高三数学（文数）总复习练习专题十四 概率 37页

‎1．(2015·课标Ⅰ，4，易)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C　从1，2，3，4，5中任取3个数，共有10种选法，而为勾股数的只有3，4，5，故所求概率为.选C.‎ ‎2．(2015· 广东，7，中)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)‎ A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1‎ ‎【答案】　B　首先对5件产品编号为1，2，3，4，5.其中1，2两件为次品，3，4，5为正品，从5件产品中任取2件产品，共有事件为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个事件．‎ 其中恰有一件为次品的事件为：(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，共6个事件．‎ ‎∴恰有一件次品的概率P＝＝＝0.6，选B.‎ ‎3．(2015·江苏，5，易)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．‎ ‎【解析】　4只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出2只球所有可能的情况有：白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共6种情况，其中2只球颜色不同的有5种，故P＝.‎ ‎【答案】　 ‎4．(2015·山东，16，12分，中)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ 未参加演讲社团 ‎2‎ ‎30‎ ‎(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；‎ ‎(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．‎ 解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人．‎ 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，‎ 所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，‎ ‎{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．‎ 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．‎ 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．‎ 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.‎ ‎5．(2015·湖南，16，12分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．‎ ‎(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；‎ ‎(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．‎ 解：(1)所有可能的摸出结果是 ‎{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．‎ ‎(2)不正确．理由如下：‎ 由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为 ‎{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，‎ 共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．‎ ‎6．(2015·陕西，19，12分，中)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．‎ 解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市在该天不下雨的概率为.‎ ‎(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，‎ 前一天为晴天的“互邻日期对”有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.‎ 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.‎ ‎1．(2012·湖北，2，易)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：‎ 分组 ‎[10，20)‎ ‎[20，30)‎ ‎[30，40)‎ ‎[40，50)‎ ‎[50，60)‎ ‎[60，70)‎ 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 则样本数据落在区间[10，40)的频率为(　　)‎ A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65‎ ‎【答案】　B　数据落在[10，40)的频率为＝＝0.45，故选B.‎ ‎2．(2014·江西，3，易)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　掷两颗均匀的骰子，得到的点数有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个基本事件，其中点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4个，故所求概率为＝.故选B.‎ ‎3．(2014·湖北，5，易)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则(　　)‎ A．p10就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．‎ ‎(1)写出数量积X的所有可能取值；‎ ‎(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．‎ 解：(1)由题意得X的所有可能取值为－2，－1，0，1.‎ ‎(2)数量积为－2的有·，共1种；‎ 数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；‎ 数量积为0的有·，·，·，·，共4种；‎ 数量积为1的有·，·，·，·，共4种．故所有可能的情况共有1＋6＋4＋4＝15(种)．‎ 所以小波去下棋的概率为P1＝；‎ 因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.‎ 思路点拨：本题(1)的解题关键是根据向量的坐标，求出其数量积；本题(2)先根据(1)的结果求出各数量积对应的两个向量的个数，再求概率．‎ 考向1　随机事件的频率与概率 ‎1．随机事件概率的基本性质 ‎(1)概率的取值范围为0≤P(A)≤1；‎ ‎(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.‎ ‎2．频率和概率 ‎(1)频数与频率：在相同的条件S下进行n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数n的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．‎ ‎(2014·陕西，19，12分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ ‎3 000‎ ‎4 000‎ 车辆数(辆)‎ ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；‎ ‎(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．‎ ‎【思路导引】　在第(1)问中，可先用频率估计概率，得到赔付金额为3 000元、4 000元时对应事件的概率，然后将欲求概率的事件转化为两互斥事件的和，即可求得其概率；在第(2)问中，应分别计算出在已投保车辆中，车主为新司机的车辆数以及赔付金额为4 000元的车主为新司机的车辆数，然后求出新司机车主获赔金额为4 000元的频率，最后以频率估计概率即得．‎ ‎【解析】　(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.‎ 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1× 1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有120×20%＝24(辆)．‎ 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，‎ 由频率估计概率得P(C)＝0.24.‎ ‎ 随机事件概率问题的求解方法 在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，各基本事件均对应于集合I的含有一个元素的子集．包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A，于是事件A的概率为P(A)＝.‎ ‎(2011·湖南，18，12分)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，‎ Y增加5.已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.‎ ‎(1)完成如下的频率分布表：‎ 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．‎ 解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎(2)P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)‎ ‎＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)‎ ‎＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.‎ 考向2　互斥事件与对立事件的概率 ‎1．互斥事件及其概率的加法公式 ‎(1)定义：若A∩B为不可能事件(记作：A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．‎ ‎(2)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；‎ ‎(3)一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生(指事件A1，A2，…，An中至少有一个发生)的概率等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．‎ ‎2．对立事件及其概率公式 ‎(1)定义：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，则事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．‎ ‎(2)若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．A的对立事件记为，‎ 当计算事件A的概率P(A)比较困难时，可通过P(A)＝1－P()计算．‎ ‎(1)两个事件互斥未必对立，但对立一定互斥．‎ ‎(2)只有事件A，B互斥时，才有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则公式不成立．‎ ‎(1)(2014·广东，12)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．‎ ‎(2)(2014·河北唐山一模，18，12分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求：①至多2人排队等候的概率；‎ ‎②至少3人排队等候的概率．‎ ‎【思路导引】　(1)先列举出所有基本事件，再从中找出符合条件的，代入古典概型概率公式求解；(2)根据互斥事件，第①问可转化为等候的人数为0人、1人和2人的概率和；第②问可转化为等候的人数为3人、4人和5人及5人以上的概率和，或转化为先求其对立事件“至多2人排队等候”，然后利用对立事件概率公式求解．‎ ‎【解析】　(1)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，共有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)10种不同的取法，含有a的取法有4种，‎ 故所求概率为＝0.4.‎ ‎(2)记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．‎ ‎①记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎②方法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ 方法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.‎ ‎ 互斥事件、对立事件概率的求法 ‎(1)解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．‎ ‎(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：‎ ‎①直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；‎ ‎②间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解，即用正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法就显得较简便．‎ ‎(2015·湖北黄石二模，18，12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．‎ 解：(1)P(A)＝，P(B)＝＝，‎ P(C)＝＝.‎ 故事件A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．‎ 设“1张奖券中奖”为事件M，则 M＝A∪B∪C.‎ ‎∵A，B，C两两互斥，‎ ‎∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.‎ 故1张奖券的中奖概率为.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，由对立事件概率公式得 P(N)＝1－P(A∪B)‎ ‎＝1－＝.‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ 考向3　古典概型 ‎1．古典概型的两个特点 ‎(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件；‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的．‎ ‎2．古典概型的概率公式 ‎(1)在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件的概率都是.‎ ‎(2)如果随机事件A包含的基本事件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝.即对于古典概型，任何事件的概率为P(A)＝.‎ 求古典概型的概率时，应注意试验结果的有限性和所有结果的等可能性．‎ ‎(2014·四川，16，12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ ‎【解析】　(1)由题意，(a，b，c)所有的可能结果为 ‎(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2，)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，‎ 则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．‎ ‎∴P(A)＝＝.‎ ‎∴“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，‎ 则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．‎ ‎∴P(B)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是列举出所有的基本事件，根据古典概型的概率公式求相应事件的概率；解题(2)应用对立事件公式使问题更简洁．‎ ‎ 求古典概型概率的步骤 ‎(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；‎ ‎(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；‎ ‎(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；‎ ‎(4)计算事件A的概率P(A)＝.‎ ‎(2013·山东，17，12分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；‎ ‎(2)从该小组同学中任选2个，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．‎ 解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．‎ 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P1＝.‎ ‎1．(2015·河南安阳二模，5)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)‎ A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5‎ ‎【答案】　C　“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，‎ ‎∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35，故选C.‎ ‎2．(2014·湖北黄冈一模，3)设集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，分别从集合A和B中随机抽取数x和y，确定平面上的一个点P(x，y)，记“点P(x，y)满足条件x2＋y2≤16”为事件C，则P(C)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　分别从集合A和B中随机抽取数x和y，得到(x，y)的可能结果有36种情况，满足x2＋y2≤16的(x，y)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8种情况，故所求概率P(C)＝＝，故选A.‎ ‎3．(2015·山东威海一模，5)从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　由题意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．m⊥n即m·n＝0，‎ 所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，‎ 满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2种情况，所以所求概率为，故选A.‎ ‎4．(2014·广东广州二模，3)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C　能组成的两位数有12，13，20，30，21，31，共6个，其中的奇数有13，21，31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是＝，故选C.‎ ‎5．(2014·山西晋中名校联考，9)记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个．而方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的条件是a2－8b>0，满足此条件的基本事件有：(3，1)，(4，1)，‎ ‎(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，共有9个，故所求概率为＝.故选B.‎ ‎6．(2015·湖南益阳一模，4)4张卡上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　因为从4张卡片中任取出2张有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6种情况，其中2张卡片上数字和为偶数的有(1，3)，(2，4)这2种情况，所以2张卡片上的数字为偶数的概率为，故选B.‎ ‎7．(2015·江苏苏州一模，5)下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学，如果没有2位同学一块儿走，则第2位走的是男同学的概率是________．‎ ‎【解析】　已知有2位女同学和2位男学生，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走的是男同学的概率是P＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎8．(2014·山东潍坊三模，13)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________．‎ ‎【解析】　m可能取到的值有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，对应的基本事件个数依次为1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，∴两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大．‎ ‎【答案】　7‎ ‎9．(2014·河北张家口调研，18，12分)某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性，举行了一次数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名数学家与他们所著的4本著作一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把数学家与著作一对一全部连起来．‎ ‎(1)求该参赛者恰好连对一条的概率；‎ ‎(2)求该参赛者得分不低于6分的概率．‎ ‎9．解：记4名数学家分别为a，b，c，d，对应的著作分别为A，B，C，D，根据题意，不同的连线方法共对应下列24种情况：‎ ，，，，，，，， ‎，，，，，，，，，，，，，，，.‎ 其中恰好连对一条的情况有8种：‎ ，，，，，，，.‎ 恰好连对2条的情况有6种：‎ ，，，，，.‎ 全部连对的情况只有1种：.‎ ‎(1)恰好连对一条的概率为＝.‎ ‎(2)得分不低于6分，即全部连对或恰好连对2条的概率为＝.‎ ‎1．(2015·山东，7，中)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　∵－1≤log≤1，‎ ‎∴≤x＋≤2，‎ ‎∴0≤x≤，故所求概率P＝＝，故选A.‎ ‎2．(2015·湖北，8，中)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则(　　)‎ A．p1＜p2＜ B．p1＜2.‎ ‎∴所求事件的概率为＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎1．(2012·北京，3，易)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D　不等式组表示的区域如图正方形所示，而所求点可以存在的位置如图阴影部分，阴影部分面积等于正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此P＝＝.故选D.‎ ‎2．(2011·福建，7，易)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C　点Q取自△ABE内部的概率P＝＝＝.‎ ‎3．(2012·辽宁，11，中)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C　设AC＝x，则CB＝12－x(020，解得2