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  • 2021-06-15 发布

【推荐】专题10 圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点-2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练(浙江版)

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十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点 一、选择题 ‎1.【2017年云南省第二次统一检测】已知,直线与曲线只有一个公共点 ,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线化简为: ,圆心到直线的距离为 ,整理为: ,即 ,整理为 ,设 ,所以 ,解得 或 (舍),即 ,解得: ,故选C.‎ ‎2.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点, (),若曲线上存在点,使得,则正实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3.设,若直线与圆相切,则的取值范围是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛:与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.‎ ‎(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如型的最值问题,可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题;②形如型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如型的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.‎ ‎4.【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线上总存在点,使得过点作的圆: 的两条切线互相垂直,则实数的取值范围是( )‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图,设切点分别为A,B.连接AC,BC,MC,由及知,四边形MACB为正方形,故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直,只需圆心到直线的距离,即∴,故选C.‎ ‎5.若方程x-2cosθ‎2‎‎+y-2sinθ‎2‎=1‎‎0≤θ<2π的任意一组解x,y都满足不等式y≥‎3‎‎3‎x,则θ的取值范围是( )‎ A. π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎ B. ‎5π‎12‎‎,‎‎3π‎12‎ C. π‎2‎‎,π D. ‎π‎3‎‎,π ‎【答案】D ‎6.【2017届河北省衡水中学高三下第二次摸底】椭圆的左焦点为,上顶点为,右顶点为,若的外接圆圆心在直线的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设,且的外接圆的方程为,将分别代入可得,由可得,即,所以,即,所以,应选答案A.‎ ‎7.【2017届山西省实验中学高三下模拟】已知圆的方程为,过直线: ()上的任意一点作圆的切线,若切线长的最小值为,则直线在轴上的截距为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图,由,得圆心坐标为(3,4),‎ 要使切线长最小,即圆心到直线l: (a>0)的距离最小,‎ ‎8.【2017届重庆市巴蜀中学高三三诊】设是双曲线的右顶点, 是右焦点,若抛物线的准线上存在一点,使,则双曲线的离心率的范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF= ,所以AF弦,圆心,半径圆上任取一点P, ,现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.填A.‎ ‎9.【2017年湖南省考前演练卷三】中心为原点的椭圆焦点在轴上, 为该椭圆右顶点, 为椭圆上一点, ,则该椭圆的离心率的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎10.【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线y‎2‎‎=4x的焦点为F,点Px,y为该抛物线上的动点,点A是抛物线的准线与坐标轴的交点,则PFPA的最小值是( )‎ A. B. ‎2‎‎2‎ C. ‎3‎‎2‎ D. ‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解得:k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0,‎ 所以△=(2k2﹣4)2﹣4k4=0,解得k=±1,‎ 所以∠NPA=45°,‎ PFPA‎=cos∠NPA=‎2‎‎2‎.‎ 故选B.‎ ‎11.【2017届河北省石家庄市高三二模】已知动点在椭圆上,若点的坐标为,点满足, ,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 结合图形知,当 点为椭圆的右顶点时, ‎ 取最小值 最小值是 故选:C.‎ ‎12.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】设为坐标原点, 是以为焦点的抛物线()上任意一点, 是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得,设,则,可得.当且仅当时取得等号,选A.‎ 二、填空题 ‎13.【2018届河南省中原名校(即豫南九校)高三上第二次联考】直线与抛物线y‎2‎‎=4x交于两不同点A,B.其中Ax‎1‎‎,‎y‎1‎,Bx‎2‎‎,‎y‎2‎,若y‎1‎y‎2‎‎=-36‎,则直线恒过点的坐标是__________.‎ ‎【答案】‎‎9,0‎ ‎【解析】设直线为x=my+n,‎则x=my+ny‎2‎‎=4x得y‎2‎‎-4my-4n=0‎,‎∴‎y‎1‎‎+y‎2‎=4my‎1‎y‎2‎‎=-4n,‎y‎1‎y‎2‎‎=-36‎ ‎∴-4n=-36,∴n=9,‎直线为x=my+9‎,恒过‎9,0‎ 故答案为‎9,0‎.‎ ‎14.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知椭圆的方程为,过椭圆中心的直线交椭圆于两点, 是椭圆右焦点,则的周长的最小值为__________, 的面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】 10 .‎ ‎15.【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】设圆与抛物线相交于两点, 为抛物线的焦点,若过点且斜率为 的直线与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为,则的值__________ ,若直线与抛物线相交于两点,且与圆相切,切点在劣弧上,则的取值范是__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】如图所示,联立圆与抛物线的方程可得交点坐标为: ‎ ‎∵点F坐标为(0,1),∴kFB=,∴kl>kFB,‎ 所以直线l与圆交于P1、P3两点,与抛物线交于P2、P4两点,‎ 设 把直线l方程:y=x+1代入x2=4y,得x2−4x−4=0,∴x2+x4=4;‎ 把直线l方程:y=x+1代入x2+y2=12,得2x2+2x−11=0,∴x1+x3=−1‎ ‎∴,‎ ‎∵直线m与该圆相切,∴,即,‎ 又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴分别过A. B的圆的切线的斜率为.‎ ‎∴k∈[],∴0⩽k2⩽2,∴,‎ ‎∵b>0,∴b∈[]‎ 所以|MF|+|NF|的取值范围为.‎ ‎16.【2018届河南省中原名校高三上第一次联考】如图,两个椭圆, 内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上的任意一点,给出下列四个判断:‎ ‎ ①P到F1(-4,0)、F2(4,0)、E1(0,-4)、E2(0,4)四点的距离之和为定值;‎ ‎ ②曲线C关于直线y=x、y=-x均对称;③曲线C所围区域面积必小于36.‎ ‎ ④曲线C总长度不大于6π.上述判断中正确命题的序号为________________.‎ ‎【答案】②③‎ 故答案为:②③.‎ 三、解答题 ‎17.【2018届南宁市高三摸底】已知抛物线C:y‎2‎=axa>0‎上一点Pt,‎‎1‎‎2‎到焦点F的距离为‎2t.‎ ‎(l)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)抛物线上一点A的纵坐标为1,过点Q‎3,-1‎的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k‎1‎‎,‎k‎2‎,求证:k‎1‎‎×‎k‎2‎为定值.‎ ‎【答案】(1)y‎2‎‎=x;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程,两个未知数,可求得抛物线方程。(2)由(1)知抛物线的方程y‎2‎‎=x,及A‎1,1‎,Q‎3,-1‎,设过点Q‎3,-1‎的直线的方程为x-3=my+1‎,代入y‎2‎‎=x得y‎2‎‎-my-m-3=0‎,由韦达定理可求得k‎1‎k‎2‎为定值上。‎ 试题解析:(1)由抛物线的定义可知PF‎=t+a‎4‎=2t,则a=4t,‎ 由点Pt,‎‎1‎‎2‎在抛物线上,则at=‎‎1‎‎4‎,‎ ‎∴a×a‎4‎=‎‎1‎‎4‎,则a‎2‎‎=1‎,‎ 由a>0‎,则a=1‎,‎ ‎∴抛物线的方程y‎2‎‎=x.‎ ‎18.【2018届广西柳州市高三上摸底】已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,且抛物线上有一点到焦点的距离为5.‎ ‎(1)求该抛物线的方程;‎ ‎(2)已知抛物线上一点,过点作抛物线的两条弦和,且,判断直线是否过定点?并说明理由.‎ ‎【答案】(1).(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求; (2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程 ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用 得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由题意设抛物线方程为,‎ 其准线方程为,‎ ‎∵到焦点的距离等于到其准线的距离, ‎ ‎∴,∴.‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎∵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即,得: ,‎ ‎∴,即或,‎ 代人①式检验均满足,‎ ‎∴直线的方程为: 或.‎ ‎∴直线过定点(定点不满足题意,故舍去).‎ ‎19.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知动点满足: .‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)设过点的直线与曲线交于两点,点关于轴的对称点为(点与点不重合),证明:直线恒过定点,并求该定点的坐标.‎ ‎【答案】(1);(2)直线过定点 ,证明见解析.‎ 试题解析:(1)由已知,动点到点, 的距离之和为,‎ 且,所以动点的轨迹为椭圆,而, ,所以,‎ 所以,动点的轨迹的方程: . ‎ ‎(2)设, ,则,由已知得直线的斜率存在,设斜率为,则直线的方程为: ‎ 由 得,‎ 所以, , ‎ 直线的方程为: ,所以,‎ 令,则,‎ 所以直线与轴交于定点.         ‎ ‎20.【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎经过点A‎1,‎‎3‎‎2‎,C的四个顶点构成的四边形面积为‎4‎‎3‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)E,F为椭圆上的两个动点,是否存在这样的直线AE,AF,使其满足:①直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数;②线段EF的中点在直线x=‎‎1‎‎2‎上.若存在,求出直线AE和AF的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1) x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎;(2) 直线AE,AF的方程分别为y=‎3‎‎2‎x,y=-‎3‎‎2‎x+3‎或y=-‎3‎‎2‎x+3‎,y=‎3‎‎2‎x.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由已知得‎1‎a‎2‎‎+‎9‎‎4‎b‎2‎=1‎ab=2‎‎3‎a>b>0‎,‎ 解得a‎2‎‎=4,b‎2‎=3‎,‎ ‎∴椭圆C的方程x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎.‎ ‎(2)设直线AE的方程为y-‎3‎‎2‎=kx-1‎,代入x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎,得 ‎3+4‎k‎2‎x‎2‎‎+4k‎3-2kx+4k‎2‎-12k-3=0‎‎.(*)‎ 设Ex‎1‎‎,‎y‎1‎,Fx‎2‎‎,‎y‎2‎,且x=1‎是方程(*)的根,‎ ‎∴x‎1‎‎=‎‎4k‎2‎-12k-3‎‎3+4‎k‎2‎,‎ 用‎-k代替上式中的k,可得x‎2‎‎=‎‎4k‎2‎+12k-3‎‎3+4‎k‎2‎,‎ 故EF中点横坐标为x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=‎3+4‎k‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 解得k=±‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴直线AE,AF的方程分别为y=‎3‎‎2‎x,y=-‎3‎‎2‎x+3‎或y=-‎3‎‎2‎x+3‎,y=‎3‎‎2‎x.‎ ‎21.【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知椭圆C‎1‎‎:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎ a>b>0‎的离心率为,过点E‎7‎‎,0‎的椭圆C‎1‎的两条切线相互垂直.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C‎1‎的方程;‎ ‎(Ⅱ)在椭圆C‎1‎上是否存在这样的点P,过点P引抛物线C‎2‎‎:x‎2‎=4y的两条切线l‎1‎‎,‎l‎2‎,切点分别为B,C,且直线BC过点A‎1,1‎?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎;(Ⅱ)满足条件的点P有两个.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)由椭圆的对称性,不妨设在x轴上方的切点为M,x轴下方的切点为N,‎ 则kNE‎=1‎,NE的直线方程为y=x-‎‎7‎,‎ 因为椭圆C‎1‎‎:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎ a>b>0‎的离心率为,‎ 所以椭圆C‎1‎‎:x‎2‎‎4‎c‎2‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1‎,‎ 所以y=x-‎7‎,‎x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1,‎ Δ=0‎,则c=1‎,‎ 所以椭圆方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎.‎ ‎(Ⅱ)设点Bx‎1‎‎,‎y‎1‎,Cx‎2‎‎,‎y‎2‎,Px‎0‎‎,‎y‎0‎,‎ 由x‎2‎‎=4y,即y=‎‎1‎‎4‎x‎2‎,得y‎'‎‎=‎1‎‎2‎x,‎ ‎∴抛物线C‎2‎在点B处的切线l‎1‎的方程为y-y‎1‎=‎x‎1‎‎2‎x-‎x‎1‎,‎ 即y=x‎1‎‎2‎x+y‎1‎-‎‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎,‎ ‎∵y‎1‎‎=‎‎1‎‎4‎x‎1‎‎2‎,∴y=x‎1‎‎2‎x-‎y‎1‎.‎ ‎∵点Px‎0‎‎,‎y‎0‎在切线l‎1‎上,∴y‎0‎‎=x‎1‎‎2‎x‎0‎-‎y‎1‎.①‎ 同理,y‎0‎‎=x‎2‎‎2‎x‎0‎-‎y‎2‎.②‎ 综合①、②得,点Bx‎1‎‎,‎y‎1‎,Cx‎2‎‎,‎y‎2‎的坐标都满足方程y‎0‎‎=x‎2‎x‎0‎-y.‎ ‎∵经过Bx‎1‎‎,‎y‎1‎,Cx‎2‎‎,‎y‎2‎两点的直线是唯一的,‎ ‎∴直线BC的方程为y‎0‎‎=x‎2‎x‎0‎-y,‎ ‎∵点A‎1,1‎在直线BC上,∴y‎0‎‎=‎1‎‎2‎x‎0‎-1‎,‎ ‎∴点P的轨迹方程为y=‎1‎‎2‎x-1‎.‎ 又∵点P在椭圆C‎1‎上,又在直线y=‎1‎‎2‎x-1‎上,‎ ‎∴直线y=‎1‎‎2‎x-1‎经过椭圆C‎1‎内一点‎0,-1‎,‎ ‎∴直线y=‎1‎‎2‎x-1‎与椭圆C‎1‎交于两点.‎ ‎∴满足条件的点P有两个.‎ ‎22.【2018届江苏省仪征中学高三10月检测】椭圆C: 的长轴是短轴的两倍,点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为、、,且、、恰好构成等比数列,记△的面积为S.‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)试判断是否为定值?若是,求出这个值;若不是,请说明理由?‎ ‎(3)求S的范围.‎ ‎【答案】(1) (2)5(3)‎ 设直线的方程为,代入椭圆方程,消去,根据、、恰好构成等比数列,求出,进而表示出,即可得出结论。‎ 表示出的面积,利用基本不等式,即可求出的范围。‎ ‎(2)依题意,直线斜率存在且,设直线的方程为(),、‎ 由 ‎,因为、、恰好构成等比数列,‎ 所以,‎ 即;‎ 所以       ‎ 此时 得,且(否则:,则,中至少有一个为,直线、中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾)    ‎ 所以;‎ 所以 所以是定值为5;       ‎ ‎(3)(,且)‎ 所以 .‎

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