数学卷·2018届四川省成都七中实验学校高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版） 21页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分．）‎ ‎1．已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣3，0），（3，0） B．（0，﹣3），（0，3） C．（﹣，0），（，0） D．（0，﹣），（0，）‎ ‎2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（　　）‎ A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2‎ ‎3．直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（　　）‎ A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣10‎ ‎4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．2‎ ‎5．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（　　）‎ A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x ‎6．直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎7．已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞2 B．﹣3＜k＜2 C．k＜﹣3或k＞2 D．以上皆不对 ‎10．已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎11．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（　　）‎ A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）‎ C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）‎ ‎12．如图所示，已知椭圆C： +y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=， =，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（　　）‎ A．10 B．5 C．6 D．3‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a=　　．‎ ‎14．椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=　　．‎ ‎15．若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m=　　．‎ ‎16．已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：‎ ‎①x+y的最小值为；‎ ‎②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；‎ ‎③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；‎ ‎④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．‎ 以上结论正确的有　　（用序号表示）‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x﹣2y﹣6=0垂直．‎ ‎（1）求直线l的方程；‎ ‎（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．‎ ‎18．求满足下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）经过两点；‎ ‎（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．‎ ‎19．（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程；‎ ‎（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．‎ ‎20．已知椭圆的短轴长为4，焦距为2．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求AB的长．‎ ‎21．已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切 ‎（Ⅰ）求圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1‎ x2，求直线L的方程．‎ ‎22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点 A，B，设P为椭圆上一点，且满足（ O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分．）‎ ‎1．已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣3，0），（3，0） B．（0，﹣3），（0，3） C．（﹣，0），（，0） D．（0，﹣），（0，）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，计算可得c的值，进而由焦点坐标公式可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为，‎ 则其焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，‎ 则c2=a2﹣b2=9，即c=3，‎ 故其焦点的坐标为（0，3），（0，﹣3）；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（　　）‎ A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，‎ 所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（　　）‎ A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣10‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】直线x+2y﹣5=0，可化为2x+4y﹣10=0，利用直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，建立方程，即可求出a．‎ ‎【解答】解：直线x+2y﹣5=0，可化为2x+4y﹣10=0，‎ ‎∵直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a=0或﹣20．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】1．作出可行域 2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z也取得最大值 ‎【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．‎ ‎　‎ ‎5．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（　　）‎ A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】结合题设条件作出图形，观察图形知图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，由此能求出其轨迹方程．‎ ‎【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为，‎ 所以P在以（1，0）为圆心，‎ 以为半径的圆上，‎ 其轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】直线y=kx+1﹣2k=k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），只需判断点P（2，1）与椭圆的位置关系即可．‎ ‎【解答】解：直线y=kx+1﹣2k=k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），∵，∴点P（2，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为相交．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2）‎ ‎， ⇒+=0，⇒，‎ ‎【解答】解：设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2）‎ 线段AB中点为（1，1），∴x1+x2=2，y1+y2=2‎ ‎， ⇒+=0，‎ ‎⇒，l的斜率是．‎ 故选：C ‎　‎ ‎8．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】由kx+y+1﹣k=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，斜率为﹣k，分别求出kBC，kAC，由此利用数形结合法能求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由kx+y﹣k﹣1=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，‎ ‎∴直线过定点C（1，1），‎ 又A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），‎ 讨论临界点：‎ 当直线l经过B点（﹣3，﹣2）时，‎ kBC=﹣k==，‎ 结合图形知﹣k∈[，+∞）成立，∴k∈（﹣∞，﹣]；‎ 当直线l经过A点（2，﹣3）时，‎ kAC=﹣k==﹣4，‎ 结合图形知﹣k∈（﹣∞，﹣4]，∴k∈[4，+∞）．‎ 综上k∈（﹣∞，﹣]∪[4，+∞）．‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞2 B．﹣3＜k＜2 C．k＜﹣3或k＞2 D．以上皆不对 ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，可求k的范围，根据过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=16﹣k2，‎ 所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜，‎ 又点（1，2）应在已知圆的外部，‎ 把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，‎ 解得：k＞2或k＜﹣3，‎ 则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．‎ 故选D ‎　‎ ‎10．已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：椭圆+=1的a=2，b=，c=1．‎ 根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，‎ 不妨设P是椭圆+=1上的第一象限内的一点，‎ S△PF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•==|F1F2|•yP=yP．‎ 所以yp=．‎ 则 ‎=（﹣1﹣xp，﹣yP）•（1﹣xP，﹣yP）‎ ‎=xp2﹣1+yp2‎ ‎=4（1﹣）﹣1+yp2‎ ‎=3﹣‎ ‎=‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（　　）‎ A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）‎ C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．‎ ‎【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，‎ ‎∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d==1，‎ 整理得：m+n+1=mn≤，‎ 设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，‎ ‎∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，‎ ‎∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，‎ 解得：x≥2+2或x≤2﹣2，‎ 则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．‎ 故选D ‎　‎ ‎12．如图所示，已知椭圆C： +y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=， =，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（　　）‎ A．10 B．5 C．6 D．3‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由向量线性运算的几何意义可得，故而DF2∥QN，DF1∥PN，于是，于是=5a．‎ ‎【解答】解：∵，即，‎ ‎∴，∴，‎ 又，，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴DF2∥NQ，DF1∥NP，‎ ‎∴，，∴，‎ 根据椭圆的定义，得|DF1|+|DF2|=2a=4，‎ ‎∴，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a=　﹣8　．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】由题意和直线的斜率公式可得a的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得AC的斜率等于AB的斜率，‎ ‎∴=，解得a=﹣8‎ 故答案为：﹣8‎ ‎　‎ ‎14．椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=　8　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆的定义及椭圆标准方程求得到|PF1|+|PF2|=2a=6，由∠F1PF2=90°可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=（2c）2=20，两边平方即可求得|PF1|•|PF2|．‎ ‎【解答】解：∵椭圆方程：圆，‎ ‎∴a2=9，b2=4，可得c2=a2﹣b2=5，‎ 设|PF1|=m，|PF2|=n，∵∠F1PF2=90°，可得PF1⊥PF2，‎ m+n=6，m2+n2=20‎ ‎∴36=20+2mn 得2mn=16，即mn=8，‎ ‎∴|PF1|•|PF2|=8．‎ 故答案为：8‎ ‎　‎ ‎15．若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m=　23或13　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】‎ 根据圆的方程，找出圆心坐标和半径r，根据平移规律“上加下减，左加右减”表示出平移后直线的方程，根据平移后直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2=1的圆心坐标为（0，0），半径r=1，‎ 直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后解析式为：‎ ‎3（x﹣2）+4（y﹣3）+m=0，即3x+4y+m﹣18=0，‎ 由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d==1，‎ 解得：m=23或13．‎ 故答案为23或13．‎ ‎　‎ ‎16．已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：‎ ‎①x+y的最小值为；‎ ‎②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；‎ ‎③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；‎ ‎④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．‎ 以上结论正确的有　①③④　（用序号表示）‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】根据圆的标准方程得到圆的参数方程，由x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，判断①正确；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故直线和圆可能相切、相交，判断②不正确；由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴对称，求出点M到AB的距离为15，故AB的方程为y=18﹣15=3，判断③正确；利用圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），从而得到x，y∈N*时xy的值，判断④正确．‎ ‎【解答】解：方程x2+y2+4y﹣96=0 即 x2+（y+2）2=100，表示以（0，﹣2）为圆心，以10为半径的圆．‎ 令x=10cosθ，y=﹣2+10sinθ，有x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，故①正确；‎ 方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R） 即 m（x﹣2y+16）﹣（2x+y﹣8）=0，‎ 表示过x﹣2y+16=0 与2x+y﹣8=0交点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，‎ 故有的直线和圆有两个交点，有的直线和圆有一个交点，故②不正确；‎ 过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，由圆的对称性、切线的对称性知，‎ A，B关于y轴对称．而切线MA=，MA 与y轴的夹角为30°，‎ 点M到AB的距离为MA•cos30°=15，故AB的方程为y=18﹣15=3，故③正确；‎ 圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），若x，y∈N*，则xy的值为36或32，故④正确．‎ 综上，①③④正确，‎ 故答案为：①③④．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x﹣2y﹣6=0垂直．‎ ‎（1）求直线l的方程；‎ ‎（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）求出交点坐标，利用与直线x﹣2y﹣6=0垂直，求直线l的方程；‎ ‎（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，根据点到直线的距离公式，建立方程，即可求实数a的值．‎ ‎【解答】解：（1）联立两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0，得交点（1，6），‎ ‎∵与直线x﹣2y﹣6=0垂直，‎ ‎∴直线l的方程为2x+y﹣8=0；‎ ‎（2）∵点P（a，1）到直线l的距离为，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a=6或1．‎ ‎　‎ ‎18．求满足下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）经过两点；‎ ‎（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）由椭圆，求得焦点坐标，设所求椭圆的方程为，（a2＞5），将A（﹣3，2）代入椭圆方程，求得a2的值，即可求得椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），‎ ‎∵椭圆经过点，‎ ‎∴，‎ 解得m=，n=，‎ ‎∴所求的椭圆方程为；‎ ‎（2）∵椭圆的焦点为F（±，0），‎ ‎∴设所求椭圆的方程为，（a2＞5），‎ 把点（﹣3，2）代入，得，‎ 整理，得a4﹣18a2+45=0，‎ 解得a2=15，或a2=3（舍）．‎ ‎∴所求的椭圆方程为．‎ ‎　‎ ‎19．（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程；‎ ‎（2）△‎ ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）首先设所求圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，然后根据点A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）在圆上列方程组解之；‎ ‎（2）由已知得AB⊥AC，AB=4，AC=5，BC=12，由此求出△ABC内切圆的半径和圆心，由此能求出△ABC内切圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，①‎ 因为A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）都在圆上，‎ 所以它们的坐标都满足方程①，‎ 于是，可解得a=2，b=﹣3，r=25，‎ 所以△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=25．‎ ‎（2）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（0，12），‎ ‎∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，‎ ‎∴△ABC内切圆的半径r==2，圆心（2，2），‎ ‎∴△ABC内切圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆的短轴长为4，焦距为2．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求AB的长．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）椭圆的短轴长为4，焦距为2．可得a，b；‎ ‎（2）过F1倾斜角为45°的直线l：y=x+1．‎ 把y=x+1．代入圆的方程为：．得7x2+8x﹣8=0，‎ 由韦达定理及弦长公式可计算AB．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆的短轴长为4，焦距为2．∴a=2，c=1，b=，‎ 椭圆的方程为：．‎ ‎（2）由（1）得椭圆C的左焦点F1（﹣1，0），过F1倾斜角为45°的直线l：y=x+1．‎ 把y=x+1．代入圆的方程为：．得7x2+8x﹣8=0，‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2），x1，+x2=﹣，x1x2=﹣，‎ AB==．‎ ‎　‎ ‎21．已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切 ‎（Ⅰ）求圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1‎ x2，求直线L的方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），由直线3x﹣4y+9=0与圆M相切可求出a值，进而可得圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，满足条件，当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线L的方程，最后综合讨论结果，可得答案．‎ ‎【解答】解：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），‎ ‎∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切 ‎∴=3．‎ 解得a=2，或a=﹣8（舍去），‎ 所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），‎ 此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，‎ 由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，‎ 整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）‎ 所以 由已知得：‎ 整理得：7k2﹣24k+17=0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中，‎ 判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，‎ 即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0‎ 综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点 ‎ A，B，设P为椭圆上一点，且满足（ O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；‎ ‎（2）设A、B、P的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理及向量知识，即可求t的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，…1分 所以．即a2=2b2．…2分 又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，‎ ‎∴，…3分，‎ 则a2=2．…4分 故椭圆C的方程为． …6分 ‎（2）由题意知直线AB的斜率存在．‎ 设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），‎ 由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．‎ ‎△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得…7分 且，．‎ ‎∵足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．‎ 当t=0时，不满足；‎ 当t≠0时，解得x==，‎ y===，‎ ‎∵点P在椭圆上，∴，‎ 化简得，16k2=t2（1+2k2）…8分 ‎∵＜，∴，‎ 化简得，‎ ‎∴，‎ ‎∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得，即，…10分 ‎∵16k2=t2（1+2k2），∴，…11分 ‎∴或，‎ ‎∴实数取值范围为…12分 ‎　‎