【推荐】专题8-5+直线、平面垂直的判定和性质-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学 33页

真题回放 ‎1. 【2017江苏，15】 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.‎ ‎ 求证： AD⊥AC.‎ ‎【答案】见解析 ‎【考点】线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理 ‎【名师点睛】‎ ‎(1)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(2)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎2. 【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)‎ 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.‎ 求证：平面B1DE⊥平面A1C1F. ‎ ‎【答案】详见解析 考点：直线与直线、平面与平面位置关系 ‎【名师点睛】垂直关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(2)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎(3)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. ‎ ‎3. 【2015江苏高考，16】（本题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；‎ ‎ （2）.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 试题解析：（1）由题意知，为的中点，‎ 又为的中点，因此．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为棱柱是直三棱柱，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 又因为，平面，平面，，‎ 所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ 因为，所以矩形是正方形，因此．‎ 因为，平面，，所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ ‎【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理 ‎【名师点晴】不要忽视线面平行的判定定理中线在面外条件．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线, 常利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. 证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交线这一条件．证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 直线与平面垂直的判定及性质 B 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：1、常融合平行、垂直等多种关系于一体考察，以选择题居多；2、直接考查证明直线与平面垂直，常在解答题中的第一问考查； 3、以线面垂直的探讨性问题居多，一般以是否存在某定点的形式考察，常在解答题中的第二问考查。 ‎ 知识链接 ‎1．直线与平面垂直 ‎(1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.直线和平面所成的角 ‎(1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．‎ ‎(2)范围：[0，]．‎ ‎3．平面与平面垂直 ‎(1)二面角的有关概念 ‎①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；‎ ‎②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．‎ ‎(2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 融会贯通 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例1　(2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝.‎ 证明：D′H⊥平面ABCD.‎ ‎【答案】见解析 解题技巧与方法总结 证明线面垂直的常用方法及关键 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．‎ ‎(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎【变式训练】(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎【答案】见解析 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 例2　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】证明　(1)方法一　‎ 取PA的中点H，连接EH，DH.‎ 又E为PB的中点，‎ 所以EH綊AB.‎ 又CD綊AB，‎ 所以EH綊CD.‎ 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 方法二　‎ 连接CF.‎ ‎ ‎ ‎(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为AB⊥PA，‎ 所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.‎ 又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.‎ 所以AB⊥平面EFG.‎ 又因为M，N分别为PD，PC的中点，‎ 所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面EFG.‎ 又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.‎ 引申探究 ‎1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】证明　因为AB⊥PA，AB⊥AC，‎ 且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.‎ 又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面PAC.‎ 又MN⊂平面EMN，‎ 所以平面EMN⊥平面PAC. ‎ ‎2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.‎ ‎【答案】见解析 解题技巧与方法总结 ‎ (1)判定面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．‎ ‎(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．‎ 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．‎ ‎【变式训练】(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎【答案】见解析 题型三　垂直关系中的探索性问题 例3　如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.‎ ‎(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；‎ ‎(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】见解析 ‎ (2)解　线段BE上存在点G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE.‎ 证明如下：‎ 取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，‎ 连接GD，GF，‎ ‎∵CF＝EF，∴GF⊥CE.‎ 在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.‎ 由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.‎ 又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.‎ ⇒GF⊥平面CDE.‎ 又GF⊂平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.‎ 此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H，‎ ‎∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，‎ 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，‎ ‎∴HB＝BC＝EF.‎ 由△HGB∽△FGE可知＝，即BG＝BE.‎ 解题技巧与方法总结 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．‎ ‎【变式训练】(2016·北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝.‎ ‎(1)求证：B1C∥平面A1BM；‎ ‎(2)求证：AC1⊥平面A1BM；‎ ‎(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎ ‎(2)证明　∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥BM，‎ 又∵M为棱AC中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.‎ ‎∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，‎ ‎∴BM⊥AC1.‎ ‎∵AC＝2，∴AM＝1.‎ 又∵AA1＝，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，‎ tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝.‎ ‎∴∠AC1C＝∠A1MA，‎ 即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，‎ ‎∴A1M⊥AC1.‎ ‎∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.‎ ‎ ‎ 练习检测 ‎1.（吉林省实验中学2016-2017学年度高二下学期期末）在如图所示的几何体中，底面ABCD中，AB⊥AD，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．‎ ‎(1)求证：平面DEC⊥平面BDE；‎ ‎(2)求点A到平面BDE的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由勾股定理及逆定理可得，从而有线面垂直，于是可得面面垂直；‎ ‎ ‎ ‎(2)解　如图，取CD的中点O，连接OE，‎ 因为△DCE是边长为6的正三角形，‎ 所以EO⊥CD，EO＝3，‎ 易知EO⊥平面ABCD，‎ 则VE－ABD＝××2×3×3＝3，‎ 又因为直角三角形BDE的面积为×6×＝3，‎ 设点A到平面BDE的距离为h，则由VE－ABD＝VA－BDE，‎ 得×3h＝3，所以h＝，所以点A到平面BDE的距离为．‎ ‎【点睛】在求几何体体积时常有两种方法：(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高.‎ ‎2．（安徽省亳州市二中2017届高三下学期教学质量检测）如图所示，四棱锥，已知平面平面， ．‎ ‎（I）求证： ；‎ ‎（II）若，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ 点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．‎ ‎3．（北京市昌平区2017年高三第二次统一练习）在四棱锥中， 为正三角形，平面平面， ， ， .‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置并证明；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）存在，证明见解析.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）在棱上存在点，当为的中点时， 平面.‎ 分别取的中点，连结.‎ 所以. 因为， ，‎ 所以.‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以平面平面.‎ 因为平面，‎ 所以平面. ‎ ‎4．（四川省成都七中实验学校2016-2017学年高二下学期期中）如图，在三棱柱中侧棱垂直于底面， ，点是的中点。‎ ‎（Ⅰ）求证： ； ‎ ‎（Ⅱ）求证： 平面。‎ ‎【答案】(1) 详见解析;(2) 详见解析.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设与的交点为，连结，‎ 为平行四边形，所以为中点，‎ 又是的中点，所以是三角形的中位线， ， ‎ 又因为平面， 平面，所以平面 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. ‎ ‎5．（河南省新乡市2017届高三第三次模拟）如图，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直， ， ， 且.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）过作平面，垂足为，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎（2）解：取的中点，连接，则，连接，过作于，‎ ‎∵平面，∴，∴平面，∴，∴平面，‎ ‎∴与重合.‎ 在中， ， ， ，由，得，∴.‎ 过作，垂足为，易证平面，交于，则，‎ 且.‎ ‎∴.‎ ‎6．（四川省遂宁市2017届高三三诊考试）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=BB1， ，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；‎ ‎（1）求证：BD⊥平面；‎ ‎（2）若且，求三棱锥A-BCB1的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（１）运用线面垂直判定定理推证；（２）先求三棱锥的高与底面面积再运用三棱锥的体积公式求解：‎ ‎（1）连结ED， ‎ ‎∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C∥平面A1BD，‎ ‎∴B1C∥ED， ‎ ‎∵E为AB1中点，∴D为AC中点， ‎ ‎∵AB=BC， ∴BD⊥AC①‎ ‎【法一】：由A1A⊥平面ABC， 平面ABC，得A1A⊥BD②，‎ 由①②及A1A、AC是平面内的两条相交直线，得BD⊥平面. ‎ ‎ ‎ ‎7．（湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟）如图，四边形为菱形， 为与的交点， 平面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积（平面为底面）．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ．‎ 考点：1．平面与平面平行的判定定理；2．空间几何体的侧面积和体积．‎ ‎【易错点睛】本题主要考查立体几何中线面之间的位置关系,以及表面积和体积的计算,属于中档题． 在(1)中,要证明面面垂直,而由面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即由线面垂直得到面面垂直．由, ,得出平面,又平面，所以平面平面．在(2)中,利用三棱锥的体积为,求出的长度,再求出个侧面的面积,它们的和即为三棱锥的侧面积．‎ ‎8．（山西省临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学2016-2017学校高二4月联考）如图，在各棱长为的直四棱柱中，底面为棱形， 为棱上一点，且 ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）平面将四棱柱分成上、下两部分，求这两部分的体积之比. ‎ ‎（棱台的体积公式为，其中分别为上、下底面面积， 为棱台的高）‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎（2）解：连接，过作交于，则 则平面与侧面相交的线段为 故平面将四棱柱分成上、下两部分中的上部分由三棱台组成，‎ 取的中点,连接 底面为菱形， ‎ 为正三角形，即也为正三角形， ‎ 又底面 平面 ‎ ‎ 又四棱柱的体积为 ‎ ‎ ‎