2017-2018学年辽宁省辽河油田第二高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题 解析版 18页

绝密★启用前 辽宁省辽河油田第二高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知数列为等差数列，且，则的值为 A． B． 45 C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知及等差数列性质有，故选B.‎ ‎2．若，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：用已知函数值的角表示要求的角，再由两角和差公式得到结果.‎ 详解：= ‎ 因为， ,,故 ‎ 代入得到结果为：.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：这个题目考查了三角函数中给值求值的问题，用到两角和差公式，由已知角表示要求的角，注意在已知正弦求余弦或者已知余弦求正弦时，注意缩小角的范围.‎ ‎3．函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数的图象向右平移个单位后得到.‎ 此函数图象关于原点对称，所以.所以.‎ 当时，.‎ 故选D.‎ 点睛：由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．‎ ‎4．已知向量，，则向量在向量上的投影是（ ）‎ A． 2 B． 1 C． −1 D． −2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考察的是对投影的理解，一个向量在另一个向量上的投影即一个投影在另一个投影方向上的长度。‎ ‎【详解】‎ 在上的投影方向相反，长度为2，所以答案是.‎ ‎【点睛】‎ 本题可以通过作图来得出答案。‎ ‎5．若函数 ，且，， 的最小值是，则的单调递增区间是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先要对三角函数进行化简，再通过 的最小值是推出函数的最小正周期，然后得出的值，最后得出函数的单调递增区间。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 再由，， 的最小值是可知，。‎ 的单调递增区间为，‎ ‎ 。‎ ‎【点睛】‎ 本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间。‎ ‎6．若不等式对一切恒成立,则的取值范围是 (　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是通过x的取值范围推导出a的取值范围，可先将a与x分别放于等式的两边，在通过x的取值范围的出a的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 因为 所以 所以，解得 ‎【点睛】‎ 本题主要考察未知字母的转化，可以先将需要求解的未知数和题目已给出未知数区分开来，再进行求解。‎ ‎7．数列满足，则数列的前20项的和为（ ）‎ A． B． 100 C． D． 110‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以先将前几项的式子列出，通过观察得出规律，计算出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ 由上述可知 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 在计算项数比较多的计算时，可以先列举几项，找出规律，再得出结果。‎ ‎8．设，，则大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴（无法取到等号），‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 故选A.‎ ‎9．已知，且，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先通过和求出，再通过相邻对称轴之间的距离计算出函数的周期，借此算出的值，最后带入得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为，且 所以 因为相邻两条对称轴之间的距离等于 所以周期为，，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题在计算过程中需要特别注意题目所给出的角的取值范围以及三角函数之间的转化。‎ ‎10．在中，内角所对的边分别为，已知，且，则面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考察的是解三角形公式的运用，可以化简得出角C的大小以及的最大值，然后得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎，C=‎ ‎，解得 所以 ‎【点睛】‎ 在解三角形过程中，要对一些特定的式子有着熟练度，比如说、等等，根据这些式子就要联系到我们的解三角形的公式当中去。‎ ‎11．下列命题中正确的是（ ）‎ A.的最小值是2 ‎ B.的最小值是2 ‎ C.的最大值是 ‎ D.的最小值是 ‎【答案】C ‎【解析】因为A.的最小值是2，只有x>0成立。 ‎ B.的最小值是2 ，取不到最小值。‎ C.的最大值是 ，成立 D.的最小值是，不成立。故选C ‎12．若集合,则实数的取值范围是 (　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题需要考虑两种情况，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 设 当时，，满足题意 当时，时二次函数 因为 所以恒大于0，即 所以，解得。‎ ‎【点睛】‎ 本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知等比数列为递增数列.若，且，则数列的公比__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以点把转化为一个关于公比的一元二次方程，再根据递增数列得出结论。‎ ‎【详解】‎ ‎，或 因为等比数列为递增数列 所以 ‎【点睛】‎ 要注意一个递增的等比数列，它的公比大于1。‎ ‎14．已知向量，，若与垂直，则的值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：根据题意，由向量坐标计算公式可得2﹣的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得（2﹣）•=﹣3+x2=0，解可得x的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．‎ 详解：根据题意，向量=（1，x），=（﹣1，x），‎ 则2﹣=（3，x），‎ 若2﹣与垂直，则（2﹣）•=﹣3+x2=0，‎ 解可得：x=±，‎ 则||==2，‎ 故答案为：2．‎ 点睛：本题考查向量数量积的坐标计算，关键是求出x的值．‎ ‎15．已知函数的最小正周期为，则当时函数的一个零点是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以先对函数进行化简，然后通过最小正周期得出的值，最后得出零点。‎ ‎【详解】‎ 因为最小正周期为 所以 所以当时函数的一个零点是。‎ ‎【点睛】‎ 本题的计算是要注意未知数的取值范围以及题目给出的定义域。‎ ‎16．在平面上，，，．若，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以通过建立平面直角坐标系，将给的向量条件坐标化，然后把所求的也用坐标表示出来，最后根据式子采用适当的方法得出结果。‎ ‎【详解】‎ 设，则有 因为 所以 ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ 因为 所以①+②得 即 由①②可知 带入③中可知 综上可得 所以，的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 在做向量类的题目的时候，可以通过构造直角坐标系，用点的坐标来表示向量以及向量之间的关系，借此来得出答案。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在中，内角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，的面积为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可通过化简计算出的值，然后解出的值。‎ ‎ （ 2）可通过计算和的值来计算的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得， ‎ 又，所以，得，所以。‎ ‎（2）由的面积为及得，即 ，‎ 又，从而由余弦定理得，所以， ‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。‎ ‎18．已知数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，记数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可以通过取计算出，再通过取时计算出,得出答案。‎ ‎ （2）可通过裂项相消求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，有，解得.‎ 当时，有，‎ 则，‎ 整理得：，数列是以为公比，以为首项的等比数列．‎ 所以，‎ 即数列的通项公式为：． ‎ ‎（2）由（1）有，则 所以 易知数列为递增数列，所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考察的是求数列的通项公式以及构造数列然后求和，求等比数列的通项公式可以先求首项和公比，求和可以通过裂项相消求解。‎ ‎19．已知中，内角所对的边分别为，设向量，，．‎ ‎(1)若，求证：为等腰三角形；‎ ‎(2)若，边长，角，求的面积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以通过解三角形的正弦定理进行角与边之间的转化得出结果，‎ 可通过向量以及解三角形的余弦定理进行求解。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明　因为，所以。‎ 即，‎ 其中R是△ABC外接圆半径，所以。‎ 所以为等腰三角形．‎ ‎(2)解　由题意知，‎ 即。‎ 所以 由余弦定理可知，，‎ 所以，‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考察的是解三角形与向量的综合运用，对相关的公式要能熟悉使用。‎ ‎20．若，解关于的不等式.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是含有参数的解不等式，可以先将不等式转化为的形式，再通过分类讨论参数得出解。‎ ‎【详解】‎ 时，且；‎ 时，‎ 等价于 因为，所以，‎ 所以不等式可化简为 当时，或。‎ 当时，，或 综上所述，时，且；‎ ‎ 时或 时，或 ‎【点睛】‎ 在解含有参数的不等式的时候，一定要注意参数的取值范围并进行分类讨论。‎ ‎21．设为数列的前项和，且，．‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）求．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可通过和来构造数列，得出是等比数列，在带入得出首项的值，以此得出数列解析式。‎ 可以先把分成两部分依次求和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 即，则，‎ 所以，又，‎ 故数列是首项为2，公比为2的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，‎ 故．‎ 设，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查构造数列以及数列的错位相减法求和。‎ ‎22．已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；‎ ‎（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值．‎ ‎【答案】（1）3；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以通过曲线的极坐标方程求出曲线的直角坐标方程，再通过得出的最大值。‎ 可以先求出E点坐标，再通过参数方程性质求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，‎ 即曲线的直角坐标方程为 ， ‎ 根据题意得，‎ 因此曲线上的动点P到原点O的距离的最大值为． ‎ ‎（2）由（1）知直线与轴交点E的坐标为，曲线的参数方程为：，曲线的直角坐标方程为， ‎ 联立得， ‎ 又，所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考察的参数方程与极坐标方程性质，需要对参数方程以及极坐标方程与直角坐标方程的转化十分熟练。‎ ‎23．设函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若存在使不等式成立，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题需要分类讨论，对去绝对值的两种情况分类讨论。‎ 可以先令，在对进行分类讨论求出最小值，最后得出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得，‎ ‎∴‎ ‎∴不等式的解集为 ‎ ‎(2)令 则，∴ ‎ ‎∵存在x使不等式成立，∴‎ ‎【点睛】‎ 在遇到含有绝对值的不等式的时候，一定要根据函数解析式去绝对值的几种情况进行分类讨论。‎