与母线平行 ) 时，截面为两条平行的直线． 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束