专题33+空间向量及其运算（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 12页

专题33 空间向量及其运算 ‎1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)‎ A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b ‎【答案】C ‎【解析】若c、a＋b、a－b共面，‎ 则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，‎ 则a、b、c为共面向量，此与{a、b、c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底。 ‎ ‎2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：‎ ‎①(－)－； ②(＋)－；‎ ‎③(－)－2； ④(＋)＋。‎ 其中能够化简为向量的是(　　)‎ A．①②　 　B．②③　 　C．③④　 　D．①④‎ ‎【答案】A ‎3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ等于(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．－2或 D．2或－ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得＝＝，‎ ‎∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝。 ‎ ‎4．平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若′＝x＋2y－3z′，则x＋y＋z＝(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】＝＋＝＋＋＝＋＋＝x＋2y－3z，故x＝1，y＝，z＝－，∴x＋y＋z＝1＋－＝。 ‎ ‎5．已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD夹角的大小为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．75°‎ ‎【答案】C ‎6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)‎ A.a B.a C.a D.a ‎【答案】A ‎【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，‎ 则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，‎ N。设M(x，y，z)。‎ ‎∵点M在上且＝，‎ ‎∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，‎ ‎∴x＝a，y＝，z＝，得M，‎ ‎∴||＝ ‎＝a。 ‎ ‎7．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)‎ A．垂直　 　　 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 ‎【答案】B　‎ ‎8．如图766，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　)‎ 图766‎ A．(－a＋b＋c)‎ B．(a＋b－c)‎ C．(a－b＋c)‎ D．(－a－b＋c)‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c)．‎ ‎9．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为(　　)‎ A．(3,0,0) B．(0,3,0)‎ C．(0,0,3) D．(0,0，－3)‎ ‎【答案】C　‎ ‎10．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) ‎ A． B． C． D． ‎【答案】D　‎ ‎【解析】∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，‎ ‎∴b＝(1,1,2)．‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝.‎ ‎∴a与b的夹角为，故选D． ‎ ‎11．如图767，在大小为 45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)‎ 图767‎ A． B． C．1 D． ‎【答案】D　‎ ‎【解析】∵＝＋＋，‎ ‎∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.‎ ‎12．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)‎ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 ‎【答案】C　‎ ‎13．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________. ‎ ‎【答案】平行　‎ ‎【解析】如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b，由题意知＝b－c，＝－＝a－b＋c.‎ 因此＝＋，‎ ‎∴，，共面．‎ 又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.‎ ‎14．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.‎ ‎【答案】－9　‎ ‎【解析】由题意知c＝xa＋yb，‎ 即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，‎ ‎∴解得λ＝－9.‎ ‎15．如图768，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.‎ 图768‎ ‎【答案】－　‎ ‎16．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.‎ ‎【答案】(3，－2,2)　‎ ‎【解析】因为a∥b，所以＝＝，‎ 解得x＝2，y＝－4，‎ 此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，‎ 又因为b⊥c，所以b·c＝0，‎ 即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)． ‎ ‎17．如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若＝λ(＋)，则λ＝__________。‎ ‎【答案】 ‎【解析】如图所示，取AC的中点G，‎ 连接EG、GF，‎ 则＝＋＝(＋)‎ ‎∴λ＝。 ‎ ‎18．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·最小时，点Q的坐标是________。‎ ‎【答案】 ‎19．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出四个命题：‎ ‎①(＋＋)2＝3()2；‎ ‎②·(－)＝0；‎ ‎③与的夹角为60°；‎ ‎④此正方体的体积为|··|。‎ 则正确命题的序号是__________(填写所有正确命题的序号)。‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】①∵|＋＋|＝||＝||，‎ ‎∴正确；‎ ‎②∵·(－)＝·－·；‎ ‎∵(，)＝(，)，||＝||‎ ‎∴·－·＝0.∴正确；‎ ‎③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°，但与的夹角为120°，＝，注意方向，‎ ‎④·＝0，正确的应是||·||·||。 ‎ ‎20．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M、N、P分别是AA1‎ ‎、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎(1)；(2)；(3)＋。‎ ‎＝＋＝c＋a，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝a＋b＋c。‎ ‎21．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：‎ ‎(1)a，b，c；‎ ‎(2)(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值。‎ ‎22．如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，，0)，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°。‎ ‎(1)求的坐标；‎ ‎(2)设和的夹角为θ，求cosθ的值。‎ ‎【解析】(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E。在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝。‎ ‎∴DE＝CDsin30°＝。‎ OE＝OB－BDcos60°＝1－＝。‎ ‎＝＝－。‎ ‎∴cosθ＝－。 ‎ ‎23．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.‎ ‎(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；‎ ‎(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值. ‎ ‎【解析】解　(1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)‎ ‎＝(－2，－1,2)，‎ ‎∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，‎ ‎∴|c|＝＝3|m|＝3，‎ ‎∴m＝±1.‎ ‎∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．‎ ‎(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．‎ ‎∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.‎ 又∵|a|＝＝，‎ ‎|b|＝＝，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－，‎ 故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.‎ ‎24．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．‎ ‎(1)求|2a＋b|；‎ ‎(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)‎ .‎ ‎25.如图769，在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．‎ 图769‎ ‎(1)求证：CE⊥A′D；‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．‎ ‎【解析】解　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，‎ 根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，‎ 且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ‎ ‎∴·＝－c2＋b2＝0.‎ ‎ ‎