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- 2021-06-15 发布
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4.3
一元二次不等式的应用
关键能力
·
合作学习
类型一 解分式不等式
(
数学运算
)
【
题组训练
】
1.
若
p: ≥0,q:x
2
-7x+10<0,
则
p
是
q
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
2.
若关于
x
的不等式
>0
的解集为
(-∞,-1)∪(4,+∞),
则实数
a=
.
3.
不等式
>1
的解集为
.
【
解析
】
1.
选
B.p:(x-5)(x-2)≤0
且
x≠2,
故
20⇔(x+1)(x-a)>0,
又因为原不等式的解集为
(-∞,-1)∪(4,+∞),
所以
(x+1)(x-4)>0,
所以
a=4.
答案
:
4
3.
原不等式化为
-1>0,
即
<0,
所以
(6x-4)(4x-3)<0,
所以
所以原不等式的解集为
.
答案
:
【
解题策略
】
解分式不等式的策略
(1)
对于形如
>0(<0)
的不等式可等价转化为
f(x)g(x)>0(<0)
来解决
;
对于
形如 ≥
0(≤0)
的不等式可等价转化为 来解决
.
(2)
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式
,
先移项再通分
(
不要去分母
),
使之转化为不等号右边为零
,
然后再用上述方法求解
.
【
补偿训练
】
若不等式
+m<0
的解集为
{x|x<3
或
x>4},
则
m
的值为
.
【
解析
】
由
+m<0,
得
<0,
即
[(1+m)x+m
2
-1](x+m)<0.
因为不等式
+m<0
的解集为
{x|x<3
或
x>4}.
所以
x=3
与
x=4
是方程
[(1+m)x+m
2
-1](x+m)=0
的两个根
,
且
1+m<0.
所以 所以
m=-3.
答案
:
-3
类型二 一元二次不等式的实际应用
(
数学建模、数学运算
)
【
典例
】
国家原计划以
2 400
元
/
吨的价格收购某种农产品
m
吨
.
按规定
,
农户向国家纳税为
:
每收入
100
元纳税
8
元
(
称作税率为
8
个百分点
,
即
8%).
为了减轻农民负担
,
制定积极的收购政策
.
根据市场规律
,
税率降低
x
个百分点
,
收购量能增加
2x
个百分点
.
试确定
x
的范围
,
使税率调低后
,
国家此项税收总收入不低于原计划的
78%.
四步
内容
理解
题意
条件
:(1)
收购价
2 400
元
/
吨
,
收购量
m
吨
;
(2)
原税率
8
个百分点
,
降低
x
个百分点
,
收购量能增加
2x
个百分点
.
结论
:
求
x
的范围
,
使税收总收入不低于原计划的
78%.
思路
探求
按照“税收总收入
=
收购价
×
收购量
×
税率”
由题意
,
列出关系式并求解
.
①
四步
内容
书写
表达
设税率调低后“税收总收入”为
y
元
.
y=2 400m(1+2x%)·(8-x)%
=-
m(x
2
+42x-400)(00,
所以
00
对一切实数
x
都成立”
,
试求
k
的取值
范围
.
【
解析
】
当
k=0
时
,
不等式为
>0,
显然成立
;
当
k≠0
时
,
则有
解得
00(a≠0)
恒成立⇔
ax
2
+bx+c≤0(a≠0)
恒成立⇔
(2)
在给定区间上的恒成立问题
.
①a>0
时
,ax
2
+bx+c<0
在
x∈{x|α≤x≤β}
上恒成立
⇔
y=ax
2
+bx+c
在
x=α,x=β
时的函数值同时小于
0.
②a<0
时
,ax
2
+bx+c>0
在
x∈{x|α≤x≤β}
上恒成立
⇔
y=ax
2
+bx+c
在
x=α,x=β
时的函数值同时大于
0.
【
题组训练
】
1.
设
a
为常数
,
∀
x∈R,ax
2
+ax+1>0,
则
a
的取值范围是
(
)
A.(0,4) B.[0,4)
C.(0,+∞) D.(-∞,4)
【
解析
】
选
B.∀x∈R,ax
2
+ax+1>0,
则必有 或
a=0,
所以
0≤a<4.
2.
若对于任意
x∈[m,m+1],
都有
x
2
+mx-1<0
成立
,
则实数
m
的取值范围是
.
【
解析
】
作出二次函数
y=x
2
+mx-1
的草图
,
对于任意
x∈[m,m+1],
都有
x
2
+mx-1<0,
则 解得
- 0
C.m≠0 D.
不确定
【
解析
】
选
B.
因为
0∈M,
所以
<0.
所以
m>0.
4.
不等式
x
2
+mx+ >0
恒成立的条件是
.
【
解析
】
x
2
+mx+ >0
恒成立
,
等价于
Δ<0,
即
m
2
-4× <0⇔0100,
解得
n<2
或
n>7,
故
n=1,8,9,10,11,12,
共
6
个月
.
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