2015届高考数学二轮复习专题训练试题：集合与函数（11） 9页

‎ 集合与函数（13）‎ ‎1、已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；‎ ‎①，；②，.‎ ‎（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；‎ ‎（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.‎ ‎2、若集合具有以下性质：①，；②若，则，且时，.‎ 则称集合是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题：若，则必有；命题：若，且，则必有；‎ ‎3、若为集合且的子集，且满足两个条件：‎ ‎①；②对任意的，至少存在一个，使或.‎ ‎…[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 则称集合组具有性质.如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.‎ ‎（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；‎ 集合组1：；集合组2：.‎ ‎（Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）‎ ‎4、已知函数在区间上为增函数，且。‎ ‎（1）当时，求的值；（2）当最小时，①求的值；  ②若是图象上的两点，且存在实数  使得，证明：。 ‎ ‎5、（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底，为常数）.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.‎ ‎6、设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）．记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是 ‎    A．=1且=0     B．C．=2且=2       D． =2且=3 ‎ ‎7、设，已知函数的定义域是，值域是，若函数g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零点，则（    ）A．2           B．           C．1           D．0 ‎ ‎8、已知函数，在定义域[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为．有以下命题：①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为4；③的最大值为，最小值为，则； ④若对，恒成立，则的最大值为2．其中正确命题的个数为 ‎ A .1个　　　　        B. 2个　　　　        C .3个　　　　     D. 4个 ‎ ‎11、设函数的最大值为，最小值为，那么 　 　.    ‎ ‎12、（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．‎ ‎13、对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则 的取值范围       ‎ ‎1、解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.理由是 ；‎ ‎②是的一个二元基底. ‎ 理由是 ，.                             （Ⅱ）不妨设，则形如的正整数共有个；‎ 形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；‎ 形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设为的一个4元基底，不妨设，则.‎ 当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，的最小可能值为5.  ‎ ‎ 2、解：（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集”. 因为，，所以. 这与矛盾. 有理数集是“好集”. 因为，,对任意的，有，且时，.‎ 所以有理数集是“好集”.‎ ‎（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以 .若，则，即.所以，即.   ‎ ‎（Ⅲ）命题均为真命题. 理由如下： 对任意一个“好集”，任取， ‎ 若中有0或1时，显然.下设均不为0，1. 由定义可知：.‎ 所以 ，即.所以 . 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.若或，则显然.若且，则.‎ 所以 .所以 由（Ⅱ）可得：.所以 .‎ 综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.所以 ，即命题为真命题.                        ‎ ‎3、（Ⅰ）解：集合组1具有性质.  所对应的数表为：集合组2不具有性质.  因为存在，有，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组 不具有性质. （Ⅱ      注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）‎ ‎（Ⅲ）设所对应的数表为数表，因为集合组为具有性质的集合组，[来源:学#科#网]‎ 所以集合组满足条件①和②，由条件①：，‎ 可得对任意，都存在有，所以，即第行不全为0，‎ 所以由条件①可知数表中任意一行不全为0. 由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同.‎ 所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同. 因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，所以.‎ 又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质.‎ 所以. 因为等于表格中数字1的个数，‎ 所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而时，在数表中，‎ 的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；‎ · 的个数为的行最多行；因为上述共有行，所以还有行各有个，所以此时表格中最少有个.所以的最小值为. ‎ · ‎4、解：。（1）当时，由，得或，‎ 所以在上为增函数，在，上为减函数，由题意知，且。因为，所以，‎ 可知。    （2）① 因为， ‎ 当且仅当时等号成立。由，有，得；由，有，得；故取得最小值时，，。②此时，，， 由知，，欲证，先比较与的大小。‎ 因为，所以，有，[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ 于是，即，另一方面，，因为，所以，从而，即。…14分同理可证，因此。 ‎ ‎5、（本小题满分14分）解：（1）， 当时，，即，[来源:学科网ZXXK]‎ 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数；当时，，函数是区间上的增函数 当时，即，‎ 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.‎ ‎（2）若存在，则恒成立，令，则，所以，      因此：恒成立，即恒成立，由得到：，‎ 现在只要判断是否恒成立，设，因为：，‎ 当时，，，当时，，，所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”.   6、D 7、C 8、B 11、 4021 ‎ ‎12、解：（Ⅰ）由，解得或，∴ 函数的定义域为  当时，‎ ‎∴ 在定义域上是奇函数。 （Ⅱ）由时，恒成立，‎ ‎∴  ∴ 在成立  令，，由二次函数的性质可知时函数单调递增，时函数单调递减，时，∴  （Ⅲ）= ‎ 证法一：设函数,则时，，即在上递减，所以，故在成立，‎ 则当时,成立.证法二：构造函数，  当时，，∴在单调递减，‎ ‎ 当（）时，   ‎ ‎13、（1,5）∪[10,20） ‎