2017-2018学年湖北省沙市中学高二下学期第四次半月考数学（理）试题 Word版 10页

2017-2018 学年湖北省沙市中学高二下学期第四次半月 考理数试卷 考试时间：2018 年 6 月 9 日 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2．已知命题 ；命题 ，则下列命题中为真命题的是 A． B． C． D． 3．设随机变量 x 服从正态分布 N（2，9），若 ，则 m= A． B． C． D．2 4．设复数 ，若 ，则 的概率为 A． B． C． D． 5．已知函数 ，曲线 上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的 切线都与 轴垂直，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6．若双曲线 的一条渐近线与圆 至多有一个交点，则双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 7．设 x，y 满足约束条件 则 的最大值是 A． B． C． D． 8．若抛物线 上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6，则抛物线方 : , 2 3x xp x∀ ∈ − = < + 2 3 4 3 5 3 ( 1) i ( , )z x y x y= − + ∈R | | 1z ≤ y x≥ 3 1 4 2π+ 1 1 2 π+ 1 1 2 π− 1 1 4 2π− 2 2 2 1( 0)yx bb − = > 2 2( 2) 1x y+ − = (1, 2 ] (1, 3 ] (1, 2 ] (1, 4 ] 7 0, 3 1 0, 2 5 0, x y x y x y + − ≤  − + ≤  − − ≥ yz x = 5 2 3 4 4 3 2 5 2 2 ( 0)y px p= > 程为 A． B． C． 或 D． 或 9．用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有 A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个 10．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举. 这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相 除法”，当输入 时，输出的 （ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如 下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷 的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调 查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只 有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 12．定义：如果函数 在 上存在 ， 满足 ， ，则称函数 是 上的“双中值函 数”，已知函数 是 上的“双中值函数”，则实数 a 的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上对应题号后的横 线上） 13．如图，点 A 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（2，4）， 函数 ．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点 取自阴影部分的概率等于 ▲ ． 14． 的展开式中， 的系数是 ▲ ．（用数字填写答案） 15.点是圆上的动点，点，为坐标原点，则面积的最小值是__________． 16. 若 的有且仅有一个零点，则 的取值范围是__________. 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 2 4y x= 2 36y x= 2 4y x= 2 36y x= 2 8y x= 2 32y x= ( )f x [ , ]m n 1x 2x 1 2( )m x x n< < < 1 ( ) ( )( ) f n f mf x n m −′ = − 2 ( ) ( )( ) f n f mf x n m −′ = − ( )f x [ , ]m n 3 2( )f x x x a= − + [0, ]a 1 1( , )3 2 1( ,3)2 1( ,1)2 1( ,1)3 2( )f x x= 5(2 )x x+ 3x ( ) ln af x x ax = + − a 17．（10 分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采取随机抽样的方法抽取了 名 学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组， 再将每组学生的月上网次数分为 组： ， 得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 ： （1）写出 的值； （2）求抽取的 名学生中月上网次数不少于 次的学生的人数； （3）在抽取的 名学生中，从月上网次数少于 次的学生中随机抽取 人，求至少抽取 到 名男生的概率. 18..（12 分）已知函数 的图象过点 . （1）求函数 的单调增区间； （2）若函数 有 3 个零点，求 的取值范围. 19.（12 分）某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购 买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了 50 名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低 于 60 分，说明购买意愿弱；若得分不低于 60 分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表 示如图所示. 80 5 [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]0 5 , 5,10 10,15 15,20 20,25， ， ， ， a 80 15 80 5 2 1 ( ) 3 2 26 4 a af x x x ax= − − − 104, 3A     ( )f x ( ) ( ) 2 3g x f x m= − + m （1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断是否有 95%的把握认为市民是否购买该款 手机与年龄有关？ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 20~40 岁 大于 40 岁 合计 （2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取 5 人，从这 5 人中随机抽取 2 人进行采访，记抽到的 2 人中年龄大于 40 岁的市民人数为，求的分布列和数学期望. 附：. 20．（12 分）如图所示的平面图形中，ABCD 是边长为 2 的正方形，△HDA 和△GDC 都是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，点 E 是线段 GC 的中点．现将△HDA 和△GDC 分别沿着 DA，DC 翻折，直到点 H 和 G 重合为点 P．连接 PB，得如图的四棱锥． （1）求证：PA//平面 EBD； （2）求二面角 大小．C PB D− − 21 ．（ 12 分 ） 已 知 椭 圆 的 长 轴 长 是 短 轴 长 的 倍 ， 且 过 点 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）若 的顶点 、 在椭圆上， 所在的直线斜率为 ， 所在的直线斜 为 ，若 ，求 的最大值． 22.（12 分）已知函数 ， ． （1）求函数 的单调区间； （2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 ( )2, 2 OAB∆ A B OA 1k OB 2k 2 1 2 2 bk k a ⋅ = − OA OB⋅  ( ) 21ln 2f x x ax= − a R∈ ( )f x x ( ) ( )1 1f x a x≤ − − a 高二数学（理科）参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分） BBBDD CBCBD BD 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13． 14．10 15．2 16． 三、解答题（70 分） 17．【答案】(1) ；(2) 名学生中月上网次数少于 次的学生人数有 人；(3) ． 18.【答案】(1) 函数 的递增区间是 ， (2) （2）由（1）知 ， 同理， ， 由数形结合思想，要使函数 有三个零点， 则 ，解得 .所以 的取值范围为 . 19.【答案】（Ⅰ）表格如解析所示，没有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关； （Ⅱ）X 的分布列如解析所示，期望为 . 【解析】 （Ⅰ）由茎叶图可得： 购买意愿强 购买意愿弱 合计 20~40 岁 20 8 28 大于 40 岁 10 12 22 合计 30 20 50 由列联表可得：， 0.05a = 80 15 28 ( ) 9 3 15 5P A = = 5 12 ( ] { },0 1−∞  ( )f x ( ), 1−∞ − ( )2,+∞ 7 13,6 12  −   ( ) ( )max 1 11 3 2f x f= − = − − 52 2 6 + − = − ( ) ( )min 82 23f x f= = − 164 2 3 − − = − ( ) ( ) 2 3g x f x m= − + 16 52 33 6m− < − < − 7 13 6 12m− < < m 7 13,6 12  −   所以，没有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． 20．解：（Ⅰ）证明：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 EO，因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 为 AC 的中点，又因为 E 为 PC 中点， 所以 EO 为△CPA 的中位线，所以 EO//PA …………2 分 因为 EO 平面 EDB，PA 平面 EDB 所以 PA//平面 EDB………………………………………………………4 分 （Ⅱ）由题意有 ， 故 DA，DC，DP 两两垂直 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 …………6 分 有 由题知 又因为 AC 平面 ABCD，所以 ， 又 ， ，所以 所以平面 PBD 的法向量是 设平面 PBC 的法向量 ， 由于 ， 则有 ，所以 令 ，得 … 则 由图可知求二面角 的平面角为锐角， 所 以 二 面 角 的 大 小 为 60o………12 分 ⊂ ⊄ , ,PD DC PD DA AD CD⊥ ⊥ ⊥ D xyz− (0,0,0), (0,0,2), (2,2,0), (0,1,1), (2,0,0), (0,2,0)D P B E A C PD ABCD⊥ 平面 ⊂ AC PD⊥ AC BD⊥ PD BD D= AC PBD⊥ 平面 ( 2,2,0)AC = − ( , , )x y z=n (2,2, 2)PB = − (0,2, 2)PC = − 0 0 PB PC  = =     n n 2 2 2 0 2 2 0 x y z y z + − =  − = 1z = (0,1,1)=n 2 0 2 1 0 1 1cos , | || | 22 2 2 ACAC AC − × + × + ×〈 〉 = = = ×  nn n C PB D− − C PB D− − 21.【答案】（1） ；（2）2. 试 题 解 析 ： （ 1 ） 由 题 意 得 解 得 ∴ 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ． （2）设 ， ，不妨设 ， ． 由 ，∴ （ ）， 直线 、 的方程分别为 ， ， 联立 解得 ， ． 22.【答案】（1）见解析（2）2 试题解析：（1）函数 的定义域为 ．由题意得 ， 当 时， ，则 在区间 内单调递增； 当 时，由 ，得 或 （舍去）， 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单 2 2 18 4 x y+ = 2 2 2 2 2 , { 4 2 1, a b a b = + = 2 2,{ 2, a b = = 2 2 18 4 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 0x > 2 0x > 2 1 2 2 1 2 bk k a = − = − 2 1 1 2k k = − 1 0k ≠ OA OB 1y k x= 2 1 1 2y k x xk = = − 1 2 2 , { 1,8 4 y k x x y = + = 1 2 2 1 ,2{ 1,8 4 y xk x y = − + = 1 2 1 2 2 1 2 x k = + 1 2 2 1 4 1 2 kx k = + ( )f x ( )0,+∞ ( ) 21 1' axf x axx x −= − = 0a ≤ ( )' 0f x > ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )' 0f x = 1x a = 1x a = − 10 x a < < ( )' 0f x > ( )f x 1x a > ( )' 0f x < ( )f x 调递减． 所以当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间； 当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． （2）由 ，得 ， 因 为 ， 所 以 原 命 题 等 价 于 在 区 间 内 恒 成 立 ． [ 令 ， 所以存在唯一的 ，使得 ， 且当 时， ， 单调递增， 当 时， ， ， 所以当 时， 有极大值，也为最大值，且 ， 所以 ，又 ，所以 ,所以 ，因为 ， 故整数 的最小值 为 2． 0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )f x 10, a       1 ,a  +∞    ( )21ln 1 12x ax a x− ≤ − − ( ) ( )22 ln 1 2x x a x x+ + ≤ + 0x > ( ) 2 2 ln 1 2 x xa x x + +≥ + ( )0,+∞ ( ) ( ) 2 2 ln 1 2 x xg x x x + += + 0 1 ,12x  ∈   ( )0 0 02ln 0h x x x= + = 00 x x< < ( )' 0g x > ( )g x 0x x> ( )' 0g x < ( )g x 单调递减 0x x= ( )g x ( ) ( )0 0 2max 0 0 2 ln 1 2 x xg x x x + += + ( )0 0 0 2 2 x x x += + 0 1 x = 0 1a x ≥ 0 1 ,12x  ∈   ( ) 0 1 1,2x ∈ 2a ≥ a Z∈ a