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  • 2021-06-15 发布

假期培优解决方案+寒假专题突破练+高二文科数学(选修1-1必修5)(通用版)专题4+等差数列x

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专题4 等差数列 ‎1.等差数列 ‎(1)概念:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).‎ ‎(2)递推关系:an+1-an=d.‎ ‎2.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d.‎ ‎3.等差数列的主要性质 ‎(1)an-am=(n-m)d(m,n∈N*);‎ ‎(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq;‎ ‎(3)等差数列{an}中,kn∈N*,且{kn}也是等差数列,则{akn}是等差数列.‎ ‎4.等差数列的前n项和公式 Sn==na1+.‎ ‎5.等差数列前n项和Sn的性质 ‎(1)Sn存在最大值或最小值;‎ ‎(2)在等差数列{an}中,前n项和设为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…依次成等差数列;‎ ‎(3)记等差数列{an}的前偶数项和为S偶,数列前奇数项和为S奇.‎ 当项数为2n时,则有S偶-S奇=d;‎ 当项数为2n-1时,则有S2n-1=(2n-1)an.‎ ‎6.等差数列与函数的关系 ‎(1)等差数列{an}的图象:均匀地分布在相应函数y=dx+(a1-d)图象上的一群点,d的几何意义是相应直线的斜率;‎ ‎(2)等差数列{an}的前n项和Sn的图象:当d≠0时,是分布在相应函数y=x2+(a1-)x图象上的一群点.‎ 例1 已知等差数列{an}中:‎ ‎(1)a6=10,S5=5,求a8;‎ ‎(2)a1=,d=-,Sm=-15,求m及am.‎ 变式1 若等差数列{an}的公差d≠0且a1,a2是关于x的方程x2-a3x+a4=0的两根,求数列{an}的通项公式.‎ 例2 (1)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=________.‎ ‎(2)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于(  )‎ A.58 B.88 C.143 D.176‎ 变式2 (1)已知等差数列{an}中,a3+a8=22,a6=7,则a5=________.‎ ‎(2)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.‎ 例3 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.‎ 变式3 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差小于零,a7a8<0且|a7|>|a8|,求满足Sn<0的n的最小值.‎ A级 ‎1.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于(  )‎ A.100 B.99 C.98 D.97‎ ‎2.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为(  )‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ ‎3.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于(  )‎ A.-1 B.1 C.3 D.7‎ ‎4.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7等于(  )‎ A.5 B.8‎ C.10 D.14‎ ‎5.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a=-3,S5=10,则a9的值是________.‎ ‎6.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*.若a3=16,S20=20,则S10的值为________.‎ ‎7.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=________.‎ B级 ‎8.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,则m等于(  )‎ A.38 B.20 C.10 D.9‎ ‎9.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10等于(  )‎ A. B. C.10 D.12‎ ‎10.设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是(  )‎ A.S9>S5‎ B.d<0‎ C.a7=0‎ D.S6与S7均为Sn的最大值 ‎11.在等差数列{an}中,a1>0,a5=3a7,前n项和为Sn,若Sn取得最大值,则n=________.‎ ‎12.若{an}是等差数列,首项a1>0,a23+a24>0,a23·a24<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是________.‎ ‎13.已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.‎ 详解答案 典型例题 例1 解 (1)由题意:,‎ 解得a1=-5,d=3,‎ 所以a8=-5+(8-1)×3=16;‎ ‎(2)Sm=m·+·=-15,整理得m2-7m-60=0,‎ 解得m=12或m=-5(舍去),‎ 故am=+(12-1)×=-4.‎ 变式1 解 由题意知, ‎∴解得 ‎∴an=2+(n-1)×2=2n.‎ 故数列{an}的通项公式an=2n.‎ 例2 (1)20‎ 解析 设公差为d,则a3+a8=2a1+9d=10,∴3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.‎ ‎(2)B [根据等差数列的前n项和公式和性质求解.‎ S11===88.]‎ 变式2 (1)15‎ 解析 ∵{an}为等差数列,∴a3+a8=a5+a6=22,∴a5=22-a6=22-7=15.‎ ‎(2)13‎ 解析 设等差数列{an}的公差为d,‎ 则由已知,得 解得所以a6=a1+5d=13.‎ 例3 解 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质.‎ 由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2,‎ 所以Sn=25n+(n-1)×(-2)=-(n-13)2+169,由二次函数性质可知,当n=13时,Sn有最大值169.‎ 方法二 先求出d=-2,因为a1=25>0,‎ 由 得 所以当n=13时,Sn有最大值.‎ S13=25×13+×(-2)=169.‎ 因此Sn的最大值为169.‎ 方法三 由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.‎ 由方法一知d=-2<0,‎ 又因为a1>0,所以a13>0,a14<0,‎ 故当n=13时,Sn有最大值.‎ S13=25×13+×(-2)=169.‎ 因此Sn的最大值为169.‎ 变式3 解 方法一 由d<0,a7a8<0,知a7>0,a8<0,‎ 又|a7|>|a8|,即a7>-a8,即a7+a8>0,‎ S14==7(a7+a8)>0,‎ S13=13a7>0,S15=15a8<0,‎ 故满足Sn<0的n的最小值为15.‎ 方法二 由d<0,a7>0,a8<0,‎ a7+a8>0,可得-7<<-6.5,‎ Sn=n2+(a1-)n,‎ 对称轴为x=-=-∈(7,7.5),‎ 由于Sn=n2+(a1-)n相应的二次函数过原点,故此函数的另一个零点在(14,15)内,故S14>0,S15<0.‎ 故满足Sn<0的n的最小值为15.‎ 方法三 同方法二.可得-7<<-6.5,‎ 由Sn<0,得n>1-,而1-∈(14,15),故n≥15.‎ 故满足Sn<0的n的最小值为15.‎ 强化提高 ‎1.C [由等差数列性质,知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,‎ 因此公差d==1,‎ ‎∴a100=a10+90d=98,故选C.]‎ ‎2.C [由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,‎ ‎∴a6=16,∴a7-a8=(2a7-a8)=(a6+a8-a8)=a6=8.]‎ ‎3.B [由已知得a1+a3+a5=3a3=105,‎ a2+a4+a6=3a4=99,‎ ‎∴a3=35,a4=33,∴d=-2.‎ ‎∴a20=a3+17d=35+(-2)×17=1.]‎ ‎4.B [方法一 设等差数列的公差为d,则a3+a5=2a1+6d=4+6d=10,所以d=1,a7=a1+6d=2+6=8.‎ 方法二 由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=10,又a1=2,所以a7=8.]‎ ‎5.20‎ 解析 设等差数列{an}公差为d,由题意可得:‎ 解得 则a9=a1+8d=-4+8×3=20.‎ ‎6.110‎ 解析 设首项为a1,公差为d,‎ ‎∴ 由②得2a1+19d=2.③‎ ‎③-①×2得15d=-30,‎ ‎∴d=-2,∴a1=16-2d=20.‎ ‎∴S10=10a1+×10×9d=200-90=110.‎ ‎7.6‎ 解析 ∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0.‎ 又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2.‎ ‎∴S6=6×6+×(-2)=6.‎ ‎8.C [因为{an}是等差数列,所以am-1+am+1=2am,‎ 由am-1+am+1-a=0,得2am-a=0,‎ 由S2m-1=38知am≠0,所以am=2,‎ 又S2m-1=38,即=38,‎ 即(2m-1)×2=38,解得m=10,故选C.]‎ ‎9.B [∵公差为1,‎ ‎∴S8=8a1+×1=8a1+28,‎ S4=4a1+6.‎ ‎∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,‎ ‎∴a10=a1+9d=+9=.故选B.]‎ ‎10.A [由S50.‎ 又S6=S7⇒a7=0,所以d<0.‎ 由S7>S8⇒a8<0,因此,S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0即S9