假期培优解决方案+寒假专题突破练+高二文科数学（选修1-1必修5）（通用版）专题4+等差数列x 10页

专题4　等差数列 ‎1．等差数列 ‎(1)概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)．‎ ‎(2)递推关系：an＋1－an＝d.‎ ‎2．等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎3．等差数列的主要性质 ‎(1)an－am＝(n－m)d(m，n∈N*)；‎ ‎(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；‎ ‎(3)等差数列{an}中，kn∈N*，且{kn}也是等差数列，则{akn}是等差数列．‎ ‎4．等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋.‎ ‎5．等差数列前n项和Sn的性质 ‎(1)Sn存在最大值或最小值；‎ ‎(2)在等差数列{an}中，前n项和设为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…依次成等差数列；‎ ‎(3)记等差数列{an}的前偶数项和为S偶，数列前奇数项和为S奇．‎ 当项数为2n时，则有S偶－S奇＝d；‎ 当项数为2n－1时，则有S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎6．等差数列与函数的关系 ‎(1)等差数列{an}的图象：均匀地分布在相应函数y＝dx＋(a1－d)图象上的一群点，d的几何意义是相应直线的斜率；‎ ‎(2)等差数列{an}的前n项和Sn的图象：当d≠0时，是分布在相应函数y＝x2＋(a1－)x图象上的一群点．‎ 例1　已知等差数列{an}中：‎ ‎(1)a6＝10，S5＝5，求a8；‎ ‎(2)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am.‎ 变式1　若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．‎ 例2　(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.‎ ‎(2)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(　　)‎ A．58 B．88 C．143 D．176‎ 变式2　(1)已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.‎ ‎(2)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.‎ 例3　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．‎ 变式3　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差小于零，a7a8<0且|a7|>|a8|，求满足Sn<0的n的最小值．‎ A级 ‎1．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于(　　)‎ A．100 B．99 C．98 D．97‎ ‎2．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)‎ A．－1 B．1 C．3 D．7‎ ‎4．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于(　　)‎ A．5 B．8‎ C．10 D．14‎ ‎5．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ ‎6．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．‎ ‎7．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.‎ B级 ‎8．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于(　　)‎ A．38 B．20 C．10 D．9‎ ‎9．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于(　　)‎ A. B. C．10 D．12‎ ‎10．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(　　)‎ A．S9>S5‎ B．d<0‎ C．a7＝0‎ D．S6与S7均为Sn的最大值 ‎11．在等差数列{an}中，a1>0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝________.‎ ‎12．若{an}是等差数列，首项a1>0，a23＋a24>0，a23·a24<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是________．‎ ‎13．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．‎ 详解答案 典型例题 例1　解　(1)由题意：，‎ 解得a1＝－5，d＝3，‎ 所以a8＝－5＋(8－1)×3＝16；‎ ‎(2)Sm＝m·＋·＝－15，整理得m2－7m－60＝0，‎ 解得m＝12或m＝－5(舍去)，‎ 故am＝＋(12－1)×＝－4.‎ 变式1　解　由题意知， ‎∴解得 ‎∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.‎ 故数列{an}的通项公式an＝2n.‎ 例2　(1)20‎ 解析　设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，∴3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.‎ ‎(2)B　[根据等差数列的前n项和公式和性质求解．‎ S11＝＝＝88.]‎ 变式2　(1)15‎ 解析　∵{an}为等差数列，∴a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.‎ ‎(2)13‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，‎ 则由已知，得 解得所以a6＝a1＋5d＝13.‎ 例3　解　方法一　利用前n项和公式和二次函数性质．‎ 由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，‎ 所以Sn＝25n＋(n－1)×(－2)＝－(n－13)2＋169，由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.‎ 方法二　先求出d＝－2，因为a1＝25>0，‎ 由　得 所以当n＝13时，Sn有最大值．‎ S13＝25×13＋×(－2)＝169.‎ 因此Sn的最大值为169.‎ 方法三　由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.‎ 由方法一知d＝－2<0，‎ 又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，‎ 故当n＝13时，Sn有最大值．‎ S13＝25×13＋×(－2)＝169.‎ 因此Sn的最大值为169.‎ 变式3　解　方法一　由d<0，a7a8<0，知a7>0，a8<0，‎ 又|a7|>|a8|，即a7>－a8，即a7＋a8>0，‎ S14＝＝7(a7＋a8)>0，‎ S13＝13a7>0，S15＝15a8<0，‎ 故满足Sn<0的n的最小值为15.‎ 方法二　由d<0，a7>0，a8<0，‎ a7＋a8>0，可得－7<<－6.5，‎ Sn＝n2＋(a1－)n，‎ 对称轴为x＝－＝－∈(7,7.5)，‎ 由于Sn＝n2＋(a1－)n相应的二次函数过原点，故此函数的另一个零点在(14,15)内，故S14>0，S15<0.‎ 故满足Sn<0的n的最小值为15.‎ 方法三　同方法二．可得－7<<－6.5，‎ 由Sn<0，得n>1－，而1－∈(14,15)，故n≥15.‎ 故满足Sn<0的n的最小值为15.‎ 强化提高 ‎1．C　[由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，‎ 因此公差d＝＝1，‎ ‎∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.]‎ ‎2．C　[由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，‎ ‎∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.]‎ ‎3．B　[由已知得a1＋a3＋a5＝3a3＝105，‎ a2＋a4＋a6＝3a4＝99，‎ ‎∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.‎ ‎∴a20＝a3＋17d＝35＋(－2)×17＝1.]‎ ‎4．B　[方法一　设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.‎ 方法二　由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.]‎ ‎5．20‎ 解析　设等差数列{an}公差为d，由题意可得：‎ 解得 则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.‎ ‎6．110‎ 解析　设首项为a1，公差为d，‎ ‎∴ 由②得2a1＋19d＝2.③‎ ‎③－①×2得15d＝－30，‎ ‎∴d＝－2，∴a1＝16－2d＝20.‎ ‎∴S10＝10a1＋×10×9d＝200－90＝110.‎ ‎7．6‎ 解析　∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.‎ 又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.‎ ‎∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.‎ ‎8．C　[因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，‎ 由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，‎ 由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，‎ 又S2m－1＝38，即＝38，‎ 即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.]‎ ‎9．B　[∵公差为1，‎ ‎∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，‎ S4＝4a1＋6.‎ ‎∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，‎ ‎∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.]‎ ‎10．A　[由S50.‎ 又S6＝S7⇒a7＝0，所以d<0.‎ 由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0即S9