2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一下学期期末考试数学试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=‎ A．-3 B．-2‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.‎ ‎【详解】‎ 由，，得，则，．故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．‎ ‎2．椭圆以轴和轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即，又椭圆经过点(2，0)，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即，又椭圆经过点(2，0)，‎ 则若焦点在x轴上，则，，椭圆方程为；‎ 若焦点在y轴上，则，，椭圆方程为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程的求解，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3．设等差数列的前项和为，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用等差数列的基本量解决问题.‎ ‎【详解】‎ 解：设等差数列的公差为，首项为，‎ 因为，，‎ 故有，‎ 解得，‎ ‎，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式，解决问题的关键是熟练运用基本量法.‎ ‎4．已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意，圆经过点，可设且，半径为，‎ 则，解得，所以圆的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎5．曲线与曲线的（）‎ A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 ‎【答案】D ‎【解析】首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项.‎ ‎【详解】‎ 首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率 ，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的几何性质，属于基础题型.‎ ‎6．若实数满足，则的最大值是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据，将等式转化为不等式，求的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，，‎ 的最大值是.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.‎ ‎7．已知直线l的方程是y＝2x＋3，则l关于y＝－x对称的直线方程是(　　)‎ A．x－2y＋3＝0 B．x－2y＝0‎ C．x－2y－3＝0 D．2x－y＝0‎ ‎【答案】A ‎【解析】将x＝－y，y＝－x代入方程y＝2x＋3中，得所求对称的直线方程为－x＝－2y＋3，即x－2y＋3＝0.‎ ‎8．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的焦点是，圆与椭圆的四个交点是,‎ 设，，， ‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型 ‎9．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】易得，圆心到直线的距离为，由点在圆上，可得点到直线距离的取值范围为,进而可得面积的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为直线分别与轴，轴交于，两点，‎ 所以，.‎ 圆的圆心为，半径为.‎ 圆心到直线的距离为.‎ 所以点到直线距离的最小值为，‎ 最大值为.‎ 所以，即.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的综合问题，三角形面积的取值范围的求法.若直线与圆相离，则圆上的动点到直线的距离的最大值(最小值)是圆心到直线的距离加上(减去)半径.‎ ‎10．已知椭圆的方程为()，如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为（）‎ A．2 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先求解交点的坐标，再根据椭圆的性质可知点的坐标是 ‎ ，再代入椭圆方程，解的值.‎ ‎【详解】‎ 设焦点，代入直线，可得，‎ 由椭圆性质可知，‎ ‎，解得或（舍）‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的基本性质，考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎11．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A．40 B．18 C．4 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】先画出不等式的可行域，将目标函数转化为动直线纵截距的最大值求解即可.‎ ‎【详解】‎ 不等式所表示的平面区域如图所示，‎ 平移直线，当直线的纵截距最大时z有最大值.‎ 当所表示直线经过点B（0，3）时，有最大值18.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 利用线性规划求最值的步骤：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域．‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．‎ ‎(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ ‎12．设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）‎ A．290 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可 ‎【详解】‎ 由得，‎ 当时，，整理得，‎ 所以是公差为4的等差数列，又，‎ 所以，从而，‎ 所以，‎ 数列的前10项的和.‎ 故选.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题 二、填空题 ‎13．两圆交于点和，两圆的圆心都在直线上，则 ‎____________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 由圆的性质可知，直线与直线垂直，‎ ‎，直线的斜率，‎ ‎，解得.‎ 故填：3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相交圆的几何性质，和直线垂直的关系，考查数形结合的思想与计算能力，属于基础题.‎ ‎14．向量满足：，与的夹角为，则＝_____________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据模的计算公式可直接求解.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量模的求法，属于基础题型.‎ ‎15．若的两边长分别为和，其夹角的余弦为，则其外接圆的面积为______________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先根据余弦定理求第三边，再求其对边的正弦值，最后根据正弦定理求半径和面积.‎ ‎【详解】‎ 设第三边为，，‎ 解得：，‎ 设已知两边的夹角为，，那么，‎ 根据正弦定理可知，,‎ 外接圆的面积.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本题简单考查了正余弦定理，考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎16．已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先分析直线与圆的位置关系，然后结合已知可判断四边形的形状，得出的比值，最后得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设切点为，根据已知两切线垂直，‎ 四边形是正方形，‎ ‎，根据，‎ 可得.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的几何性质，以及椭圆的性质，考查了转化与化归的能力，属于基础题型.‎ 三、解答题 ‎17．在中，的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为，，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（1）根据二倍角和诱导公式可得的值；（2）根据面积公式求，然后利用余弦定理求，最后根据正弦定理求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,‎ ‎，‎ 所以原式整理为,‎ 解得：（舍）或 ‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎（2），‎ 解得，‎ 根据余弦定理,‎ ‎,‎ ‎，‎ 代入解得：,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.‎ ‎18．已知离心率为的椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得弦长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），又，‎ ‎，即椭圆方程是，‎ 代入点,‎ 可得，‎ 椭圆方程是.‎ ‎（2）设 ‎ 直线方程是，联立椭圆方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 代入可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式，属于简单题.‎ ‎19．设函数．‎ ‎（1）若不等式的解集，求的值；‎ ‎（2）若，‎ ‎①，求的最小值；‎ ‎②若在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）①9，②‎ ‎【解析】（1）根据不等式的端点值是对应方程的实数根，利用根与系数的关系，得到的值；（2）①根据求的最值，可利用求最值；②利用二次函数恒成立问题求解.‎ ‎【详解】‎ 由已知可知，的两根是 ‎ 所以 ，解得.‎ ‎（2）① ‎ ‎，‎ 当时等号成立，‎ 因为， 解得时等号成立，‎ 此时的最小值是9.‎ ‎②在上恒成立，‎ ‎ ，‎ 又因为 代入上式可得 ‎ 解得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数与一元二次方程和一元二次不等式的问题，和基本不等式求最值，属于基础题型.‎ ‎20．已知圆的方程为．‎ ‎（1）求过点且与圆相切的直线的方程；‎ ‎（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；‎ ‎（3）是圆上一动点，，若点为的中点，求动点的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）和；（2）或；（3）‎ ‎【解析】（1）分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径求解；（2）根据弦长，可求圆心到直线的距离，利用距离公式，可求直线斜率；（3）利用求轨迹方程的方法(代入法)求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当斜率不存在时，过点的方程是与圆相切，满足条件，当斜率存在时，设直线方程：，直线与圆相切时，‎ ‎ ，解得：，.‎ 所以，满足条件的直线方程是或.‎ ‎（2）设直线方程：，‎ 设圆心到直线的距离 ，，解得或 ，‎ 所以满足条件的直线方程是或.‎ ‎（3）设，那么 ，‎ 将点代入圆，可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆相切，相交的问题，属于基础题型，这类求直线的问题，需分斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线与圆相切时，利用圆心到直线的距离等于半径求解，当直线与圆相交时，可利用弦长公式和圆心到直线的距离求解直线方程.‎ ‎21．已知数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明是等比数列，并求；‎ ‎（3）若,数列的前项和为．‎ ‎【答案】（1）2，6，14；（2）（3）‎ ‎【解析】（1）通过代入，可求得前3项；（2）利用已知求的方法， 求解；（3）首先求得数列的通项公式，将通项分成两部分，一部分利用错位相减法求和，另一部分常数列求和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ ‎（2） ‎ 当时， ‎ 两式相减， ‎ ‎ ‎ ‎ ，且 ‎ 时首项为4，公比为2的等比数列.‎ ‎（3）根据（2）可知， ，‎ ‎ ‎ 设，设其前项和为，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 两式相减可得 ‎ 解得 ，‎ 数列，前项和为，‎ 数列的前项和是 ‎【点睛】‎ 本题考查了已知求的方法，利用错位相减法求和属于基础中档题型.‎ ‎22．已知曲线上的任意一点到两定点、距离之和为，直线交曲线于两点，为坐标原点．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（3）若直线过点，求面积的最大值，以及取最大值时直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析；（3）或 ‎【解析】（1）利用椭圆的定义可知曲线为的椭圆，直接写出椭圆的方程．‎ ‎（2）设直线，设，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值．‎ ‎（3）设直线方程是与椭圆方程联立，根据面积公式，代入根与系数的关系，利用换元和基本不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在轴上的椭圆， ‎ 设其标准方程为，则有，‎ 所以，∴ .‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，‎ 设 则由 可得，即 ‎∴，∴ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴直线的斜率与 的斜率的乘积=为定值 ‎ ‎（3）点，‎ 由 可得，‎ ‎ ，解得 ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，取得最大值.‎ 此时，即 所以直线方程是 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．‎